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甘肃省兰州市2015届高三3月诊断考试数学(理)试题 Word版含答案


注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓 名、考号填写在答题纸上。 2.本试卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。答题全部在答题纸上完成,试卷上答题无效。

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x || x |? 1} , B ? {x | 2x ? 1} ,则 A I B ? A. ( ?1,0) 2.复数 A. 1 B. ( ?1,1) C. (0, )

1 2

D. (0,1)

1 ( i 是 虚数单位)的虚部是 1? i
B. i C.

3.设 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a , b 夹角 A. 2 B. 4

r

r

r

r

r r ? ,则 | 2a ? b |? 3

1 2

D.

1 i 2

C. 12

D. 2 3

4.从数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 40 的概率为 A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

5.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 ? A. 18 B. 36 C. 54 6.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则 正视图中的 x 的值是 A.2 C.
3 2 9 B. 2
x
正视图

D. 72

2

侧视图

1

1

D.3
开始 俯视图 i=12,S=1 否 是

7.如图,程序输出的结果 S ? 132 , 则判断框中应填

第 - 1 - 页 共 14 页

S=S*i

输出 S

A. i ? 10 ? B. i ? 11? C. i ? 11? D. i ? 12 ? 8.设 a , b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面, a ? ? , b ? ? ,则 ? ∥ ? 是

a?b的
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件

? x ? y ?1 ? 9.已知不等式组 ? x ? y ? ?1 所表示的平面区域为 D ,若直线 y ? kx ? 3 与平面区域 D 有公 ? y?0 ?
共点,则 k 的取值范围为是 A. [?3,3] C. ( ??, ?3] B. ( ??, ? ]

1 3

1 [ , ??) 3

[3, ??)

D. [ ? , ]

1 1 3 3

10.在直角坐标系 xoy 中,设 P 是曲线 C : xy ? 1( x ? 0) 上任意一点, l 是曲线 C 在点 P 处 的切线,且 l 交坐标轴于 A , B 两点,则以下结论正确的是 A. ?OAB 的面积为定值 2 C. ?OAB 的面积有最大值为 4
2

B. ?OAB 的面积有最小值为 3 D. ?OAB 的面积的取值范围是 [3, 4]

11.已知抛物线 C1 : x ? 2 y 的焦点为 F ,以 F 为圆心的圆 C2 交 C1 于 A, B 两点,交 C1 的 准线于 C , D 两点,若四边形 ABCD 是矩形,则圆 C2 的标准方程为

1 2 2 1 2 2 C. x ? ( y ? ) ? 2 2
2

A. x ? ( y ? ) ? 4

1 2 2 2 1 2 2 D. ( x ? ) ? y ? 2 2
B. ( x ? ) ? y ? 4

12. 己知定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x) , 满足 f ?( x) ? f ( x) , 且 f ( x ? 2) 为

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偶函数, f (4) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e x 的解集为 A. ( ?2, ??) C. (1, ??) B. (0, ??) D. (4, ??)

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知 ? ? (0,

?
2

) , cos ? ?

4 ,则 sin(? ? ? ) ? 5



14.椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,若椭圆 C 的离心率等于 是抛物线 x 2 ? 8 3 y 的焦点,则椭圆 C 的标准方程为

1 ,且它的一个顶点恰好 2
. .

15.已知函数 f ( x) ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 16.数列 {an } 的首项为 a1 ? 1 ,数列 {bn } 为等比数列且 bn ?

1 an ?1 ,若 b10b11 ? 201510 ,则 an

a21 ?



三、解答题:解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 6 ,求 b ? c 的取值范围.

a c ? . 3 cos A sin C

18. (本小题满分 12 分)

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AB ∥ CD , 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 , 底 面 ABCD 是 等 腰 梯 形 , AB ? 2 , BC ? CD ? 1 ,顶点 D1 在底面 ABCD 内
的射影恰为点 C . (Ⅰ)求证: AD1 ? BC ; (Ⅱ)若直线 DD1 与直线 AB 所成的角为 A1 D1 C1 B1

? , 3
A

D

C B

求平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角(锐角)的 余弦函数值.

