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南京市2012~2013学年度第一学期期末调研高一数学试卷及答案


2012-2013 学年度第一学期期末调研试卷

高一数学
注意事项:

2013.01

1.本试卷共 4 页, 包括填空题 (第 1 题~第 14 题) 、 解答题 (第 15 题~第 20 题) 两部分. 本 试卷满分为 100 分,考试时间为 100 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、

学号写在答卷纸的密封线内.试题的答 ... 案写在答卷纸上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答卷纸. ....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答卷纸相应位置 上. 1.已知集合 A={0,2},B={1,2,3},则 A∩B= 17? 2.计算:sin(- )= 4 ▲ . ▲ . ▲ . ▲ .

3 3.函数 f(x)=lgx+ 的定义域是 x-2

4.已知角?的终边经过点 P(-3,4),则 sin?-2cos?的值是 5.计算:2lg5+lg4= ▲ .

6.已知向量 a,b 满足:|a|=1,|b|=2,a?(a+b)=2,则 a 与 b 的夹角是 7.已知 a=log32,b=log45,c=log30.3,则 a,b,c 的大小关系是 接) . 8.函数 y=Asin(?x+?)(A>0,?>0,|?|<?)的图象如右图所示, 则该函数的解析式为 y= ▲ .
2 y







(用“<”连

2? 3 - ? O 12 x

-2 (第 8 题)

9.已知向量 e1 和 e2 为两个不共线的向量,a=e1+e2,b=2e1-e2,c=e1+2e2,以 a,b 为 基底表示 c,则 c= ▲ .

10.给出下列四个函数:①y=tanx;②y=-x3;③y=∣x2-1∣;④y=-sinx.其中既是 奇函数,又在区间(0,1)上为单调递减的函数是 ▲ .(写出所有满足条件的函数

的序号)

11.已知?为第三象限角,且
2-x

1-sin? sin?-cos? 1 + =2,则 的值为 1+sin? cos? sin?+2cos?





? ?2 , x≥2, 12.已知函数 f(x)=? ? 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实数根,则 ?sin(4x),-2≤x<2, ?
实数 k 的取值范围是 ▲ .

? sin(x+?) m ? a b? ? ?,x∈[-?,?] ,若 f(x)的最大 ? 6 13.定义 2 2 ? c d ?=ad-bc.已知函数 f(x)=? ? ? -1 2 ?
值与最小值的和为 3,则实数 m 的值是 ▲ .

14.已知函数 f(x)=a(x+a)(x-2a+1),g(x)=2x-4 满足条件:对任意 x∈R, “f(x)<0”与 “g(x)<0”中至少有一个成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 8 分) 设 x,y∈R,向量 a=(x,2),b=(4,y),c=(1,-2),且 a?c,b∥c. (1)求 x,y 的值; (2)求∣a+b∣的值.

16. (本小题满分 10 分) 已知 2sin2?+5cos(-?)=4.求下列各式的值: ? (1)sin( +?); 2 (2)tan(?-? ).

17. (本小题满分 10 分) 经市场调查, 某农产品在过去 20 天的日销售量和价格均为销售时间 ( t 天) 的函数, 且日销售量近似地满足 f(t)=-2t+70(1≤t≤20,t∈N) ,前 10 天价格近似地满足 1 g(t)= t+10(1≤t≤10,t∈N) ,后 10 天价格近似地满足 g(t)=15(11≤t≤20,t∈N) . 2 (1)写出该农产品的日销售额 S 关于时间 t 的函数关系;

(2)求日销售额 S 的最大值.

18. (本小题满分 10 分) ? 已知函数 f(x)=2sin(2x- ). 3 (1)求 f(x)的最小值及 f(x)取到最小值时自变量 x 的集合; (2)指出函数 y=f(x)的图象可以由 y=sinx 的图象经过哪些变换得到; (3)当 x∈[0,m]时,函数 y=f(x)的值域为[- 3 ,2],求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 10 分) 如图,在△ABC 中,已知 CA=2,CB=3,?ACB=60?,CH 为 AB 边上的高. → → (1)求 AB · BC ; → → → (2)设 CH =m CB +n CA ,其中 m,n∈R,求 m,n 的值. H C A
(第 19 题)

B

20. (本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=x2-4-k|x-2|. (1)若函数 y=f(x)为偶函数,求 k 的值; (2)求函数 y=f(x)在区间[0,4]上的最大值; (3)若函数 y=f(x)有且仅有一个零点,求实数 k 的取值范围.

2012-2013 学年度第一学期期末调研试卷 高一数学参考答案及评分标准
2013.01
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分. 1.{2} 6.60? 1 11. 4 2.- 2 2 3.{x∣x>0,且 x≠2} π 8.2sin(2x+ ) 6 13. 3-1 4.2 5 1 9 . a- b 3 3 14.(-2,0) 5.2 10.②④

7.c<a<b 12.(0,1)

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解 (1)由 a?c,得 a·c=0. 即 x?1+2?(-2)=0, 所以 x=4. 分 由 b∥c,得 4?(-2)-y?1=0, 所以 y=-8. 4分 (2)因为 a=(4,2),b=(4,-8), 所以 a+b=(8,-6), 分 所以∣a+b∣= 82+(-6)2=10. ?????????????? ????????????????????6 ???????????????????????? ????????????????2

8分 16.解(1)由条件得 2(1-cos2?)+5cos?=4, 即 2cos2?-5cos?+2=0. 分 所以(2cos?-1)(cos?-2)=0. 1 因为 cos?≠2,所以 cos?= . 2 1 ? 所以 sin( +?)=cos?= . 2 2 5分 1 (2)cos?= >0,所以?为第一象限或第四象限角. 2 ①当?为第一象限角,sin?= 1-cos2?= sin? tan(?-?)=-tan?=- =- 3; cos? 8分 ②当?为第四象限角,sin?=- 1-cos2?=- sin? tan(?-?)=-tan?=- = 3. cos? 10 分 3 , 2 3 , 2 ??????????????? ??????????????????? ???????????????????2

????????????????

