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2015届西工大第四次模拟考试3文科数学试题


2015 届第四次模拟考试 3 文科数学试题
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)

第Ⅰ 卷(共 60 分)

一. 选择题:(5′× 12=60′) 1. 若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, z 的共轭复数 z 对应的点的坐标是
A. (2, 4) B. (2, ?4) C. (4,

?2) D. (4, 2)

2.已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ,集合 A ? { y ? Z y ? log 2 x, x ? (1,32)} , B ? {1,2,3} , 则 A ? CU B ? A. {1,2,3} B. {1,2,3,4} C. {4} D. {4,5}

3.命题“任意 x ? [1,2], x 2 ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是 A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 5 D. a ? 5 4.已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ,下面结论错误 的是 ..
B. f ( x) 可由 g ( x) ? 2 sin 2 x 向左平移

A.函数 f ( x) 的最小正周期为 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x ?

?
6

个单位得到

?
6

对称

D.函数 f ( x) 在区间 ?0,

? ?? 上是增函数 ? 6? ?

3 5. 某几何体的三视图如右图所示,且该几何体的体积是 ,则正视图中的 x 的值是 2 9 3 A. 2 B. C. D. 3 2 2

第 5 题图

第 6 题图

6.某产品在某零售摊位上的零售价 x(元)与每天的销售量 y(个)统 计如下表:据上表可得回归直线方

? ? bx ? ? a 中的 b=-4,据此模型预计零售价定为 15 元时,销售量为 程y
A.48 B.49 C.50 D.51 7.在递增的等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 34, a2 an ?1 ? 64 ,且前 n 项和 S n ? 42 , 则项数 n 等于
文科数学 第 1 页 共 8 页

A.6

B.5

C.4

D.3

8. 已 知 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ( 未 完 成 ) , 设 当 箭 头 a 指 向 ① 时 , 输 出 的 结 果为 S ? m ,当箭头 a 指向②时,输出的结果为 S ? n ,则 m ? n 的值为 A.20 B. 21 C. 22 D.24 9. 直线 2 x ? 5 y ? 20 ? 0 与坐标轴交于两点,以坐标轴为对称轴,以其中一个点为 焦点且另一个点为虚轴端点的双曲线的标准方程是 A.

x2 y 2 ? ?1 84 16 x2 y 2 ? ?1 100 84

B.

x2 y 2 ? ?1 16 84 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1或 ? ?1 16 84 100 84

C.

D.

10.函数 f ? x ? ? A sin ??x ? ? ? ? b 的图象如右图, 则 S ? f ? 0 ? ? f ?1? ? ??? ? f ? 2014 ? 等于 A.0 B.

4025 2

C.

4029 2

D.

4031 2

11. 已知函数 f ( x) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时,

y O 1 2 3 x

f ( x) 的图象如右图所示,则不等式 f (? x) ? x ? 0 的解集是
A. (?1, 0) C. (?3, ?1)

(0,1)
2

B. (?1,1)

D. (?1, 0) (1,3) (0,1) 12. 抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F , A, B 是抛物线上互异的两点,直线 AB 的斜率存在, 线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 D(a,0) (a ? 0), n ?| AF | ? | BF | ,则 A. p, n, a 成等差数列 B. p, a, n 成等差数列 C. p, a, n 成等比数列 D. p, n, a 成等比数列 第Ⅱ卷(共 90 分)

二.填空题:(5′× 4=20′)
13.已知 a ? 1 , b ? (1, 3) , b ? a ? a ,则 cos a , b ? _________________. 14.如果圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 2a2 ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 总相交,则实数 a 的取值范围是 15.已知函数 f ( x) ? .

?

?

cos x ,则函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 ex

.

文科数学

第 2 页 共 8 页

?x ? y ? 3 ? 0 16.若 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的取值范围为 ? ?x ? m ?

.

三.解答题: (12′×5+10′=70′)
17.已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边,且 C ? 2 A, cos A ? (1)求 c : a 的值; (2)求证: a, b, c 成等差数列. S

3 . 4

18.如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? AD , AB // CD ,
CD ? 3 AB ,平面 SAD ? 平面 ABCD , M 是线段 AD 上一点,

, DM ? DC , SM ? AD . A M? A B

A

M

D

B (1)证明: BM ? 平面 SMC ; (2)设三棱锥 C ? SBM 与四棱锥 S ? ABCD 的体积分别为 V V1 与 V ,求 1 的值. V 19.某校高三年级在 5 月份进行一次质量考试,考生成绩情况如下表所示: 分数段 文科考生 理科考生