19. (本小题满分 12 分) 为迎接 2015 年在兰州举行的“中国兰州国际马拉松赛” ,某单位在推介晚会中进行嘉宾 现场抽奖活动. 抽奖盒中装有大小相同的 6 个小球, 分别印有“兰州马拉松”和 “绿色金城行” 两种标志,摇匀后,规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀) ,若抽到 的两个小球都印有“兰州马拉松”即可中奖,并停止抽奖,否则继续,但每位嘉宾最多抽取 3 次.已知从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为 (Ⅰ)求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数; (Ⅱ)用 ? 表示某位嘉宾抽奖的次数,求? 的分布列和期望.

4 . 5

20. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线为 y ? 3x ,右焦点 F 到直线 a 2 b2

3 a2 x ? 的距离为 . 2 c
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与曲线 C 相交于 B 、 D 两点,已知 A(1,0) , 若 DF ? BF ? 1 ,证明:过 A 、 B 、 D 三点的圆与 x 轴相切. 21.(本小题满分 12 分)
第 - 4 - 页 共 14 页

uuu r uuu r

设函数 f ( x) ? x 2 ? m ln( x ? 1) . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围;
3 (Ⅱ)若 m ? ?1 ,试比较当 x ? (0, ??) 时, f ( x ) 与 x 的大小;

(Ⅲ)证明:对任意的正整数 n ,不等式 e ? e
0

?1?4

? e ?2?9 ?

? e(1?n ) n ?

2

n(n ? 3) 成立. 2

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,如果多答按所答第一题评分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何 证明选讲 如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E ,割线 PBA 交⊙ O 于 A 、 B 两点, ? APE 的平分线和 AE 、

BE 分别交于点 C 、 D .求证:
(Ⅰ) CE ? DE ; C ?O

E D P A B

CA PE ? (Ⅱ) . CE PB

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? , ( ? 为参数) ,以原点 O 为 ? y ? sin ?

极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? sin(? ? (Ⅰ) 求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (Ⅱ) 设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C 2 上点的距离的最小值 .

?
4

) ? 4 2.

第 - 5 - 页 共 14 页

一、选择题 题 号 答案 D C D B D D B A C A A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

7. 解析 : 由题意, S 表 示 从 12 开 始 的 逐 渐 减 小 的 若 干 个 整 数 的 乘 积 , 由 于 12×11=132 , 故 此 循 环 体 需 要 执 行 两 次 所 以 每 次 执 行 后 i 的 值 依 次 为 11 ,10,由 于 i 的 值 为 10 时 ,就 应 该 退 出 循 环 , 再 考 察 四 个 选 项 , B符 合 题 意
2 , ), ∴ 圆 C2 的 圆 心 坐 标 为 11. 解析 :依 题 意 , 抛 物 线 C1 : x ? 2 y 的 焦 点 为 F ( 0

1 2

1 1 F (0, ) ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形 , 且 BD 为 直 径 , AC 为 直 径 , F ( 0 , )为 圆 C2 的 圆 2 2
心 ∴点 F 为该矩形的两条对角线的交点, ∴ 点 F 到 直 线 CD 的 距 离 与 点 F 到 AB 的 距 离 相 等 , 又 点 F 到 直 线 CD 的 距 离 为

p ? 1 ∴ 直 线 AB 的 方 程 为 : y ?
∴ 圆 C2 的 半 径 r ? AF ?

3 2

∴ A( 3, )

3 2

3 1 ( 3 ? 0)2 ? ( ? )2 ? 2 2 2
1 2

∴ 圆 C2 的 方 程 为 : x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4 12. 解析 :∵ f ( x ? 2) 为偶函数,∴ f ( x ? 2) 的图象关于 x ? 0 对称 ,∴ f ( x ) 的图象关于

x ? 2 对称∴ f (4) ? f (0) ? 1

f ( x) f ?( x)e x ? f ( x)e x f ?( x) ? f ( x) ? 设 g ( x) ? ( x ? R ),则 g ( x) ? ? ex (e x ) 2 ex
又∵ f ?( x) ? f ( x) ,∴ g ?( x ) ? 0 ( x ? R ),∴函数 g ( x ) 在定义域上单调递减 ∵ f ( x) ? e ? g ( x) ?
x

f ( x) f (0) ? 1 ,而 g (0) ? 0 ? 1 x e e
∴ x ? 0 故选 B.

