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2016届高考数学大一轮复习 第7章 第4节 直线、平面平行的判定及其性质课时提升练 文 新人教版


课时提升练(三十八)
一、选择题

直线、平面平行的判定及其性质

1.(2014·成都模拟)已知 α ,β 是两个不同的平面,则“平面 α ∥平面 β ”成立的 一个充分条件是( )

A.存在一条直线 l,l? α ,l∥β B.存在一个平面 γ ,γ ⊥α ,γ ⊥β C.存在一条直线 l,l⊥α ,l⊥

β D.存在一个平面 γ ,γ ∥α ,γ ⊥β 【解析】 满足 A,B,D 项的条件,α 与 β 可能相交.若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β , 故选 C. 【答案】 C 2.(2014·贵州六校联考)已知 m,n 为两条不同的直线,α ,β ,γ 为三个不同的平 面,则下列命题中正确的是( )

A.若 m∥n,m? α ,则 n∥α B.若 m∥n,m? α ,n? β ,则 α ∥β C.若 α ⊥γ ,α ⊥β ,则 β ∥γ D.若 m∥n,m⊥α ,n⊥β ,则 α ∥β 【解析】 对于 A 项,若 m∥n,m? α ,则 n∥α 或 n? α ,故 A 错误;对于 B 项,两 平面还可以相交,此时直线 m,n 均与交线平行即可;对于 C 项,两平面可以相交,故 C 错; 对于 D 项,因为 m∥n,m⊥α ,所以 n⊥α ,又因为 n⊥β ,所以 α ∥β ,故 D 正确,因此 选 D. 【答案】 D 3.(2014·长春模拟)设 l 表示直线,α ,β 表示平面.给出四个结论: ①如果 l∥α ,则 α 内有无数条直线与 l 平行; ②如果 l∥α ,则 α 内任意的直线与 l 平行; ③如果 α ∥β ,则 α 内任意的直线与 β 平行; ④如果 α ∥β ,对于 α 内的一条确定的直线 a,在 β 内仅有唯一的直线与 a 平行. 以上四个结论中,正确结论的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

【解析】 若 l∥α ,则在 α 内的直线与 l 平行或异面,故①正确,②错误.由面面 平行的性质知③正确.对于④,在 β 内有无数条直线与 a 平行,故④错误.故选 C. 【答案】 C 4.(2015·临沂模拟)下列命题正确的是( )

1

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【解析】 对于 A,两条直线与同一个平面所成角相等,根据线面角定义,可知两条直 线可能平行,可能相交,也可能异面,故 A 错;对于 B,若三点在同一条直线上,则两平面 可能相交,故 B 错;对于 C,设 α ∩β =l,m∥α ,m∥β ,利用线面平行的性质定理可以 证明 m∥l,故 C 正确;对于 D,两平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可能相交,也可 能平行,故 D 错,所以选 C. 【答案】 C 1 5.在三棱锥 P?ABC 中,点 D 在 PA 上,且 PD= DA,过点 D 作平行于底面 ABC 的平面, 2 交 PB,PC 于点 E,F,若△ABC 的面积为 9,则△DEF 的面积是( A.1 C.4 B.2 D. 9 4 )

【解析】 由于平面 DEF∥底面 ABC,因此 DE∥AB,DF∥AC,EF∥BC,所以 = = , 所以△DEF∽△ABC,所以 【答案】 A 6.m,n 是不同的直线,α ,β ,γ 是不同的平面,有以下四个命题: ①若 α ∥β ,α ∥γ ,则 β ∥γ ;②若 α ⊥β ,m∥α ,则 m⊥β ;③若 m⊥α ,m∥ β ,则 α ⊥β ;④若 m∥n,n? α ,则 m∥α . 其中真命题的序号是( A.①③ C.②③ ) B.①④ D.②④

DE DF EF AB AC BC

S△DEF ?1?2 =? ? ,而 S△ABC=9,所以 S△DEF=1,故选 A. S△ABC ?3?

