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第27讲空间角的计算(讲义)


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第 27 讲 空间角的计算 一,高考要求

竞赛题

空间角的计算在高考中通常有一道解答题,题目为中等难度,这是作为立体几何 中重点考查的内容之一,解题时要注意计算与证明相结合. 二,两点解读 重点:①求异面直线所成的角;②求直线与平面所成的角;③求二面角. 难点:二面角的作法与求法. 三,课前

训练 1.正六棱柱 ABCDEF—A1B1C1D1E1F1 的底面边长为 1,侧棱长为 的侧面对角线 E1D 与 BC1 所成的角是 (A)90° (B)60° (C)45°

2 ,则这个棱柱

( B ) (D)30°

2. A1B1C1ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1,F1 分别是 A1B1,A1C1 的中点,若 BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是 (A) ( A ) (D)

30 10

(B)

1 2

(C)

30 15

15 10

3. 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等,则 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的 余弦值为

10 4

4. 已知正四棱锥的体积为 12,底面的对角线长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面 π 角等于( ) 3 四,典型例题 例 1 PA, PB , PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 60 0 ,那么直 线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 ( C )

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1 2

竞赛题

(A)

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

6 3
角 形 BCD

例 2 如图,∠BAD=90°的等腰直角三角形 ABD 与正三 CBD 所在平面互相垂直,E 是 BC 的中点,则 AE 与平面 所成角的大小为___45° ___ 例 3 若正三棱锥底面边长为 4,体积为 1,则侧面和底面 二面角的大小等于 arctan

所 成

3 (结果用反三角函数值表示) . 8

例 4 在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC= (Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求异面直线 SC 与 AB 所成的角的大小(用反三角函数表示) . 解: (Ⅰ)略 (Ⅱ)解:∵BC⊥AC,SC⊥BC, ∴∴SCA 是侧面 SCB 与底面 ABC 所成二面角的平面角. 在 Rt△SCB 中,由 BC=

13 ,SB= 29

13 ,SB= 29 ,得

SC= SB2 — BC2 = 29—13 = 4. 在 Rt△SAC 中,由 AC=2,SC=4,得 cos∴SCA=

AC 2 1 = = . SC 4 2
交 CD 角. 如

∴∴SCA=60°,即侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小为 60°. (Ⅲ)解:过点 C 作 CD‖BA,过点 A 作 BC 的平行线 于 D,连结 SD,则∴SCD 是异面直线 SC 与 AB 所成的 图 9—65. 又四边形 ABCD 是平行四边形, DC=AB= AC 2 + BC 2 = 17 , 图 9—65
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SA= SB AB = 2 3 ,
2 2

竞赛题

SD=

SA 2 + AD 2 = SA 2 + BC 2 =5.
SC 2 + DC 2 SD 2 4 2 + ( 17 ) 2 5 2 17 = = , 2 SC DC 17 2 × 4 × 17
17 . 17

在△SCD 中,cosSCD=

∴SC 与 AB 所成的角的大小为 arccos

例 5 已知如图斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直, ∠ABC=90°, BC=2,AC=2

3 ,且 AA1⊥A1C,AA1=A1C.
A1 B1 C1

(Ⅰ)求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ) 求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大 小; (Ⅲ)求侧棱 B1B 和侧面 A1ACC1 的距离.

A C 解: (Ⅰ)作 A1D⊥AC,垂足为 D,由面 A1ACC1⊥ 面 ABC,得 A1D⊥面 ABC B ∴∴A1AD 为 A1A 与面 ABC 所成的角. ∵AA1⊥A1C,AA1=A1C, ∴∴A1AD=45°为所求. (Ⅱ)作 DE⊥AB,垂足为 E,连 A1E,则由 A1D⊥面 ABC,得 A1E⊥AB. ∴∴A1ED 是面 A1ABB1 与面 ABC 所成二面角的平面角. 由已知,AB⊥BC,得 ED‖BC.又 D 是 AC 的中点,BC=2,AC=2

3,

∴DE=1,AD=A1D=

3 ,tanA1ED=

A1 D = 3. DE

故∴A1ED=60°为所求. (Ⅲ)作 BF⊥AC,F 为垂足,由面 A1ACC1⊥面 ABC,知 BF⊥面 A1ACC1. ∵B1B‖面 A1ACC1, ∴BF 的长是 B1B 和面 A1ACC1 的距离.
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在 Rt△ABC 中,AB=

竞赛题

AC 2 BC 2 = 2 2 ,

∴BF=

AB BC 2 6 = 为所求. AC 3

评述:本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,棱柱 的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.

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