∴ f ( x) ? e ? g ( x) ? g (0)
x

第 - 6 - 页 共 14 页

二、填空题

3 13. 5

x2 y2 ? ?1 14. 16 12

15. (0, )

1 2

16. 2015

1 15.解析 :函 数 f ( x) ? x ? ln x ? ax ? , 则 f ?( x ) ? l n x ? a x? x( ? a) ? l n x? 2a x? ,
令 f ?( x ) ? ln x ? 2ax ? 1 得 ln x = 2ax - 1 , 因 为 函 数 f ( x) ? x ? ln x ? ax ? 有 两 个 极 值 点 , 所 以 f ?( x ) ? l n x ? 2a x? 1 有两个零点, 等 价 于 函 数 y ? ln x 与 y ? 2ax ? 1 的 图 象 有 两 个 交 点 ,在 同 一 个 坐 标 系 中 作 出 它 们 的 图 象 ,过点(0,-1)作 y ? ln x 的切线,设切 点 为 ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率 k ?

1 x

1 1 ,切线方程为 y ? x ?1 . 切 点 在 切 线 上 , 则 x0 x0

y0 ?

x0 ? 1 ? 0 ,又切点在曲线 y ? ln x 上,则 ln x0 ? 0 ? x0 ? 1 ,即切点为(1,0).切线 x0

方程为 y ? x ? 1 . 再由直线 y ? 2ax ? 1 与曲线 y ? ln x 有两个交点,知直线 y ? 2ax ? 1 位于 两直线 y ? 0 和 y ? x ? 1 之间, 其斜率 2a 满足: 0<2a<1, 解得实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( 0, ).

1 2

三、解答题 17. 解: (Ⅰ )∵

a c a ? ? , 3 cos A sin C sin A
∴ tan A ?

∴ 3 cos A ? sin A ∵0 ? A ? ? ∴ A?

3

?
3
第 - 7 - 页 共 14 页

…………6 分

(Ⅱ )由正弦定理得:

a b c 6 ? ? ? ?4 3, ? sin A sin B sin C 3 cos 3

∴ b ? 4 3sin B , c ? 4 3sin C ∴ b ? c ? 4 3sin B ? 4 3sin C

? 4 3? s iB n?
?1 2 s iB n( ?

s? in ? (A? B? ? )
)

? ? ? 4 3B ?s i n ? s i B n( ? ? 3 ? ?

)

?

6 ? ? 5? ? B? ? ∵ 6 6 6
即: b ? c ? ? 6,12?

∴ 6 ? 12sin( B ?

?
6

) ? 12
…………12 分

18. 解:(Ⅰ)证明:连接 D1C ,则 D1C ? 平面 ABCD , ∴ D1C ? BC 在等腰梯形 ABCD 中,连接 AC ∵ AB ? 2 , BC ? CD ? 1 AB ∥ CD ∴ BC ? AC ∴ BC ? 平面 AD1C ∴ AD1 ? BC (Ⅱ)解法一: ∵ AB ∥ CD ∵ CD ? 1 ∴ ?D1 DC ? …………6 分

?
3

∴ D1C ? 3

在底面 ABCD 中作 CM ? AB ,连接 D1M ,则 D1M ? AB ,所以 ?D1MC 为平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角的一个平面角 在 Rt?D1CM 中, CM ?

3 , D1C ? 3 2

第 - 8 - 页 共 14 页

∴ D1M ? CM ? D1C ?
2 2

15 2

∴ cos ?D1CM ?

5 5 5 5
…………12 分

即平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦函数值为 解法二: 由(Ⅰ)知 AC 、 BC 、 D1C 两俩垂直, ∵ AB ∥ CD ∴ ?D1 DC ?

?
3

∴ D1C ? 3 z D1 A1 C1 B1

在等腰梯形 ABCD 中,连接 AC 因 AB ? 2 , BC ? CD ? 1 AB ∥ CD , 所以 AC ? 3 ,建立如图空间直角坐标系, 则 A( 3,0,0) , B(0,1,0) , D1 (0,0, 3)

r 设平面 ABC1D1 的一个法向量 n ? ( x, y, z )

u r r uu ? n ? AB ?0 ? ? y ? 3x ? 0 ? 由 ? r uuur 得? ?z ? x ? 0 ? ?n ? AD1 ? 0 ?