C

?0, 400?
67 53

?400, 480? ?480,550? ?550,750?
35 19 6

x

y

z

已知用分层抽样方法在不低于 550 分的考生中随机抽取 5 名考生进行质量分析, 其中文科考生抽取了 2 名. (1)求 z 的值; 13 2 4 (2)右图是文科不低于 550 分的 6 名学生的语文成绩的茎叶图,计 12 0 5 算这 6 名考生的语文成绩的方差; 11 1 (3)已知该校不低于 480 分的文科理科考生人数之比为 1: 2 ,不低 于 400 分的文科理科考生人数之比为 2: 5 ,求 x 、 y 的值. 20.设 f ( x) ? e (? x ? x ? 1) ,
x 2

8

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)证明:当 ? ? [0,

?
2

] 时, f (cos? ) ? f (sin ? ) ? 2

x2 y2 21.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的两个焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) , a b a2 ,0) 的直线与椭圆相交于点 A,B 两点,且 F1 A // F2 B, | F1 A |? 2 | F2 B | 过点 E ( c
(1)求椭圆的离心率 (2)直线 AB 的斜率.
文科数学 第 3 页 共 8 页

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答. 注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22. 选修 4—1:几何证明选讲 如图,△ABC 内角 A 的平分线 AD 的 延长线交它的外接圆于点 E. (1)求证:△ABE∽△ADC. (2)若△ABC 的面积 S=

1 AD·AE,求∠BAC 的大小. 2

23. 选修 4-4:极坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极 坐标系,已知曲线 c1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2 cos? ? (α 为参数),直线 l 的极坐标方程为θ = . 4 ? y ? 2 ? 2 sin ?

(1)求曲线 c1 与直线 l 的直角坐标方程. (2)若直线 l 与曲线 c1 交于两点 A、B,求|AB|. 24. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1)求 m 的值. (2)若 a、b、c∈R+且

1 1 1 + + =m,求证:a+2b+3c≥9. a 2b 3c

文科数学

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2015 届模拟考试 3 数学(文)参考答案
一、选择题:(5′× 12=60′) DCCBC BDAAD 二、填空题:(5′× 4=20′)
13

AB

1 ; 2

14.

? 0, 2 2 ? ? ?2

2, 0 ; 15. x ? y ? 1 ? 0 ; 16.

?

? ??,1? ;

三、解答题: (12′×5+10′=70′)
17. 解: (1)∵ C=2A,∴ sinC=sin2A ………………………...………………………2 分 ………………………………………………5 分]

∴ 错误!未找到引用源。∴ 错误!未找到引用源。.

(2)∵ 错误!未找到引用源。∴ 错误!未找到引用源。 ………7 分 ∵ cosA=错误!未找到引用源。,∴ 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。…………9 分 ∴ 错误!未找到引用源。 即: a ? c ? 2b 18. (1)证明: ............................…………………………………….. 11 分 ……………………………..……………12 分

∴a, b, c 成等差数列.

平面 SAD ? 平面 ABCD ,平面 SAD 平面 ABCD ? AD , ? SM ? 平面 SAD , SM ? AD ,? SM ? 平面 ABCD , …………………1 分

BM ? ? 平面 ABCD, ? SM ? BM .

………………………………2 分

四边形 ABCD 是直角梯形, AB // CD , AM ? AB, DM ? DC,

??MAB, ?MDC 都是等腰直角三角形,

??AMB ? ?CMF ? 45?, ?BMC ? 90?, BM ? CM . …………………………4 分
SM ? ? 平面 SMC , CM ? ? 平面 SMC , SM CM ? M , 所以 BM ? 平面 SMC ………………………………………………………………6 分 (2)解: 三棱锥 C ? SBM 与三棱锥 S ? CBM 的体积相等, 由( 1 ) 知 SM ? 平面 ABCD , 1 1 SM ? BM ? CM V1 3 2 得 ? , ……………………………………………9 分 1 1 V SM ? ( AB ? CD) ? AD 3 2
设 AB ? a, 由 CD ? 3 AB , AM ? AB, DM ? DC, 得 CD ? 3a, BM ? 2a, CM ? 3 2a, AD ? 4a,
文科数学 第 5 页 共 8 页



V1 2a ? 3 2a 3 ? ? . V (a ? 3a) ? 4a 8

…………………………………………………12 分

2 5?2 19.解: (1)依题意 ? ,∴z ? 9

6 z 111 ? 120 ? 125 ? 128 ? 132 ? 134 ? 125 (2) x ? 6
∴ 这 6 名考生的语文成绩的方差

………………………………………3 分 ……………………………5 分

1 2 2 2 2 2 2 s 2 ? ? ??111 ? 125? ? ?120 ? 125? ? ?125 ? 125? ? ?128 ? 125? ? ?132 ? 125? ? ?134 ? 125? ? ? 6 ?

