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四川省成都市石室中学2014届高三上学期“一诊模拟”考试(二)试题 数学(理)


石室中学高 2014 届 2013-2014 学年度上期“一诊”模拟考试(二)

数学(理科)试题
一.选择题:本大题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 要求的. 1. 已知全集 U ? {0,1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {1, 2} , B ? {0,2,5} ,则集合 (CU A

) ? B ? ( A. ?3,4,6? 2. 复数 B. ?3,5? C. ?0,5? ) C.5 ) B. D.8 D. ?0,2,4? )

3i ? 1 ( i 为虚数单位)的模是( 1? i
B. 2 2

A. 5

3. 下列命题的否定为假命题的是( A. ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0
2

?x ?R , lg x ? 1
2 2

C.所有能被 3 整除的整数都是奇数

D. ?x ? R,sin x ? cos x ? 1

4. 已知 ?ABC 的面积为 2,在 ?ABC 所在的平面内有两点 P 、 Q ,满足 PA ? PC ? 0 , QA ? 2 BQ ,则

?APQ 的面积为(
A.

) B.

1 3

1 2

C.

2 3

D. 1

5. 将 5 名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排 2 名学 生,那么互不相同的安排方法的种数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.40
6. 右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( A. 1 B. )

3 2 7. 执行右图所示的程序框图(其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数) ,则输出的 S 值
C. D. 为( ) A.7 C.5 D.4 ? ? 8. 将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(? ? ? ? ) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度后得 2 2 到函数 g ( x) 的图象,若 f ( x) 、 g ( x) 的图象都经过点 P(0, ( ) A.
5? 3 5? 6
3 ) ,则 ? 的值可以是 2

1 3

1 2

B.6

B.

C.

9. 已知 a, b ? R ? , 若向量 m ? (2,12 ? 2a) 与向量 n ? (1, 2b) 共线, 2a ? b ? a ? 5b 的最大值为 则 ( A.6 B.4 C.3 D. 3

??

? 2

D.

?

? 6



? x 2 ? x, x ? ? 0,1? , ? ? 3 x? 10. 定义域为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? 2 f ? x ? ,当x ? ? 0, 2? 时, f ? x ? ? ? 若 ?1? 2 ?? ? ? , x ? ?1, 2? , ? ?2? ?

x ? ? ?4, ?2 ? 时, f ? x ? ?
A. ? ?2, 0 ? ? ? 0,1?

t 1 ? 恒成立,则实数 t 的取值范围是( 4 2t
C. ? ?2,1?

) D. ? ??, ?2? ? ? 0,1?

B. ? ?2, 0 ? ? ?1, ?? ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已知 ? ? (

?

3 , ? ),sin ? ? , 则 tan ? = 2 5

12. 在区间 ? ?1, 2? 上随机取一个实数 x ,则事件“ 1 ? 2x ? 2 ”发生的概率为______

1 ? ? 13. 若等比数列 {an } 的第 5 项是二项式 ? x ? ? 展开式的常数项,则 a3a7 ? 3x ? ?
14. 已知函数 f ?x ? ? ln

6

1? x ? sin x ,则关于 a 的不等式 f ?a ? 2? ? f a 2 ? 4 ? 0 的解集是_______ 1? x

?

?

15. 若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ?| x ?

1 1 | ? | x ? | 恰有四个公共点,则 k 的取值集合是______ x x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2cos x ? 2 3 sin x ? cos x ? m .其中 m, x ? R
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? [0, 中心.

?

1 7 ] 时,求实数 m 的值,使函数 f (x) 的值域恰为 [ , ], 并求此时 f ( x) 在 R 上的对称 2 2 2

17. (本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱 AA1 1 ⊥面 ABC,D、E 分别是棱 A1B1、AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ? AB . 4 (Ⅰ)求证:EF∥平面 BDC1; (Ⅱ)求二面角 E-BC1-D 的余弦值.

18. (本小题满分 12 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 6 , S10 ? 110 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ? (

2 an ? ) ,令 cn ? an bn (n ? N ) .求数列 {cn } 的前 n 项和 Rn . 2

19. (本小题满分 12 分)某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就 抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高 速 公 路 的 车 速 ( km/t ) 分 成 六 段 :

[60,65),[65,70), [70, 75), [75,80),[80,85), [85,90) 后得到如图 4 的
频率分布直方图.问: (1)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的 估计值.(2)若从车速在 [60, 70) 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆 车中车速在 [65, 70) 的车辆数 ? 的分布列及其均值(即数学期望) .

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a ? 3, g ( x) ? mx ? 5 ? 2m.
2

⑴当 x ? ? ?

? ? ? , ? 时,若函数 y ? f (sin x) 存在零点,求实数 a 的取值范围并讨论零点个数; ? 2 ? ?