D A

C B y

r 可得平面 ABC1D1 的一个法向量 n ? (1, 3,1) . x
又 CD1 ? (0,0, 3) 为平面 ABCD 的一个法向量.

uuu r

uuu r r uuu r r CD1 ? n 5 r r ? 因此 cos ? CD1 , n ?? uuu | CD1 || n | 5
所以平面 ABC1D1 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为

5 . 5

19. 解(Ⅰ)设印有“绿色 金城行”的球有 n 个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件 A , 则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是 P( A) ?
2 Cn , 2 C6

4 由对立事件的概率: P ( A) = 1 ? P( A) ? . 5
解得 n ? 3.

2 Cn 1 即 P( A) ? 2 ? , C6 5

…………6 分

第 - 9 - 页 共 14 页

(Ⅱ)由已知,两种球各三个,? 可能取值分别为 1, 2,3 ,

P(? ? 1 )?

2 C3 1 ? 2 C6 5 2 2 1 1 2 C3 C3 CC 3 3C 3 4 , ? ? ? ? 2 2 2 2 C6 C6 C 6 C 6 25

P(? ? 2 ) ?

P (? ? 3) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ?
(或 P(? ? 3) ?

16 25

2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 16 ) ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 25

则? 的分布列为:

?
P
所以 E? ? 1 ?

1

2

3

1 5

4 25

16 25
…………12 分

1 4 16 61 ? 2 ? ? 3? ? . 5 25 25 25

b a2 3 ? 3 c ? ? 20. 解: (Ⅰ)依题意有 , a c 2
∵a ?b ? c
2 2 2

∴ c ? 2a ∴a ?1,c ? 2 ∴b ? 3
2

2 ∴曲线 C 的方程为 x ?

y2 ?1 3

……………6 分

(Ⅱ)设直 线 l 的方程为 y ? x ? m ,则 B( x1, x1 ? m) , D( x2 , x2 ? m) , BD 的中点为 M

?y ? x ? m ? 由 ? 2 y2 得 x ? ?1 ? 3 ?

2 x 2 ? 2mx ? m2 ? 3 ? 0

第 - 10 - 页 共 14 页

m2 ? 3 ∴ x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? ? 2
∵ DF ? BF ? 1 ,即 (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? 1 ∴ m ? 0 (舍)或 m ? 2 ∴ x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? ?

uuu r uuu r

∵ DA ? BA ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

uuu r uur

7 2

M 点的横坐标为

x1 ? x2 ?1 2

? 5 ? 2 x1x2 ? x1 ? x2 ? 5 ? 7 ? 2 ? 0
∴ AD ? AB ∴过 A 、 B 、 D 三点的圆以点 M 为圆心, BD 为直径 ∵ M 点的横坐标为 1 ∴ MA ? x ∵ MA ?

1 BD 2
……………12 分

∴过 A 、 B 、 D 三点的圆与 x 轴相切 21. 解:(Ⅰ)∵ f ?( x ) ? 2 x ? 数. ∴

m 2x2 ? 2x ? m ? 又函数 f ( x ) 在定义域上是单调函 x ?1 x ?1

f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立

若 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上 恒成 立 , 即 函数 f ( x ) 是 定 义域 上的 单调 地增 函数 , 则

1 1 1 m ? ?2 x 2 ? 2 x ? ?2( x ? ) 2 ? 在 ( ?1, ??) 上恒成立,由此可得 m ? ; 2 2 2
若 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立 , 则 f ?( x ) ? 2 x ? 即 m ? ?2 x ? 2 x ? ?2( x ? ) ?
2 2

m ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立 . x ?1

1 2

1 在 ( ?1, ??) 上恒成立. 2

∵ ?2( x ? ) ?
2

1 2

1 在 ( ?1, ??) 上没有最小值 2

∴不存在实数 m 使 f ?( x) ? 0 在 ( ?1, ??) 上恒成立. 综上所述,实数 m 的取值范围是 [ , ??) .
2 (Ⅱ)当 m ? ?1 时,函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) .

