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直线的倾斜角与斜率PPT课件


3.1直线的倾斜角与斜率

在平面直角坐标系里
点用坐标表示: 直线如何表示呢?
y y
p ( x, y )

l

x

o

思考?
一条直线的位置由 哪些条件确定呢?

x

o
<

br /> 直线的位置
我们知道,两点确定一条直线。
y

过一点O的直线可以作无数条, 可以用直线与X轴的夹角描述它 们的倾斜程度

x

o

一点能确定一条 直线的位置吗?

一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义:
当直线L与X轴相交时,我们取X轴作为基 准,X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角(angle of inclination)
y

l

x

o

a

注意: (1)直线向上方向; (2)轴的正方向。

练习:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A y y )
x o

o

a

A
y

B
y

a
C D
x x o

a

o

x

a

2、直线倾斜角的范围:
当直线 l 与 x 轴平行或重合时,我 ? 们规定它的倾斜角为 0 ,因此,直线 ? ? 的倾斜角的取值范围为: 0 ? a ? 180

按倾斜角去分类,直线可分几类?
y y

零度角

锐角

直角

钝角

x

x

x

x

o

o

a

y

y

a

o

o

3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中,每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
倾斜程度 ? 倾斜角

倾斜角相同能确 定一条直线吗? 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
l3

y

l 2 l1

o

x

4、如何才能确定直线位置?
y

l

一点+倾斜角 ? 确定一条直线
(两者缺一不可)

x

o

a

过一点且倾斜角为 a 能不能确定一条直线?



二、直线的的斜率
思考?日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?
如图3.1-3,日常生活中,我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”(倾斜程度),即

升高量 坡度 ? 前进量

D
C 升

设直线的倾斜程度为K
BC k AC ? AB BD k AD ? AB

? tan ?

? tan ?

A

? ?
前进量

高 量

B

1、直线斜率的定义:
我们把一条直线的倾斜角 用小写字母 k 表示,即:

a 的正切值叫做这

条直线的斜率(slope)。

k ? tan a
?

例如: 3 ? ? a ? 30 ? k ? tan30 ? 3
?

a ? 45 ? k ? tan45 ? 1 ? ? a ? 60 ? k ? tan60 ? 3

当a ? 90?时 k ??

y

o

x

思考:当直线与 x 轴垂直时, 直线的倾斜角是多少?

a ? 90 ? tana(不存在)
?

即k不存在

锐角
y
y2
y1

3、探究:由两点确定的直线的斜率 k ? tan ?
能不能构造 一个直角三 如图,当 α为锐角时, 角形去求? P2 ( x2 , y2 )

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,

Q( x2 , y1 )

且x1 ? x2 , y1 ? y2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0

钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角时, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( 180? ? ? )
P 1 ( x1 , y1 )

?
Q( x2 , y1 )

o

x1

x2

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

?0

思考?
1、当
p1 p 2 的位置对调时, k

值又如何呢?

y
P2 ( x2 , y2 )

P 1 ( x1 , y1 )

?

y

P 1 ( x1 , y1 )

Q( x2 , y1 )

? o

?

(3)

x

o

Q( x2 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

?

(4)

x

思考?

2、当直线平行于x轴,或与 x轴重合时, ? k ? tan0 ? 0 上述公式还适用吗?为什么?

? ?0

?

y
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

x1 o

x2

x

答:成立,因为 分子为0,分母不 为0,K=0

思考?
1、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, k不存在 上述公式还适用吗?为什么?

? ? 90 , tan90 (不存在)
? ?

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

y1

o

x

答:不成立, 因为分母为0。

练习:关于直线的倾斜角和斜率,下列那些 说法是正确的( )
?

1. 任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; 2. 直线的倾斜角越大,它的斜率就越大;

?

3. 平行于x轴的直线的倾斜角是0; 4. 两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等; 5. 过原点的直线,斜率越大越靠近于y轴; 6. 直线斜率的取值范围是R; 7. 两直线的斜率相等,它们的倾斜角相等。

?

?

?

?

4、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2 P1 P1 P2

B(b1 , b2 ) ,运 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 ) 、 用上述公式计算直线AB的斜率时,与A、 B的顺序有关吗?

b2 ? a2 k AB ? b1 ? a1

?

a2 ? b2 kBA ? a1 ? b1

答:与A、B两点的顺序无关。

例1

、如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求 直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线 的倾斜角是什么角? y. 解: B . A 2?2 . . . . . . . ?0 直线AB的斜率 k AB ? o x ?8? 4 . ?2?2 ?4 1
直线BC的斜率 kBC ? 直线CA的斜率 kCA
0 ? (?8) ? 8 ?? 2

C

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ k BC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? (?2) 4 ? ? ?1 4?0 4

例题分析
例2、在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别 为1,-1,2和-3的直线 l1 , l2 , l3及l4 。
y A3 A1 O A2 A4

l3

l1

x

l4

l2

例3,已知三点A(a,2),B(5,1),

C(-4,2a)在同一直线上,求a的值

例4,直线的斜率为 K,倾斜角为?, ( 1 )若 ?〈 1 K〈1,求?的范围 ? 3? (2)若 〈?〈 ,求K的范围 4 4

例5,过点P(2,-1)作直线L与 线段AB有公共点,A(-3,4) B(3,2) (1)求直线L的斜率K的范围 (2)求直线L倾斜角的范围

三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角 ? 之间的关系:

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式:k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ? ?a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?

作业:

P98 A组1, 2, 3, 4, 5

B组5, 6


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