⑵当 a ? 0 时,若对任意的 x1 ? ?1, 4? ,总存在 x2 ? ?1, 4? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? x .
2

(1)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值; (2)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,若 y ? g ( x) 在区间 (0,3) 上不单调,求 a 的取值范围; (3) a ? 2 时, 当 函数 h( x) ? f ( x) ? mx 的图象与 x 轴交于两点 A( x1 ,0), B( x2 ,0) , 0 ? x1 ? x2 , h?( x) 且 又 是 h( x ) 的导函数.若正常数 ? , ? 满足条件 ? ? ? ? 1, ? ? ? .证明: h?(? x1 ? ? x2 ) ? 0 .

1 2

石室中学高 2014 届一诊模拟考试(二)数学理科答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 1 2 3 4 5 答案 C A D C B 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 6 B 7 A 8 B 9 A 10 D

?

3 4

; 12.

1 3

;13.

25 9

;14.

( 3, 2)

; 15.

1 1 {0, ? , } 8 8

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分)
2 解: f ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? m ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? m

? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? m ? 1 ?????????4 分

∴函数 f (x) 的最小正周期 T= ? 。?????5 分
7? 1 ? ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 6 6 2 6 1 7 1 ? m ? f ( x) ? m ? 3 又 ? f ( x) ? 故m ? ,????8 分 2 2 2 ? k? ? k? ? 3 令 2 x ? ? k? , k ? Z ,解得 x ? ? , k ? Z ,对称中心为 ( ? , ) 。???..12 分 6 2 12 2 12 2

(2)? 0 ? x ?

?

?

?

? 2x ?

?

?

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:取 AB 的中点 M,? AF ?
1 AB , 4

?F 为 AM 的中点,又? E 为 AA1 的中点,∴ EF // A1M ,

在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,
? A1 D // BM ,且 A1 D ? BM ,

则四边形 A1DBM 为平行四边形,? A1M // BD ,

? EF // BD ,又? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D , ? EF // 平面 BC1 D . ························· 5 分 ? ???? ???? ???? ? (Ⅱ)连接 DM,分别以 MB 、 MC 、 MD 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图空间直角坐标系,
则 B(1,0,0) , E (?1,0,1) , D(0,0, 2) , C1 (0, 3, 2) , ??? ? ??? ? ???? ? ∴ BD ? (?1,0, 2) , BE ? (?2,0,1) , BC1 ? (?1, 3, 2) . 设 面 BC1D 的 一 个 法 向 量 为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , 面 BC1E 的 一 个 法 向 量 为
n ? ( x2 , y2 , z2 ) , ??? ? ? m ? BD ? 0, ?? x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? 则由 ? ???? 得? 取 m ? (2,0,1) , ? ? m ? BC1 ? 0, ?? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ??? ? ? n ? BE ? 0, ??2 x2 ? z2 ? 0, ? ? 又由 ? ???? 得? 取 n ? (1, ? 3, 2) , ? ? n ? BC1 ? 0, ?? x2 ? 3 y2 ? 2 z2 ? 0, ? ?
A1 D C1 B1

E C

A

F

M

B

则 cos ? m, n ??

m?n 4 10 ? ? ,?????11 分 | m || n | 5 5? 8

故二面角 E-BC1-D 的余弦值为

10 .?????12 分 5

18. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d , ∵ a1 ? 2d ? 6 , 2a1 ? 9d ? 22 , ∴ a1 ? 2 , d ? 2 ,

所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ; ·············
2 an 2 1 ) ? 1 ? ( )2n ? 1 ? ( )n , 2 2 2 2 2 1 当 n ? 1 时, a1 ? T1 ? 1 ? ( ) ? , 2 2 1 n 1 1 当 n ≥ 2 时, an ? Tn ? Tn ?1 ? 1 ? ( ) ? 1 ? ( )n ?1 ? ( )n , 2 2 2 1 n 且 n ? 1 时满足 an ? ( ) , ······················ 2 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ;

5分

(Ⅱ)因为 Tn ? 1 ? (

8分

2n n 1 2 3 n ? n ?1 ,所以 Rn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 , n 2 2 2 2 2 2 n?2 所以 Rn ? 4 ? n ?1 . ························· 12 分 2 19. (本小题满分 12 分)

所以 cn ?

解: (1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5(2 分) 设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:

0.01? 5 ? 0.02 ?5 ? 0.04 ?5 ? 0.06 ?( x ?75) ? 0.5 ,
解得 x ? 77.5 即中位数的估计值为 77.5 (5 分)

m (2) 从图中可知, 车速在 [60, 65) 的车辆数为: 1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆) ,
车速在 [65, 70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) ∴ ? ? 0, 1, 2 , (7 分)

P(? ? 0) ?