? ?(-2t+70)(1t+10),1≤t≤10,t∈N, 2 17.解(1)根据题意,得 S=? ?15(-2t+70), ? 11≤t≤20,t∈N.
分 15 3025 (2)①当 1≤t≤10,t∈N 时,S=-(t- )2+ , 2 4 所以当 t=7 或 8 时,S 的最大值为 756; 分 ②当 11≤t≤20,t∈N 时,S=-30t+1050 为减函数, 所以当 t=11 时,S 的最大值为 720. 因为 756>720, 所以当 t=7 或 8 时, 日销售额 S 有最大值 756. 分 18.解 (1)ymin=-2.

??????5

????????????7

??????????10

? ? ? 此时 2x- =2k?- ,即 x=k?- ,k∈Z, 3 2 12 ? 即此时自变量 x 的集合是{x∣x=k?- ,k∈Z}. 12 分 ? ? (2)把 y=sinx 图象向右平移 ,得到函数 y=sin(x- )的图象; 3 3 1 ? 再把函数 y=sin(x- )的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 , 3 2 ? 得到函数 y=sin(2x- )的图象; 3 ? 最后再把函数 y=sin(2x- )的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍, 3 ? 得到函数 y=2sin(2x- )的图象. 3 ?????????6 分 5? (3)如图,因为当 x∈[0,m]时,y 取到最大值 2,所以 m≥ . 12 ????????8 分 又函数 y=f(x)在[ 故 m 的最大值为[ 5? 11? , ]上是单调减函数, 12 12 5? 11? , ]内使函数值为- 3的值. 12 12
2 5 ? 7? 6 6 O ? 5? 6 12 - 3 (第 18 题) x y

?????????3

5? ? 令 2sin(2x- )=- 3, 得 x= . 3 6 5? 5? 所以 m 的取值范围是[ , ]. 12 6 分 ????????10

→ → → → → 19.解(1)设 CB =a, CA =b,因为 AB = CB - CA =a-b, →→ 所以 AB ? BC =(a-b)?(-a)=-a2+a·b=-9+3?2?cos60?=-6. 3分 (2)因为 A,H,B 三点共线, → → 所以设 AH =? AB =?(a-b), → → → 所以 CH = CA + AH =b+?(a-b)=?a+(1-?) b. 6分 ????????? ?????

→ → →→ 因为 CH ? AB ,所以 CH ? AB =0. 所以[?a+(1-?) b] ? (a-b)=0. 即?a2-(1-?) b2+(1-2?)a?b=0. 1 因为 a2=9,b2=4,a?b=3,代入上式,解得?= . 7 → 1 6 1 6 所以 CH = a+ b,即 m= ,n= . 7 7 7 7 分 20.解(1)因为 y=f(x)为偶函数,所以 f(-1)=f(1), 解得 k=0, 经检验 k=0 符合题意. 分 (2)方法一: k 当 x∈[0,2]时,f(x)=x2+kx-2k-4,对称轴方程为 x=- , 2 k ①当- ≤1 时,即 k≥-2,则 f(x)max=f(2)=0; 2 k ②当- >1 时,即 k<-2,则 f(x)max=f(0)=-2k-4; 2 分 k 当 x∈[2,4]时,f(x)=x2-kx+2k-4,对称轴方程为 x= , 2 k ①当 <3 时,即 k<6,则 f(x)max=f(4)=12-2k; 2 k ②当 ≥3 时,即 k≥6,则 f(x)max=f(2)=0; 2 分 因为当 k≥6 时,f(x)max=f(2)=0; 当-2≤k<6 时,因为 f(4)>0,所以 f (x)max=12-2k; 当 k<-2 时,f(4)>f(0),所以 f (x)max=12-2k, 综上,当 k<6 时,所求最大值为 12-2k;当 k≥6 时,所求最大值为 0. ??????????? 6分
?x2+kx-2k-4,0≤x≤2, 方法二:当 x∈[0,4]时,f(x)=? 2 ?x -kx+2k-4,2<x≤4.

???????????10

???????????2

?????????3

???????????4

因为 y=f(x)在区间[0, 4]上图象由两段抛物线段组成, 且这两个抛物线开口均向上, 所以其最大值只可能是 f(0)、 f(2)、 f(4)其中之一. 4分 又 f(0)=-2k-4, f(2)=0, f(4)=12-2k, 显然 f(4)>f(0), 所以当 k<6 时,所求最大值为 f(4)=12-2k;当 k≥6 时,所求最大值为 f(2)=0. ??????????? 6分 (3)由题意,方程 x2-4-k|x-2|=0 有且仅有一个解, 显然,x=2 已是该方程的解. 8分 当 x≥2 时,方程变为(x-2)( x+2-k)=0; 当 x<2 时,方程变为(x-2)( x+2+k)=0. 从而关于 x 的方程 x+2-k=0(x≥2)有且仅有一个等于 2 的解或无解, 且 x+2+k=0(x<2) 无解. 又 x=2 时,k=4,此时 x=-6 也是方程的解,不合题意. 所以关于 x 的方程 x+2-k=0(x≥2)无解,且 x+2+k=0(x<2) 无解. 所以 k<4 且 k≤-4. 所以 k≤-4,即实数 k 的取值范围为(-∞,-4]. 分 ?????????10 ??????????? ???????????


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