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2014届广东省惠州市高三4月模拟考试数学(文)试题及答案


广东省惠州市 2014 届高三 4 月模拟考试

数 学 试 题(文科)
本试卷共 5 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:

2014.04

1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.函数 g ( x) ? A. x x ? ?3

x ? 3 的定义域为(

) C. x x ? ?3

?

?

B. x x ? ?3

?

?

?

?


D. x x ? ?3

?

?

2.已知向量 a ? (?1,5),b ? (2,3) ,则向量 2a ? b 的坐标为( A. (1,3) 3.不等式 B. ( 2,4) ) B. ( ?2,1] C. (5,4)

D. (0,13)

1? x ? 0 的解集为( 2? x A. [?2,1]
C. (??,?2) ? (1,??)

D. ( ??,?2] ? (1,??) ) C. 1 D.

4. i 是虚数单位,若 z ? (i ? 1)i ,则 z 等于( A. 2 B. 2

2 2

5.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等

的等腰直角三角形,如果 学优网直角三角形的直角边长为 1 ,那么这 个几何体的体积为 ( A. 1 ) 主视图 左视图

1 B. 2
D.

C.

1 3

1 6

俯视图 ) D. (3,4)

6.用二分法求方程 lg x ? 3 ? x 的近似解,可以取的一个区间是( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3)

7. 已知椭圆 A. 8

x2 y2 ? ? 1 的长轴在 x 轴上,焦距为 4 ,则 m 等于 ( m ? 2 10 ? m
B. 7 C. 6 D. 5



8.设 m、n 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面。下列四个命题正确的是( A. 若m ? ? , ? // ? , 则m // ? C. 若m ? ? , ? ? ? , n // ? , 则m ? n B. 若m、n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? D. 若? ? ? , ? ? ? , 则? ? ? )



9.已知 sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ?? ? ( ?1) n ?1 ? n ,则 s 6 ?s10 ? s15 等于( A. - 5 B. - 1 C. 0 D. 6

10.设命题 p :函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象向左平移

? 个单位长度得到的曲线关于 y 轴对称; 6


x 命题 q :函数 y ? 3 ? 1 在 ?? 1,??? 上是增函数.则下列判断错误 的是( ..

A. p 为假

B. ? q 为真

C. p ? q 为假

D. p ? q 为真

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)

? x?0 ? 11.已知点 ( x , y ) 满足 ? y ? 0 ,则 u ? y ? x 的最小值是 ?x ? y ? 1 ?
12. 程序框图(即算法流程图)如下图所示,其输出结果是





13.设一直角三角形的两条直角边长均是区间 (0,1) 上 的任意实数,则斜边长小于

开始 a=1 a=2a+1 否 a>100? 是 输出 a 结束 第 12 题图

3 的概率为 4



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系下,曲线

? ? x ? 2t ? 2a ? x ? 2c o s C1 : ? (t为参数) , 曲 线 C2 : ? (?为 参 数 ). ? y ? ?t ? y ? 2 ? 2 si n?
若曲线 C1 , C2 有公共点,则实数 a 的取值范围是____________. 15. (几何证明选讲选做题)如右图所示, P 是圆 O 外一点,过 P 引圆 O 的两条割线 PAB、PCD,
A P

B

O

CD ? 3,则PC ? PA ? AB ? 5,



C D 图4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x, x ? R
2

(1)求 f ( ) 的值;

?

6

(2)若 sin ? ?

3 ? ? ? ). ,且 ? ? ( , ? ) ,求 f ( ? 5 2 2 24

17. (本小题满分 12 分) 某校高三(1)班共有 40 名学生,他们每天自主学习的时间全部在 180 分钟到 330 分钟之间,按 他们学习时间的长短分 5 个组统计,得到如下频率分布表: 组别 分组 频数 频率

第一组 第二组 第三组 第四组 第五组

?180,210?
?210,240? ?240,270? ?270,300?
8
12

0 .1

s
0 .3 0.25

10

?300,330?

t

(1)求分布表中 s , t 的值; (2) 王老师为完成一项研究, 按学习时间用分层抽样的方法从这 40 名学生中抽取 20 名进行研究, 问应抽取多少名第一组的学生? (3)已知第一组学生中男、女生人数相同,在(2)的条件下抽取的第一组学生中,既有男生又 有女生的概率是多少?

18. (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,且 AB ? AD ?

1 CD ? 1 . 2

现以 AD 为一边向梯形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面 ADEF 与 平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2. (1)求证: AM ∥平面 BEC ; (2)求证: BC ? 平面BDE ; (3)求点 D 到平面 BEC 的距离.
E

E

D

C
M F D
C

A 图1 19.(本小题满分 14 分)

F

B
A

图2

B

* 已知正项数列 ?a n ? 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n (n ? N ) ,当 n ? 2 时,有 Sn ? Sn?1 ? 3 .