【解析】 确定命题正确常常需要严格的证明, 判断命题错误只需一个反例就可以了. 如 图,在正方体 A′C 中,平面 B′C 垂直平面 A′C′,直线 AD 平行平面 B′C, 但直线 AD 并不垂直平面 A′C′,故②错误,排除 C,D;由线面平行的判定 定理知,④缺少条件“m?α ”,故④错误.故选 A. 【答案】 A 二、填空题 7.(2014·承德一模)如图 7?4?11 所示,在正四棱柱 A1C 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,

C1D1,D1D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 只需满足条
2

件________时,就有 MN∥平面 B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全 部可能情况)

图 7?4?11 【解析】 连结 HN,FH,FN,则 FH∥DD1,HN∥BD,∴平面 FHN∥平面 B1BDD1,只要 M ∈FH,则 MN? 平面 FHN,∴MN∥平面 B1BDD1.(答案不惟一) 【答案】 M 在线段 FH 上 8.如图 7?4?12 所示, 四棱锥 P?ABCD 的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,

PA⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点,则 BE 与平面 PAD 的位置关系为________.

图 7?4?12 【解析】 取 PD 的中点 F,连结 EF,AF, 1 在△PCD 中,EF 綊 CD. 2 又∵AB∥CD 且 CD=2AB, ∴EF 綊 AB,∴四边形 ABEF 是平行四边形,∴EB∥ 又∵EB?平面 PAD,AF? 平面 PAD,∴BE∥平面 PAD. 【答案】 平行 9.(2015·三明模拟)已知平面 α ∥平面 β ,P 是 α ,β 外一点,过 P 点的两条直线

AF.

AC,BD 分别交 α 于 A,B,交 β 于 C,D,且 PA=6,AC=9,AB=8,则 CD 的长为________.
【解析】 若 P 在 α ,β 的同侧,由于平面 α ∥平面 β ,故 AB∥CD,则 = ,可 求得 CD=20;若 P 在 α ,β 之间,则同理可求得 CD=4. 【答案】 4 或 20 三、解答题 10.如图 7?4?13 所示,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E,F,G 分别是

PA AB PC CD

BC,DC,SC 的中点,求证:

3

图 7?4?13 (1)直线 EG∥平面 BDD1B1; (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1. 【证明】 (1)如图所示,连接 SB, ∵E,G 分别是 BC,SC 的中点, ∴EG∥SB. 又∵SB? 平面 BDD1B1,

EG?平面 BDD1B1,
∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)连接 SD, ∵F,G 分别是 DC,SC 的中点, ∴FG∥SD. 又∵SD? 平面 BDD1B1,FG?平面 BDD1B1, ∴FG∥平面 BDD1B1,且 EG? 平面 EFG,

FG? 平面 EFG,EG∩FG=G,
∴平面 EFG∥平面 BDD1B1. 11.如图 7?4?14,在四棱锥 P?ABCD 中,底面是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M,N 分别为 BC,PA 的中点.在线段 PD 上是否存在一点 E,使 NM∥平面 ACE?若存在,请确定点

E 的位置;若不存在,请说明理由.

图 7?4?14 【解】 在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE. 证明如下:如图,取 PD 的中点 E,连接 NE,EC,AE, 因为 N,E 分别为 PA,PD 的中点, 1 所以 NE 綊 AD. 2

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1 又在平行四边形 ABCD 中,CM 綊 AD,所以 NE 綊 MC,即四边形 MCEN 是平行四边形.所 2 以 NM 綊 EC. 又 EC? 平面 ACE,NM?平面 ACE, 所以 MN∥平面 ACE,即在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE. 12.如图 7?4?15 所示,四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面,若截面为平行四 边形.

图 7?4?15 (1)求证:AB∥平面 EFGH,CD∥平面 EFGH; (2)若 AB=4,CD=6,求四边形 EFGH 周长的取值范围. 【解】 (1)∵四边形 EFGH 为平行四边形,∴EF∥HG. ∵HG? 平面 ABD,∴EF∥平面 ABD. ∵EF? 平面 ABC,平面 ABD∩平面 ABC=AB, ∴EF∥AB.∴AB∥平面 EFGH. 同理可证,CD∥平面 EFGH. (2)设 EF=x(0<x<4), ∵四边形 EFGH 为平行四边形, ∴

CF x FG BF BC-CF x = ,则 = = =1- . CB 4 6 BC BC 4

3 ∴FG=6- x. 2 3 ? ? ∴四边形 EFGH 的周长 l=2?x+6- x?=12-x. 2 ? ? 又 0<x<4,∴8<l<12, ∴四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,12).

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