1 2

……………4 分

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令 g ( x) ? f ( x) ? x3 ? ? x3 ? x 2 ? ln( x ? 1) 则 g ?( x ) ? ?3x ? 2 x ?
2

1 3x 3 ? ( x ? 1)2 ?? x ?1 x ?1

显然,当 x ? (0, ??) 时, g ?( x ) ? 0 , 所以函数 g ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减 又 g (0) ? 0 ,所以,当 x ? (0, ??) 时,恒有 g ( x ) ? g (0) ? 0 , 即 f ( x) ? x ? 0 恒成立.
3

故当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? x3 (Ⅲ)证法一:由(Ⅱ)可知 x 2 ? x 3 ? ln( x ? 1) ( x ? (0, ??) ) ∴e ∴e
(1? x ) x2

……………8 分

? x ?1

( x ? (0, ??) ) (n?N )
?

(1?n ) n2

? n ?1
? e ?2?9 ?

∴e ? e
0

?1?4

? e(1?n ) n ? 2 ? 3 ? 4 ?

2

? ( n ? 1) ?

n( n ? 3) ………12 分 2

证法二:设 Sn ?

n( n ? 3) 2

则 an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 1(n ? 2) ∵ a1 ? S1 ? 2 欲证 e ? e
0 ?1?4

∴ an ? n ? 1, n ? N ?

? e ? 2?9 ? ? ? e (1? n )?n ?

2

n(n ? 3) 2

只需证 e

(1?n )?n2

? n ?1
2

只需证 (1 ? n) ? n ? ln(n ? 1) 由(Ⅱ)知 x ? x ? ln(x ? 1), x ? (0,??)
2 3

即 (1 ? n) ? n ? ln(n ? 1) 。
2

所以原命题成立。 方法三:数学归纳法
0 证明:1、当 n ? 1 时,左边= e ? 1 ,右边=

1? 4 ? 2 ,原不等式成立。 2

2、设当 n ? k 时,原不等式成立,

第 - 12 - 页 共 14 页

即e ? e
0

?1?4

? e ? 2?9 ? ? ? e (1? k )?k ?

2

k (k ? 3) 2
2 2 2 k (k ? 3) ? e ? k ?( k ?1) 2

则当 n ? k ? 1 时, 左边= e ? e
0 ?1?4

? e ? 2?9 ? ? ? e (1? k )?k ? e (1? k ?1)?( k ?1) ?

只需证明

2 k (k ? 3) (k ? 1) ? (k ? 4) ? e ? k ?( k ?1) ? 2 2

即证 e ?k?( k ?1) ? k ? 2 即证 ? k ? (k ? 1) 2 ? ln(k ? 2) 由(Ⅱ)知 x 2 ? x 3 ? ln(x ? 1), x ? (0,??) 即 x 2 (1 ? x) ? ln(x ? 1), 令 x ? k ? 1 ,即有 ? k ? (k ? 1) 2 ? ln(k ? 2) 。 所以当 n ? k ? 1 时成立 由 1、2 知,原不等式成立。 22. 证明: (Ⅰ) PE 切⊙ O 于点 E ,

2

??A ? ?BEP
∵ PC 平分 ?APE
?? A ? ? CPA ? ? B E P ? ?D P E ?E C D? ? A ? ?C ,P A ? E D C ? ? B E? P? ,
?? E C D ? ?E D , C? E C ? ED DPE

…………5 分

(Ⅱ)

?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE PEC ?? B P D ? ?E P , C ? ? P∽ B? D

PE PC ? PB PD 同理 ?PDE ∽ ?PCA , ? ? ? PC CA ? PD DE PE CA ? PB DE DE ? CE , ? CA PE ? CE PB

…………10 分

23. 解: (Ⅰ)由曲线 C1 : ?

? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

得? 3

? x ? cos? ? ? ? y ? sin ?

第 - 13 - 页 共 14 页

x2 ? y2 ? 1 即:曲线 C1 的普通方程为: 3
由曲线 C 2 : ? sin(? ?

?
4

) ? 4 2 得:

2 ? (sin ? ? cos? ) ? 4 2 2
…………5 分

即:曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知椭圆 C1 与直线 C 2 无公共点, 椭圆上的点 P( 3 cos? , sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为

d?

3 cos? ? sin ? ? 8 2

2 sin(? ? ? 2

?
3

) ?8

所以当 sin(? ?

?
3

) ? 1 时, d 的最小值为 3 2

…………10 分

24. 解: (Ⅰ)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a , ∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 , ∴ a ? 3 ? ?2 ∴ a ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ?

…………5 分

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴ ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? . …………10 分

第 - 14 - 页 共 14 页


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