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“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)


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2010 年“北约”自主招生数学试题及解答

1. (仅文科做) 0 ? ? ?

? ,求证: sin ? ? ? ? tan ? . 2

【解析】 不妨设 f ( x) ? x ? sin x ,

则 f( 且当 0 ? x ? 0 ) 0 ? , 上单调增.∴ f ( x) ? f (0) ? 0 .即有 x ? sin x . 同理可证 g ( x) ? tan x ? x ? 0 .
g (0) ? 0 ,当 0 ? x ?

? ? 时, f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 . 于是 f ( x) 在 0 ? x ? 2 2

? 1 ? 时, g ?( x) ? ? 1 ? 0 .于是 g ( x) 在 0 ? x ? 上单调增。 2 cos x 2 2

? 上有 g ( x) ? g (0) ? 0 。即 tan x ? x 。 2 注记:也可用三角函数线的方法求解.

∴在 0 ? x ?

5 ?1 . (25 分) 2 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系. ⑴当 A , B 中有一点位于 P 点时,知另一点位于 R1 或者 R2 时有最 大 值 为

2. AB 为边长为 1 的正五边形边上的点.证明: AB 最长为

PR1 ;当有一点位于 O 点时, AB max ? OP ? PR1 ;

P Q

R2

O

R1

⑵当 A , B 均不在 y 轴上时,知 A , B 必在 y 轴的异侧方可能取到最大值(否则取 A 点关于 y 轴的对称点 . A? ,有 AB ? A?B )
P

不妨设 A 位于线段 OR2 上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设 合理的) ,则使 AB 最大的 B 点必位于线段 PQ 上. 且 当 B 从 P 向 Q 移 动 时 , AB 先 减 小 后 增 大 , 于 是
AB max ? AP 或 AQ ;
R2 O

B Q



A

R1

对于线段 PQ 上任意一点 B ,都有 BR2 ≥ BA .于是 AB max ? R2 P ? R2Q 由⑴,⑵知 AB max ? R2 P .不妨设为 x . 下面研究正五边形对角线的长.
x-1 H 1 x 1 1 I E 1 F

如右图.做 ?EFG 的角平分线 FH 交 EG 于 H .
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G

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易知 ?EFH ? ?HFG ? ?GFI ? ?IGF ? ?FGH ? 于是四边形 HGIF 为平行四边形.∴ HG ? 1 .
EF FG ?

? . 5

由角平分线定理知

EH x 1 1? 5 .解得 x ? . ? ? 1 x ? 1 HG 2

3. AB 为 y ? 1 ? x 2 上在 y 轴两侧的点,求过 AB 的切线与 x 轴围成面积的最小值. (25 分) 【解析】 不妨设过 A 点的切线交 x 轴于点 C ,过 B 点的切线交 x 轴于点 D ,直线 AC 与直线 BD 相交于点 E .如图.设 B( x1 , y1 ), A( x2 , y2 ) , 且有 y2 ? 1 ? x22 , y1 ? 1 ? x12 , x1 ? 0 ? x2 . 由于 y? ? ?2 x , 于是 AC 的方程为 2 x2 x ? 2 ? y2 ? y ;① ② y ? y2 联立 AC , BD 的方程,解得 E ( 1 , 1 ? x 1 x2 ) . 2( x2 ? x1 ) 2 ? y2 对于①,令 y ? 0 ,得 C ( , 0) ; 2 x2 对于②,令 y ? 0 ,得 D( 于是 CD ?
S?ECD ?
2 ? y1 , 0) . 2 x1
y

BD 的方程为 2 x1 x ? 2 ? y1 ? y .