2 0 C 2 C4 C1C1 8 C 0C 2 6 1 ? , P (? ? 1) ? 2 2 4 ? , P(? ? 2) ? 2 2 4 ? , C62 15 C6 15 C6 15

? 的分布列为 ?
P
0 1 2

1 15

8 15

6 15
(10 分)

均值 E (? ) ? 0 ? 1?

8 6 4 ? 2? ? . 15 15 3

(12 分

20. (本小题满分 13 分)
2 2 解: ⑴令 t ? sin x ? ? ?1,1? ,? f (t ) ? t ? 4t ? a ? 3 ? (t ? 2) ? a ? 1,

?函数 f ( x) 图象的对称轴为直线 x ? 2 ,要使 f (t ) 在 ? ?1, 1? 上有零点,
则?

? f (?1) ? 0, ? a ? 8 ? 0, 即? ??8 ? a ? 0. ? f (1) ? 0, ? a ? 0,
??3 分

所以所求实数 a 的取值范围是 ? ?8, 0 ? .

当 ?3 ? a ? 0 时,2 个零点;当 a ? 0 或 ?8 ? a ? ?3 ,1 个零点?????7 分 ⑵当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ? ( x ? 2) ? 1.
2 2

所以当 x ? ?1, 4? 时, f ( x) ? ? ?1, 3? ,记 A ? ? ?1, 3? . 由题意,知 m ? 0 ,当 m ? 0 时, g ( x) ? mx ? 5 ? 2m 在 ?1, 4? 上是增函数,

? g ( x) ? ?5 ? m, 5 ? 2m? ,记 B ? ?5 ? m, 5 ? 2m? .
由题意,知 A ? B

? ?1 ? 5 ? m, ? ? ?3 ? 5 ? 2m, 解得 m ? 6 ? m ? 0, ?

??9 分

当 m ? 0 时, g ( x) ? mx ? 5 ? 2m 在 ?1, 4? 上是减函数,

? g ( x) ? ?5 ? 2m,5 ? m ? ,记 C ? ?5 ? 2m,5 ? m,? .
由题意,知 A ? C

? ?1 ? 5 ? 2 m , ? ? ?3 ? 5 ? m, 解得 m ? ?3 ? m ? 0, ?

??11 分

综上所述,实数 m 的取值范围是 ? ??, ? 3? ? ? 6, ? ? ? . ??..12 分 21. (本小题满分 14 分) 解(1) ? f ' ( x) ? 函数 y ? f (x) 在[

2 2 ? 2x 2 ? 2x ? , x x

1 ,1]是增函数,在[1,2]是减函数,?????3 分 2
??4 分

所以 f ( x) max ? f (1) ? 2 ln 1 ? 12 ? ?1 . (2)因为 g ( x) ? a ln x ? x 2 ? ax ,所以 g ?( x) ?

a ? 2x ? a , x

??5 分

因为 g (x) 在区间 (0,3) 上不单调,所以 g ?( x) ? 0 在(0,3)上有实数解,且无重根, 由 g ?( x) ? 0 ,有 a ?

1 9 2x 2 ) ? 4 ? (0, ) , x ? (0,3) ) = 2( x ? 1 ? ( x ?1 2 x ?1

??6 分

又当 a ? ?8 时, g ?( x) ? 0 有重根 x ? ?2 ,

??7 分 ??8 分

9 综上 a ? (0, ) 2
(3)∵ h ' ( x) ?

2 ? 2 x ? m ,又 f ( x) ? mx ? 0 有两个实根 x1 , x 2 , x

? 2 ln x1 ? x12 ? mx1 ? 0 2 2 ∴? ,两式相减,得 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? m( x1 ? x2 ) , 2 2 ln x 2 ? x 2 ? mx2 ? 0 ?
∴m?

2(ln x1 ? ln x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) , x1 ? x 2 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? 2(?x1 ? ?x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

??10 分

' 于是 h (?x1 ? ?x2 ) ?

?

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ? (2? ? 1)( x2 ? x1 ) . ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

??11 分

? ? ? ? ,? 2? ? 1,?(2? ? 1)( x2 ? x1 ) ? 0 .
要证: h ' (?x1 ? ?x2 ) ? 0 ,只需证:

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ?0 ?x1 ? ?x2 x1 ? x2
??12 分

只需证:

x1 ? x 2 x ? ln 1 ? 0 .(*) ?x1 ? ?x 2 x2



x1 1? t 1? t ? t ? (0,1) ,∴(*)化为 ? ln t ? 0 ,只证 u (t ) ? ln t ? ? 0 即可. ? u (t ) 在(0,1)上单 x2 ?t ? ? ?t ? ?
x ? x2 x 1? t ? ln 1 ? 0 .∴ h ' (?x1 ? ?x2 ) ? 0 .??14 分 ? 0 ,即 1 ?t ? ? x2 ?t ? ?

调递增, u (t ) ? u (1) ? 0,? ln t ?


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