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高三数学第一轮复习单元讲座 第20讲 随机事件的概率与古典概型教案 新人教版


普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座 20)—随机事件的概率与古典 概型
一.课标要求: 1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率 的意义以及频率与概率的区别; 2.通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式; 3.通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含 的基本事件数

及事件发生的概率。 二.命题走向 本讲内容在高考中所占比重不大,纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些 计算要求降低,但试题中具有一定的灵活性、机动性。 预测 07 年高考: (1)对于理科生来讲,对随机事件的考察,结合选修中排列、组合的知识进行考察, 多以选择题、填空题形式出现; (2)对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主,而以实际应 用题出现的形式多以选择题、填空题为主。 三.要点精讲 1.随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 (1)随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; (2)必然事件:在一定条件下必然要发生的事件; (3)不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件。 2.随机事件的概率 m 事件 A 的概率: 在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 总接近于某个常数, n 在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) 。 由定义可知 0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是 1,不可能事件的概率是 0。 3.事件间的关系 (1)互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件; (2)对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件; (3)包含:事件 A 发生时事件 B 一定发生,称事件 A 包含于事件 B(或事件 B 包含 事件 A) ; 4.事件间的运算 (1)并事件(和事件) 若某事件的发生是事件 A 发生或事件 B 发生,则此事件称为事件 A 与事件 B 的并事 件。 注:当 A 和 B 互斥时,事件 A+B 的概率满足加法公式:
专心 爱心 用心 1

P(A+B)=P(A)+P(B) A、B 互斥) ( ;且有 P(A+ A )=P(A)+P( A )=1。
(2)交事件(积事件) 若某事件的发生是事件 A 发生和事件 B 同时发生,则此事件称为事件 A 与事件 B 的 交事件。 5.古典概型 (1)古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每 个基本事件出现的可能性相等; (2)古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 ; 总的基本事件个数

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一 事件 A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试验由 n 个基 1 本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是 。如果 n m 某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A)= 。 n 四.典例解析 题型 1:随机事件的定义 例 1.判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; (7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常温下,焊锡熔化” . 解析:根据定义,事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可 、 、 、 、 能事件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件。 、 、 、 点评:熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。针对不同的问题加以 区分。 例 2. (1)如果某种彩票中奖的概率为

1 ,那么买 1000 张彩票一定能中奖吗? 1000

请用概率的意义解释。 解析:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验 的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有 一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖。 点评:买 1000 张彩票,相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所 以做 1000 次试验的结果也是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。
专心 爱心 用心 2

(2)在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识 解释其公平性。 解析:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5, 因此任何一名运动员猜中的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5。 点评:这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为 0.5,即每个运动员取得 先发球权的概率是 0.5。 事实上, 只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则 都是公平的。 题型 2:频率与概率 例 3.某种菜籽在相同在相同的条件下发芽试验结果如下表: (求其发芽的概率) 种子粒数 发芽粒数 2 2 5 4 10 9 70 60 130 116 310 282 700 639 1500 1339 2000 1806 3000 2715

解析:我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是:1,0.8,0.9, 0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905。随着种子粒数的增加,菜籽发芽 的频率越接近于 0.9,且在它附近摆动。故此种子发芽的概率为 0.9。 点评:我们可以用频率的趋向近似值表示随机事件发生的概率。 例 4.进行这样的试验:从 0、1、2、?、9 这十个数字中随机取一个数字,重复进 行这个试验 10000 次,将每次取得的数字依次记下来,我们就得到一个包括 10000 个数 字的“随机数表”.在这个随机数表里,可以发现 0、1、2、?、9 这十个数字中各个数 字出现的频率稳定在 0.1 附近.现在我们把一个随机数表等分为 10 段,每段包括 1000 个随机数,统计每 1000 个随机数中数字“7”出现的频率,得到如下的结果: 段序: n=1000 出现 “7” 的 频数 出现 “7” 的 频率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

95

88

95

112

95

99

82

89

111

102

0.095

0.088

0.095

0.112

0.095

0.099

0.082

0.089

0.111

0.102

由上表可见,每 1000 个随机数中“7”出现的频率也稳定在 0.1 的附近.这就是频 率的稳定性.我们把随机事件 A 的频率 P(A)作为随机事件 A 的概率 P(A)的近似值。 点评:利用概率的统计定义,在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试 验,列出一个表格,从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率。这从某种意 义上说是很繁琐的。 题型 3:随机事件间的关系 例 5. (1)某战士在打靶中,连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是 ( ) (A)至多有一次中靶 (B)两次都中靶
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(C)两次都不中靶 (D)只有一次中靶 答案:C。 点评:根据实际问题分析好对立事件与互斥事件间的关系。 (2)把标号为 1,2,3,4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人 分得一个。事件“甲分得 1 号球”与事件“乙分得 1 号球”是( ) (A)互斥但非对立事件 (B)对立事件 (C)相互独立事件 (D)以上都不对 答案:A。 点评:一定要区分开对立和互斥的定义,互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做 互斥事件;对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。 例 6. (2006 天津文,18)甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床产 品的正品率是 0.9, 乙机床产品的正品率是。 (I)从甲机床生产的产品中任取 3 件,求其中恰有 2 件正品的概率(用数字作答) ; (II)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件,求其中至少有 1 件正品的概率 (用数字作答) 。 (I)解:任取甲机床的 3 件产品恰有 2 件正品的概率为
2 P (2) ? C3 ? 0.92 ? 0.1 ? 0.243. 3