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)记 Tn 是数列 ?b n ?的前 n 项和,若 bn 是

1 1 的等比中项,求 Tn . , an an?1

20.(本小题满分 14 分)

3 x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A(?2,0), B(2,0) ,离心率 e ? . a b 2
(1)求椭圆的方程;
2 2 (2) 若点 C 为曲线 E : x ? y ? 4 上任一点 ( C 点不同于 A, B ) , 直线 AC 与直线 x ? 2 交于点 R ,

D 为线段 RB 的中点,试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R). (1)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? x ? 2 x ? 2 ,若对任意 x1 ? (0, ??) ,均存在 x2
2

?[0, 1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,

求 a 的取值范围.

广东省惠州市 2014 届高三 4 月模拟考试

文科数学答案
一. 题号 答案 选择题 1 A 2 D 3 B 4 B 5 D 6 C 7 A 8 A 9 C

2014.04 10 D

1. 【解析】选 A, x ? 3 ? 0可得x ? ?3. 2. 【解析】选 D, 2a ? b ? (0,13) . 3. 【解析】选 B,

?(1 ? x)(2 ? x) ? 0 1? x ?0?? ? ?2 ? x ? 1 . 2? x ? 0 2? x ?

4.【解析】选 B, 两边同时取模可得Z ? 2. 5.【解析】选 D, 由三视图还原几何体可知V ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 .

3

2

6

6.【解析】选 C, 设 f ( x) ? ln x ? x ? 3 , 当连续函数 f ( x)满足f (a) f (b) ? 0时,f ( x) ? 0在(a, b)上有解 .

? 10 ? m ? 0 ? 2 7.【解析】选 A, ? m ? 2 ? 0 得10 ? m ? 6,由c ? m ? 2 ? 10 ? m ? 4, m ? 8 ?m ? 2 ? 10 ? m ?
8.【解析】选 A,有面面平行的性质可知 A 正确. 9.【解析】选 C,相邻两项依次结合可得:

S6 ? ?3, S10 ? ?5, S15 ? ?7 ? a15 ? ?7 ? 15 ? 8,? S6 ? S10 ? S15 ? 0
10. 【解析】选 D , ? ?
2? y ? sin(2 x ? )向左平移 得到y ? sin(2 x ? ),不是偶函数,故 p假; 3 6 3 ?- 1, 由函数y ? 3 x ? 1的图像可知其在 ? ??上不单调,故 q假.所以错误的命题为 D.

二.填空题 11.

?1

12. 127

13.

9? 64

14. 2 ? 5 ? a ? 2 ? 5 ( 或 [2 ? 5, 2 ? 5] )

15. 2

11.【解析】 y ? x ? u, u为斜率为1的平行直线系在y轴上的截距,由数形结合可知 ? 1 ? u ? 1.

12.【解析】连续递推可得 a ? 63 时,再一次进入循环, 输出a ? 127. 13.【解析】设两条直角边长为 a, b ,

1 3 2 ?( ) ?0 ? a ? 1 3 9? 由已知可知构造面积模型:? , 子事件为a 2 ? b2 ? ( )2 , 所以其概率p ? 4 4 ? 4 1 ?1 64 ?0 ? b ? 1
14.【解析】化为普通方程后,圆心到直线的距离小于或等于圆的半径( d ? r ) ,解不等式即可. 15.【解析】由割线定理可得 PA ? PB ? PC ? PD, 得PC ? 2 三.解答题 16. (本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x) ? cos
2

?
6
2

? sin

?
6

cos

?
6

?(

3 2 1 3 3? 3 ) ? ? ? 6 2 2 4

…………………2 分

(2) f ( x) ? cos x ? sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 1 ? sin x 2 2

…………4 分

?

1 1 1 2 ? ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 4 )? 1 2 ? ? ? sin(? ? ? ) 2 2 12 4

……………………6 分

f (? ?

?
24

……………………8 分

?
因为 sin ? ? 所以 f (? ?

1 2 ? 1 2 1 3 ? sin(? ? ) ? ? ( sin ? ? cos ? ) 2 2 3 2 2 2 2

…………10 分

3 ? 4 ,且 ? ? ( , ? ) ,所以 cos ? ? ? 5 2 5

………11 分

?
24

)?

1 2 1 3 3 4 10 ? 3 2 ? 4 6 ? ( ? ? ? )? 2 2 2 5 2 5 20

………12 分

17. (本小题满分 12 分)

8 ? 0.2 , t ? 1 ? 0.1 ? s ? 0.3 ? 0.25 ? 0.15 . 40 x 20 x 20 ? ,得x ? 2. (2)设应抽取 x 名第一组的学生,则 ? 4 40 4 40
解: (1) s ? 故应抽取 2 名第一组的学生.

…………4 分

…………6 分

(3)在(2)的条件下应抽取 2 名第一组的学生,记第一组中 2 名男生为 a1 , a2 ,2 名女生为 b1 , b2 . 按时间用分层抽样的方法抽取 2 名第一组的学生共有 6 种结果,列举如下:

a1a2 , a1b1 , a1b2 , a2b1 , a2 b2 , b1b2 .

……………9 分 ……10 分

其中既有男生又有女生被抽中的有 a1b1 , a1b2 , a2 b1 , a2 b2 这 4 种结果,

所以既有男生又有女生被抽中的概率为 P ?