1 ? ?? 142 ? 52 ? 02 ? 32 ? 7 2 ? 92 ? ? ? ? 60 6
(3)依题意

……………………………………8 分

19 ? 6 1 35 ? 19 ? 6 2 ? , ? y?9 2 x? y?9 5

………………………………………10 分

解得 x ? 100, y ? 41 ……………………………………………………………12 分 20.解:(1)于是 f ' ( x) ? ex (? x2 ? x ? 2) ? ?ex ( x ? 2)( x ?1) . 故当 x ? ? ??, ?2?
' '

………………2 分

?1, ??? 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (?2,1) 时, f ( x) ? 0 . 从而 f ( x ) 在 ? ??, ?2? , ?1, ??? 上单调递减,在 (?2,1) 上单调递增. ………………6 分 (2)由(1)知 f ( x ) 在 ?0,1? 上单调递增,故 f ( x ) 在 ?0,1? 上
从而对任意 x1 , x2 ??0,1? 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ? 2 ,

f ( x)max ? f (1) ? e,

f ( x)min ? f (0) ? 1,

…………………………………8 分

? ?? 时, cos? ,sin ? ??0,1? 从而 f (cos? ) ? f (sin ? ) ? 2 …………12 分 ? 2? ? | EF2 | | F2 B | 1 ? ? ,从而 21.解: (1)由 F1 A // F2 B, | F1 A |?| F2 B | ,得 | EF1 | | F1 A | 2
而当 ? ? ?0,

a2 ?c c 3 1 c ? ,整理得 a 2 ? 3c 2 ,故离心率 e ? ? 2 a 3 2 a ?c c

………………………5 分

(2)解:由(Ⅰ )知, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2c 2 ,所以椭圆的方程可以写为 2 x ? 3 y ? 6c
2 2

2

设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?

a2 ) 即 y ? k ( x ? 3c) c ……………………………7 分

由已知设 A( x1 , y1 ) B ( x 2 , y 2 ) 则它们的坐标满足方程组 ?
文科数学 第 6 页 共 8 页

? y ? k ( x ? 3c)
2 2 2 ?2 x ? 3 y ? 6c

消去 y 整理,得 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 18k 2 cx ? 27 k 2 c 2 ? 6c 2 ? 0 依题意, ? ? 48c 2 (1 ? 3k 2 ) ? 0,?

3 3 ?k? 3 3 …………………………..……9 分

18k 2 27 k 2 c 2 ? 6c 2 而 x1 ? x 2 ? ,有题设知,点 B 为线段 AE 的中点, , x1 x 2 ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
所以 x1 ? 3c ? 2 x 2 ……………………….…………10 分

联立三式,解得 x1 ?

9k 2 c ? 2c 9k 2 c 2 ? 2c 2 , , x ? 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
2 3

将结果代入韦达定理中解得 k ? ?

……………………………………….12 分

选考题(每题满分 10 分):考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答. 注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22. 解: (1)在△ ABE 和△ ADC 中 ∵ ∠ ACB=∠ AEB ∴ △ ABE∽ △ ADC (2)∵ △ ABE∽ △ ADC ∴ AD· AE=AB· AC ∵ S△ ABC= ∠ BAE=∠ CAD …………………………………5 分 ∴

AB AE = AD AC

1 1 1 AB· AC· sin∠ BAC= AD· AE· sin∠ BAC= AD· AE 2 2 2
∴ ∠ BAC=90? ……………………10 分

∴ sin∠ BAC=1

23. 解: (1)曲线 C1 的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-2)2=4 曲线 C2 的直角坐标方程为:y=x …………………………………………..5 分 (2)∵ 圆心(1,2)到直线 y=x 的距离 d=

2 2

∴ |AB|=2 4 ?

1 = 14 2

…………………………………………………10 分 ∴ m=1 ……………………4 分

24. 解: (1)∵ f(x+2)=m-|x|≥0 的解集为[-1,1] (2)∵ +

1 1 + =1 2b 3c 1 1 a 2b a 3c 2b 3c 1 ∴ a+2b+3c=(a+2b+3c)( + + )=3+ + + + + + a 2b 3c 2b a 3c a 3c 2b
文科数学 第 7 页 共 8 页

1 a

≥3+2+2+2=9(当且仅当 a=3,b=

3 ,c=1 时取等号) ………….10 分 2

文科数学

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