(II)解法一:记“任取甲机床的 1 件产品是正品”为事件 A, “任取乙机床的 1 件 产品是正品”为事件 B。则任取甲、乙两台机床的产品各 1 件,其中至少有 1 件正品的概 率为: P( A.B) ? P( A.B) ? P( A.B) ? 0.9 ? 0.95 ? 0.9 ? 0.05 ? 0.1? 0.95 ? 0.995. 解法二:运用对立事件的概率公式,所求的概率为:

1 ? P( A.B) ? 1 ? 0.1? 0.05 ? 0.995.
点评:本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识,及分析和解决实际 问题的能力。 题型 4:古典概率模型的计算问题 例 7.从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出 后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解析:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事 件有 6 个,即(a1,a2)和, 1,b2)(a2,a1)(a2,b1)(b1,a1)(b2,a2) (a , , , , 。其中小 括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品, 右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示 “取 出的两种中,恰好有一件次品”这一事件, 则 A=[(a1,b1)(a2,b1)(b1,a1)(b1,a2)], , , , 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = 。 6 3

点评:利用古典概型的计算公式时应注意两点: (1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏。
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例 8.现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率。 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样。 解析: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 3 种可能,所以试验结果有 10×10×10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含 的基本事件共有 8×8×8=8 种,因此,P(A)=
3

83 =0.512。 103

(2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记 录(x,y,z) ,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种.设事件 B 为“3 件都是正品” ,则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7 ×6=336, 所以 P(B)=

336 720

≈0.467。

解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,但(x,y,z)(x,z,y)(y,x,z)(y,z,x) , , , , (z,x,y)(z,y,x) , ,是相同的,所以试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方 法,事件 B 包含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)=

56 ≈0.467。 120

点评:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看 作是无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则 会导致错误。 题型 5:利用排列组合知识解古典概型问题 例 9. (2006 山东文,19)盒中装着标有数字 1,2,3,4 的卡片各 2 张,从盒中任 意任取 3 张,每张卡片被抽出的可能性都相等,求: (Ⅰ)抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4 的概率; (Ⅱ)抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3 的概念; (Ⅲ)抽出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率。 解析: “抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4”的事件记为 A, (I) 由题意得: P( A) ?
1 2 2 1 C2C6 ? C2 C6 9 ? ; 3 C8 14

(II) “抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3”的事件记为 B, 则 P( B) ?
2 1 C2 C6 3 ? ; 3 C8 28

(III) “抽出的 3 张卡片上的数字互不相同”的事件记为 C, “抽出的 3 张卡片上有 两个数字相同”的事件记为 D,由题意,C 与 D 是对立事件,
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因为 P( D) ?

1 1 C4C32C6 3 ? , 3 C8 7

所以 P (C ) ? 1 ? P ( D) ? 1 ?

3 4 ? . 7 7

点评:该题通过排列、组合知识完成了古典概型的计算问题,同时要做到所有的基 本事件必须是互斥的,要做到不重不漏。 例 10. (2006 安徽文,19)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需 要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加 剂。现有芳香度分别为 0,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理, 通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。 (Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4 的概率; (Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3 的概率; 解析:设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4”的事件为 A, “所选用 的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3”的事件为 B (Ⅰ)芳香度之和等于 4 的取法有 2 种: (0, 4) 、 (1,3) ,故 P ( A) ?

2 。 15

(Ⅱ)芳香度之和等于 1 的取法有 1 种: (0,1) ;芳香度之和等于 2 的取法有 1 种:

(0, 2) ,故 P( B) ? 1 ? (

1 1 13 ? 2)? 。 2 C6 C6 15

点评:高考对概率内容的考查,往往以实际应用题出现。这既是这类问题的特点, 也符合高考发展方向,考生要以课本概念和方法为主,以熟练技能,巩固概念为目标, 查找知识缺漏,总结解题规律。 题型 6:易错题辨析 例 11.掷两枚骰子,求所得的点数之和为 6 的概率。 错解:掷两枚骰子出现的点数之和不同情况为{2,3,4,?,12},故共有 11 种基 本事件,所以概率为 P=

1 ; 11

剖析:以上 11 种基本事件不是等可能的,如点数和 2 只有(1,1),而点数之和为 6 有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共 5 种.事实上,掷两枚骰子共有 36 种基 本事件,且是等可能的,所以“所得点数之和为 6”的概率为 P=

5 。 36

我们经常见的错里还有“投掷两枚硬币的结果” ,划分基本事件“两正、一正一反、 两反” ,其中“一正一反”与“两正”“两反”的机会是不均等。 、 类型四:基本事件 “不可数” 由概率求值公式 P( A) ?