E A C O B D x

2 ? y1 2 ? y2 1 ? x12 1 ? x2 2 . ? ? ? 2 x1 2 x2 2 x1 2 x2

1 CD (1 ? x1 x2 ) .不妨设 x1 ? a ? 0 , ? x2 ? b ? 0 ,则 2 1 1 ? a 2 1 ? b2 1 1 1 S?ECD ? ( ? )(1 ? ab) ? (2a ? 2b ? ? ? a 2b ? ab2 ) 4 a b 4 a b 1 1 1 1 ? (a ? b)(2 ? ab ? ) ≥ ? 2 ab ? (2 ? ab ? ) ③ 4 ab 4 ab 不妨设 ab ? s ? 0 ,则有 1 1 1 1 1 1 1 S?ECD ? ( s 3 ? 2 s ? ) ? ( s 3 ? s ? .. ? s ? ? ... ? ) 2 s 2 3 3 9 s 9 s ????? ?????

6个

9个

1 1 1 1 1 24 1 3 8 ≥ ? 16 ?? s3 ? ? s)6 ? ? ?9 ]16 ? 8 ? ( ) 16 ? 8 ? ? ) 2 ? 3. ④ 2 3 9s 3 3 9 3 3 3 又由当 x1 ? a ? 时,③,④处的等号均可取到. , x2 ? ?b ? ? , s? 3 3 3 8 ∴ (S?ECD )min ? 3. 9 1 1 注记:不妨设 g (s) ? (s3 ? 2s ? ) ,事实上,其最小值也可用导函数的方法求解. 2 s 1 2 1 1 1 由 g ?(s) ? (3s ? 2 ? 2 ) 知当 0 ? s 2 ? 时 g ?(s) ? 0 ;当 ? s 2 时 g ?(s) ? 0 . 2 s 3 3

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则 g (s) 在 (0,

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3 3 3 时 g (s) 取得最小值. ) 上单调减,在 ( , ? ?) 上单调增.于是当 s ? 3 3 3

4.向量 OA 与 OB 已知夹角, OA ? 1 , OB ? 2 , OP ? (1 ? t )OA , OQ ? tOB , 0 ≤ t ≤1 . PQ 在 t 0 时取
1 得最小值,问当 0 ? t0 ? 时,夹角的取值范围. (25 分) 5 【解析】 不妨设 OA , OB 夹角为 ? ,则 OP ? 1 ? t , OQ ? 2t ,令
g (t ) ? PQ ? (1 ? t )2 ? 4t 2 ? 2 ? (1 ? t ) ? 2t cos ? ? (5 ? 4cos ? )t 2 ? (?2 ? 4cos ? )t ? 1 .
2

1 ? 2cos ? 1 ? 2x 5 1 ? 2cos ? 1 .而 f ( x) ? 在 (? , ? ? ) 上单调增,故 ?1 ≤ ≤ . 5 ? 4cos ? 5 ? 4x 4 5 ? 4cos ? 3 1 ? 2cos ? 1 1 ? 2cos ? 1 ? 2? 当 0≤ . ≤ 时, t0 ? ? (0, ) ,解得 ? ? ? 5 ? 4cos ? 3 5 ? 4cos ? 5 2 3

其对称轴为 t ?

当 ?1 ≤

1 ? 2cos ? ? 0 时, g (t ) 在 [0, 1] 上单调增,于是 t0 ? 0 .不合题意. 5 ? 4cos ?

? 2? 于是夹角的范围为 [ , ] . 2 3

? ,使得 sin x , cos x , tan x , cot x 为等差数列. (25 分) 2 (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) 【解析】 不存在;否则有 cos x ? sin x ? cot x ? tan x ? , sin x cos x cos x ? sin x 则 cos x ? sin x ? 0 或者 1 ? . sin x cos x 2 2 ? 若 cos x ? sin x ? 0 ,有 x ? .而此时 , , 1, 1 不成等差数列; 2 2 4 cos x ? sin x 若1 ? ,有 (sin x cos x)2 ? 1 ? 2sin x cos x .解得有 sin x cos x ? 1 ? 2 . sin x cos x 1 1 而 sin x cos x ? sin 2 x ? (0, ] ,矛盾! 2 2
5. (仅理科做)存不存在 0 ? x ?

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