4 2 ? 6 3.

…………12 分

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN , BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点, 所以 MN ∥ CD ,且 MN ? 由已知 AB ∥ CD , AB ?

1 CD . 2

1 CD , 2
…………………………3 分 …………………………4 分 ………………………5 分

所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . 又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC , 所以 AM ∥平面 BEC . (2)在正方形 ADEF 中, ED ? AD .

又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD , 所以 ED ? 平面 ABCD . 所以 ED ? BC . ………………………7 分

在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 1 , CD ? 2 ,可得 BC ? 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2, CD ? 2 , 所以 BD ? BC ? CD .
2 2 2

2.

所以 BC ? BD . 所以 BC ? 平面 BDE .

…………………………8 分 …………………………10 分 …………11 分

(3)解法一:因为 BC ? 平面 BCE , 所以平面 BDE ? 平面 BEC . 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G ,则 DG ? 平面 BEC 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度 角三角形 BDE 中, S ?BDE ? 所以 DG ?

………………………12 分

在直

1 1 BD ? DE ? BE ? DG 2 2

BD ? DE 2 6 ? ? BE 3 3

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

6 . 3

………………………14 分

解法二: BE ? 平面 BDE ,所以 BC ? BE 所以 S ?BCD ?

1 1 BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2
………………………12 分

S ?BCE ?

1 1 6 BE ? BC ? ? 2 ? 3 ? . 2 2 2

又 VE ? BCD ? VD? BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h . 则

1 1 S ?BCD ? DE ? ? S ?BCE ? h ,所以 3 3

h?

S ?BCD ? DE 1 6 ? ? S ?BCE 3 6 2
………………………14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于 19. (本小题满分 14 分) 解析: (1)? sn ? sn?1 ? 3

6 . 3

? 数列

? s ?为首项为
n

s1 ?

a1 ? 3, 公差d ? 3的等差数列 ……………1 分
……………2 分

? sn ? 3 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ,
即sn ? 3n2

…………………………………………3 分

? an ? sn ? sn?1 ? 6n ? 3(n ? 2) ………………………………………4 分
当n ? 1时,上式也成立 ? an ? 6n ? 3(n ? N * ) ……………6 分
(2)? bn 是

1 1 , 的等比中项, an ?1 an
…………………………………7 分

? bn ?
?

1 1 ? an an?1 (6n ? 3)(6n ? 3)
1 1 1 ( ? ) 6 6n ? 3 6n ? 3

…………………………………9 分

Tn ?

1? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ……………11 分 ? 6? 3 9 9 15 6n ? 3 6 n ? 3 ? ?

?

1 1 1 ( ? ) 6 3 6n ? 3

……………………………………13 分

?

n 9(2n ? 1)

………………………………………14 分

20.(本小题满分 14 分) 解析: (1)由题意可得 a ? 2 , e ? ∴ b ? a ? c ? 1,
2 2 2

c 3 , ? a 2

∴ c?

3

…………2 分

…………………3 分

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

…………………4 分

(2)曲线 E 是以 O (0, 0) 为圆心,半径为 2 的圆。 设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) ,…………………5 分 ∵ A、C、R 三点共线, ∴ AC // AR ,…………………6 分

??? ? ??? ?

而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) , ∴t ?

??? ?

??? ?

4n , m?2

………………………………………8 分

4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), …………………10 分 m?2 m?2 2n n? m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , ∴直线 CD 的斜率为 k ? m?2 m2 ? 4 m2 ? 4
∴点 R 的坐标为 (2, 而 m ? n ? 4 ,∴ m ? 4 ? ?n ,
2 2 2 2

∴k ?

mn m ?? , 2 n ?n

…………………12 分

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所以直线 CD 与曲线 E 相切. 21. (本小题满分 14 分)

4 m2 ? n 2

?

4 4

? 2 ? r ,…………………13 分
……………………………14 分

解:(1)由已知 f ?( x) ? 2 ?

1 ( x ? 0) , x

…………………………1 分 …………………………2 分

f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 ,所以斜率 k ? 3 ,

又切点 (1, 2) ,所以切线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 1) ),即 3x ? y ? 1 ? 0 故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的切线方程为 3x ? y ? 1 ? 0 。 (2) f ?( x) ? a ? ………………3 分

1 ax ? 1 ? ( x ? 0) ………………4 分 x x

①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) . ………………………………5 分 ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?

1 . a

……………………6 分

在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (?

1 a

1 , ??) 上, f ?( x) ? 0 , a 1 , ??) . a
…………7 分

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (? (3)由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max .

1 a

………………8 分 ………………9 分

g ( x) ? ( x ? 1)2 ? 1, x ?[0,1] ,所以 g ( x)max ? 2

由(2)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f (e3 ) ? ae3 ? 3 ? 2 ,故不符合题意.) 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? ………………10 分

1 a

1 , ??) 上单调递减, a 1 a
………12 分

故 f ( x ) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln(? ) ? ?1 ? ln(? a) , 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) , 解得 a ? ?

1 a

1 . e3

…………14 分


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