事件A包含的基本事件个数 , 求某一事件发生的概率时, 基本事件的总数
专心 爱心 用心 6

要求试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。 如果试验所包含的基本事件是无限多个,那根本就不会得到基本事件的总数,也就 不能用 P( A) ?

事件A包含的基本事件个数 公式来解决问题。 基本事件的总数

例 12. (2000 年天津、山西、江西高考试题) 甲、乙二人参加普法知识竞赛,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个,甲、乙二人一次各抽取一题, (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?
1 错解:甲从选择题中抽到一题的可能结果有 C6 个,乙从判断题中抽到一题的的可能
1 1 1 结果是 C 4 ,故甲抽到选择题,乙抽到判断题的可能结果为 C6 ? C4 ? 10 ;又甲、乙二人

1 1 一次各抽取一题的结果有 C10 ? C9 ? 19 ,所以概率值为

10 。 19

剖析:错把分步原理当作分类原理来处理。
1 正解:甲从选择题中抽到一题的可能结果有 C6 个,乙从判断题中抽到一题的的可能
1 1 1 结果是 C 4 ,故甲抽到选择题,乙抽到判断题的可能结果为 C6 ?C4 ? 24 ;又甲、乙二人

1 1 一次各抽取一题的结果有 C10 ?C9 ? 90 ,所以概率值为

24 4 ? 。 90 15

(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少? 错解:甲、乙中甲抽到判断题的种数是 6×9 种,乙抽到判断题的种数 6×9 种,故 甲、乙二人至少有一个抽到选择题的种数为 12×9;又甲、乙二人一次各抽取一题的种数 是 10×9,故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是

12 6 ? 。 10 5

剖析:显然概率值不会大于 1,这是错解。该问题对甲、乙二人至少有一个抽到选择 题的计数是重复的,两人都抽取到选择题这种情况被重复计数。 正解:甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是 10×9=90; 方法一:分类计数原理 (1)只有甲抽到了选择题的事件数是:6×4=24; (2)只有乙抽到了选择题的事件数是:6×4=24; (3)甲、乙同时抽到选择题的事件数是:6×5=30; 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是

24 ? 24 ? 30 13 ? 。 90 15

方法二:利用对立事件 事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题” 是对立事件。
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事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是 4×3=12; 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是 1 ?

12 2 13 ? 1? ? 。 90 15 15

五.思维总结 本讲概念性强、抽象性强、思维方法独特。因此要立足于基础知识、基本方法、基 本问题的练习,恰当选取典型例题,构建思维模式,造就思维依托和思维的合理定势。

m 计算时,确定 m、n 的数值是关键所在,其计算方法灵活多变, n 没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做 到不重复不遗漏。 复习这部分内容及解答此类问题首先必须使学生明确判断两点: (1)对于每个随机 实验来说,所有可能出现的实验结果数 n 必须是有限个; (2)出现的所有不同的实验结 果数 m 其可能性大小必须是相同的。只有在同时满足(1)(2)的条件下,运用的古典 、 概型计算公式 P(A)=m/n 得出的结果才是正确的。 2.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解: 第一,互斥事件研究的是两个事件之间的关系; 第二,所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; 第三,两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。 3.对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验中有且仅有一个发生的两
1.使用公式 P(A)= 个事件,集合 A 的对立事件记作 A ,从集合的角度来看,事件 A 所含结果的集合正是全 集 U 中由事件 A 所含结果组成集合的补集,即 A∪ A =U,A∩ A = ? .对立事件一定是互斥 事件,但互斥事件不一定是对立事件。 事件 A、B 的和记作 A+B,表示事件 A、B 至少有一个发生。当 A、B 为互斥事件时, 事件 A+B 是由“A 发生而 B 不发生”以及“B 发生而 A 不发生”构成的。 当计算事件 A 的概率 P(A)比较困难时,有时计算它的对立事件 A 的概率则要容易 些,为此有 P(A)=1-P( A ) 。 对于 n 个互斥事件 A1,A2,?,An,其加法公式为 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2) +?+P(An) 。 分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。 4.在应用题背景条件下,能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、 既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键,也是考查学生分析问题、解决 问题的能力的重要环节。

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爱心

用心

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