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直线与圆练习题二


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直线与圆练习题二
1.圆 x +y -2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 2.已知圆 C1:(x+1) +(y-1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2 的方程为__________ 3.直线
2 2 2 2

3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为
2 2

4.已知圆 x +(y-1) =1 的圆外一点 P(-2,0) ,过点 P 作圆的切线,则两条切线夹角的正切值是 5.若圆 x +y -2kx+2y+2=0(k>0)与两坐标轴无公共点,那么实数 k 的取值范围为 6.若曲线 C1:x +y -2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有 4 个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 7.已知动点 P(x,y)满足 x +y -|x|-|y|=0,O 为坐标原点,则 PO 的取值范围是 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x +y =r 和直线 l:x=a(其中 r 和 a 均为常数,且 0<r<a),M 为 l 上一动点,A1,A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点,直线 MA1,MA2 与圆 C 的另一个交点分别为 P、Q. (1) 若 r=2,M 点的坐标为(4,2),求直线 PQ 的方程; (2) 求证:直线 PQ 过定点,并求定点的坐标
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解: (1) 当 r=2,M(4,2),则 A1(-2,0),A2(2,0).
? ?x +y =4, ?8 6? 直线 MA1 的方程:x-3y+2=0,解? 得 P? , ?.(2 分) ?5 5? ?x-3y+2=0, ? ?x +y =4, ? 直线 MA2 的方程:x-y-2=0,解? 得 Q(0,-2).(4 分) ? ?x-y-2=0,
2 2 2 2

由两点式,得直线 PQ 方程为:2x-y-2=0.(6 分) (2) 证法一:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0).设 M(a,t), 直线 MA1 的方程是:y=
2 2 2

1 1 (x+r),直线 MA1 的方程是:y= (x-r).(8 分) a+r a-r

x +y =r , ? 2 2 ? r(a+r) -rt 2tr(a+r) ? ? 解? 得 P? 2 2 , 2 2 .(10 分) t ( a + r ) + t ( a+r) +t ? ? ? y= (x+r), ? a + r ? x +y =r , ? 2 2 ? rt -r(a-r) 2rt(a-r) ? ? 解? 得 Q? 2 2 ,- 2 2 .(12 分) t ( a - r ) + t ( a-r) +t ? ? ? y= (x-r), ? ? a-r 2at 于是直线 PQ 的斜率 kPQ= 2 2 2, a -t -r 2tr(a+r) 2at ? r(a+r) -rt ? 直线 PQ 的方程为 y- 2 2 ?.(14 分) 2 2= 2 2 2?x- (a+r) +t ? (a+r) +t a -t -r ?
2 r ?r ? 上式中令 y=0,得 x= ,是一个与 t 无关的常数,故直线 PQ 过定点? ,0?(16 分) a ?a ? 2 2 2 2 2 2

证法二:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0).设 M(a,t), 直线 MA1 的方程是:y= 直线 MA2 的方程是:y= t (x+r),与圆 C 的交点 P 设为 P(x1,y1). a+r t (x-r);与圆 C 的交点 Q 设为 Q(x2,y2). a-r

则点 P(x1,y1),Q(x2,y2)在曲线[(a+r)y-t(x+r)][(a-r)y-t(x-r)]=0 上,(10 分) 化简得(a -r )y -2ty(ax-r )+t (x -r )=0.① 又有 P(x1,y1),Q(x2,y2)在圆 C 上,圆 C:x +y -r =0.② ① r-t ×②得(a -r )y -2ty(ax-r )-t (x -r )-r (x +y -r )=0, 化简得:(a-r )y-2t(ax-r )-t y=0. 所以直线 PQ 的方程为(a -r )y-2t(ax-r )-t y=0. ③(14 分)
2 r ?r ? 在③中令 y=0 得 x= ,故直线 PQ 过定点? ,0?.(16 分) a ?a ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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