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高一数学平面向量的坐标表示


5.4 平面向量的坐标运算

5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示 1.平面向量基本定理的内容?什么叫基底?

2.分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底?任一向量a ,用这组基底可表示为 有且只有一对实 y 数x、y,使得 a =xi + yj. a (x,y)叫做向量a的坐标,记作 a=xi + yj j x

O i 那么i =(1 , 0 ) j =( 0) 0 1, ) 0 =( 0 ,

5.4 平面向量的坐标运算
概念理解 1.以原点O为起点作 OA ? a ,点A的位置由谁确定? 由a 唯一确定 y

2.点A的坐标与向量a 的坐标的关系? 两者相同
j 向量a
一一对应

A(x, y)

a

a

坐标(x ,y)

O i

x

3.两个向量相等的充要条件,利用坐标如何表示?

a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2

5.4 平面向量的坐标运算
例1.如图,用基底i ,j 分别表示向量a、b 、c 、d ,并 求它们的坐标. 解:由图可知
a ? AA1 ? AA2 ? 2i ? 3 j

?  a ? (2,3)
同理, b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3) c ? ?2i ? 3 j ? (?2,?3)

d ? 2i ? 3 j ? (2,?3)

5.4 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 1.已知a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,求a+b,a-b.

解:a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =( x1 + x2 )i+( y1+ y2 )j
即 a + b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

同理可得 a - b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差

?a ? (?x, ?y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标.

5.4 平面向量的坐标运算
2.已知 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ).求 AB 解:AB ? OB ? OA ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )

O

x

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标.

5.4 平面向量的坐标运算
例2.已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b, a-b,3a+4b的坐标. 解: a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3); 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(6,3)+(-12,16) =(-6,19)

5.4 平面向量的坐标运算
例3. 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 (-2,1)、( -1,3)、(3,4),求顶点D的坐标. 解:设顶点D的坐标为(x,y)
?  AB ? ( ?1 ? ( ? 2), 3 ? 1) ? (1, 2) DC ? ( 3 ? x ,4 ? y ) 由 AB ? DC,得

(1,2) ? (3 ? x,4 ? y )
1? 3? x ?  ?    ? ?2 ? 4 ? y ?x ? 2 ?? ?y ? 2

?  顶点D的坐标为( 2, 2)

小结:
向量的坐标表示实际上是向量的代数表示, 它将平面内任一向量都与一组有序实数对 建立了一一对应的关系,从而将向量之间 的运算转化为数量的运算 。

典例剖析
? 已知平行四边形ABCD 的顶点 A??1,?2? , B?3,?1? , C ?5,6? ,求顶点 D的坐标.
点评:在此题中,点D 坐标是唯一的,若求以 A, B, C 为顶 点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标应有三种情况.

? 已知点 A?2,3? , B?5,4? ,C?7,10? ,若 AP ? AB ? ? AC?? ? R? 试求 ? 为何值时,点P 在第三象限内?
点评:在解决平面直角坐标系内点的有关问题时,可由向 量的坐标与点的坐标的关系,转化为向量的问题来解决.

典例剖析
? 已知 a ? ?1,2?, b ? ?? 3,2?,当 k 为何值时 k a ? b 与 a ? 3b 平 行?平行时它们是同向还是反向?
点评:两向量平行充要条件的两种形式,在解题时可根据情 况适当选用.

y 轴 ? 如果向量 AB ? i ? 2 j , BC ? i ? m j ,其中 i, j 分别是 x轴、 正反向上的单位向量,试确定实数 m的值使 A, B, C 三 点共线.
点评:向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质 一样,在解决具体问题时要注意选择使用.



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都心中有愧啊??”大哥表示十分的歉意。 “来来来,让我们兄弟共同敬弟妹一杯??”二哥第一个端起了酒杯。肖燕执意不过哥嫂们的 一再催让,只好端起酒杯招呼起大家来,“依我看??我们全家还是共同敬爹妈一杯,祝二老健康长寿,越活越年轻??” “好!这酒喝 的真香??有滋有味!”我不禁脱口而出,二十五年了,我还是第一次同肖燕坐在一起喝酒,这也是她人生之中第一次喝酒,喝下后,用 手扇着嘴巴,向我做个鬼脸。 “来来来,把酒都倒满,我们兄弟八个共同敬老爹一杯??”我招呼着大家把肖燕解脱出来。 “老六啊, 娘可把丑话说在前头,明天小荷和娇娇一起回南方,荷花也要回山西??一大堆儿的事等着你处理,今晚你可不准喝多了??”母亲打断 了我的话一板一眼地说:“不管是谁说话要有分寸,喝了酒不能说一句醉话!”母亲环视着大家,我清楚地感觉到母亲是在提醒知情的人, 有关娇娇的身世谁也不能提起!然而,家宴才开始不久,我们爷们的气氛刚刚进入状态,我的父亲却声称他喝多了??这是我有生以来第 一次见父亲喝多了酒,也是第一次听父亲说他喝醉了的话??其实,在我的记忆里这是父亲喝酒最少的一次。俗话说‘醉汉子醉死都不认 半壶酒钱’,我那从来不认输的父亲却承认自己醉了??把父亲安顿好,等全家人回到了餐厅。父亲握着我的那双手才慢慢松开,一骨碌 从床上坐了起来,颤抖地对我说:“六儿啊??你认为爹真的喝多了吗?爹喝了一辈子的酒从来不知喝醉了酒是啥滋味??今天??爹面 对我的孙女们??无地自容??心里添堵啊??” “爹??你这是说哪儿的话呢??”我虽然极力地控制着自己的心情,但是还是情不自 禁地流出了泪;通过泪眼,我依稀地看到父亲已是泪流满面??月白风清,天空中传来了大雁的叫声。抬头望去,在洁白的月光下,三只 大雁摆成人字形欢叫着飞向南方。听老人们说,大雁是有灵气的,他们无论是三个一簇或五个一群,总是有一个领头的飞在最前面,每当 一个领头的累了,就立刻换上另一个去领飞。 他们这种团结友爱的精神不禁使我想起了这样一句话:喜悦分给两个人就变成了两份喜悦; 痛苦分给两个人就减少了一半的痛苦。大雁都知道这种有福同享有难共当的道理,更何况是我们人类呢! “苏林,天晚了,回屋睡吧??” 不知何时,妻子已来到我的身旁。 “肖燕,我心里很乱??想一个人静一静??” “小心别着凉??女儿的屋里还亮着灯,也许她们还 在收拾行装,我去看看??”肖燕说着便去了女儿的卧室。我知道这是她的借口而已,因为女儿的背包她已检查过无数遍了。现在她只不 过是再去多看女儿一眼,她实在是舍不得女儿们离开??月白风清,我的思绪随风而去。回想起二十多年来走过的路,虽然没


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