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标准说课稿——两角差的余弦公式


《两角差的余弦公式》说课稿
全宏莲 一、教材分析 本节课是高中数学必修 4 (人教版) 第三章 3.1.1 两角差的余弦公式的内容, 教学安排是 1 课时。 在学习本章之前我们刚刚学习了向量的相关知识,因此作者的意图是选择 两角差的余弦公式作为本章基础,运用向量知识论证,即降低了难度,使学生 容易接受。又为学习后续三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、 求值等三

角问题的解决奠定了坚实基础。 二、教学目标分析 课程目标要求:理解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进 一步体会向量方法的作用;理解两角差的余弦公式。 1.知识与技能目标 理解用向量方法推导两角差的余弦公并能够初步运用. 2.过程与方法目标 在两角差余弦公式的推导过程中,进一步体会向量方法的作用,体会分类 讨论思想的应用。 3.情感、态度与价值观目标 感悟事物之间普遍联系和转化的关系。 三、教法分析 利用引导探究的方法,在课程开始之初,提出问题,引发学生求知欲望。 利用讲授法为主的教学方法全面深入分析两角差的余弦公式的论证过程。并用 例题与课后练习巩固所学内容。
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四、学法分析 积极主动参与两角差的余弦公式的论证过程,重点理解利用向量数量积论 证公式的过程。着重记忆论证过程中分类讨论思想的运用。并在教师的指导下, 通过认真观察,积极思考,用数形结合的方法从直观上打开突破口,探究归纳 出两角差的余弦公式。 五、教学重点、难点分析 重点:两角差的余弦公式的推导与运用 难点:两角差余弦公式的推导过程 解决难点的关键是,搞清向量夹角的范围,运用数形结合的思想,使角的 关 系 变 得 形 象 直 观 , 容 易 找 到 ? ?? 与 向 量 的 夹 角 ? 之 间 的 等 量 关 系
(? ? ? ) ? ? ? 2k? ,从而降低难度,化解难点。

六、教学用具分析 几何画板课件 七、教学过程分析 (一) 、温习 平面向量的数量积是怎样定义的?坐标表示是怎样的? (二) 、提问并引出本节内容 1、cos45°=? cos30°=? cos15°=? 【cos15°= cos(45°-30°) 】

2、根据上述三个问题的联系,提出两角差的余弦公式 cos ?? ? ? ? ? ? (三) 、两角差的余弦公式的论证 A、利用刚刚学习的向量知识 1.当 ? ? ? ? (0, ? ) 时
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y A O α
β

B 1 x

如图, OB ? (cos ? ,sin ? ), OA ? (cos ? ,sin ? ) 则 OA ? OB ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 又 OA ? OB ? | OA || OB | cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 2.当 ? ? ? ? (0, ? ) 时 思考:上面图中向量 OB, OA 的夹角是怎样的?,范围是怎样的? ( ? ? ? ,且 ? ? ? ? (0, ? ) )正与向量夹角的范围相符,所以我们自然地列出 了表达式 OA ? OB ? | OA || OB | cos(? ? ? ) ,但是 ? ? ? y的范围可不可能超出 (0, ? ) 呢? 探究:将 OA 旋转到下图的位置,
??? ??? ? ? 显然此时 ? ? ? 已经不是向量 OB, OA 的夹角,
α
β

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

B O θ 1 x

A

在 [0, 2? ] 范围内,是向量夹角的补角. 我们设夹角为 ? ,则
? + (? ? ? ) = 2k?

此时, OA ? OB ? | OA || OB | cos ? = cos[2k? ? (? ? ? )] ? cos(? ? ? ) ∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 综上,对任意角 ? , ? 都有
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

B、利用我们刚接触三角函数时的单位圆上的三角函数线能否解决呢?同学 们下课后可自己探讨。 (四) 、例题
3

例一、利用两角差的余弦公式求 cos15°的值。 方法一 cos15°= cos(45°-30°) =cos45°cos30°+sin45 °sin30° =√2/2×√3/2+√2/2×1/2 =(√6+√2)/4 方法二 cos15°= cos(60°-45°) 延伸:sin75°=? 例二、已知 sin ? ? , ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是第三象限角,求 cos ?? ? ? ? 的 ? ? 13 5 ?2 ?
4
5

?

值。

(五) 、小结 这节课的重点就是两角差余弦公式的论证、理解与应用,它为学习后续三 角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决奠定 了坚实基础;难点是公式利用向量数量积这一工具论证,因向量夹角的范围与 两角差的任意性有冲突,因此利用了分类讨论的方法,这是同学们的弱点,希 望同学们能够在后续的学习中谨记。 (六) 、作业布置 1、已知 cos? ? 3 ,? ? ? 3? , 2? ? ,求 cos ?? ? ? ? ? ? ? ?
5 ? 2 ? ? 3?

2、思考: cos(? ? ? ) =? 3、参照教材,自主学习利用单位圆上的三角函数线论证两角差余弦公式, 并上网查找两角差余弦公式的其它推导方式。 八、板书设计 本节课我采用图文式板书为主的形式,充分利用数形结合的思想,在图
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文并茂的情况下让学生更容易理解本节重点与难点。 九、教学效果分析 通过本堂课的学习,理解两角差的余弦公式论证过程,掌握论证过程中分 类讨论思想的运用,能够初步运用两角差的余弦公式进行简单的运算。 十、教学设计分析 教学的最高的目标,是把一个复杂的问题,处理得通俗易懂。两角差的余 弦公式,有多种证明方法,在教材改革过程中也经历过不同的尝试。这是因为 在教学过程中,教法和学法的选择往往是上位的,它直接决定了问题处理起来 的难易程度。本书采用的“向量数量积”的方式,是较简单的一种方式,而难 点也由此产生,要根据向量夹角的范围来进行分类讨论,为了降低难点,我大 胆采用了“从特殊到一般”的处理方式,而没有上来就分类讨论,化解了难点。 另外,教材中还介绍了从三角函数线的角度进行证明的一种思路,根据实际情 况,进行了大胆取舍,作为课外探究内容,同时也丰富了评价的层次性,调动 了学生积极性。

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