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广东省汕头市金山中学2013-2014学年高二上学期期末数学理试题 Word版含答案


2013-2014 学年度第一学期高二(理)

期末考试


球的表面积 s= 4? R
2



一.选题题(本大题共 12 道小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. 设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 O ,球面上有两个点 A, B 的坐标分别为

/>A ?1, 2, 2 ? , B ? 2, ?2,1? ,则 | AB |? (
A.18 B.12

) C. 3 2 D. 2 3

2.若一个正三棱柱的三视图如下所示,则该三棱柱的体积为(



2 3
2 2

正 A
4 3

侧 B
8 3



C 2 3 D 8 ???? ? 3. 在 ?ABC 中 , AB ? AC ? 2 AM , AM ? 1 , 点 P 在 AM 上 且 满 足 AP ? 2 PM , 则 ??? ? ??? ? ??? ? PA ? ( PB ? PC ) 等于( ) 4 4 4 4 A. B. C. ? D. ? 9 3 3 9 4.一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ?, 则球的表面积为( ) A. 8 2? B. 8? C. 4 2? D. 4? 2 5、命题 p : ?m ? R, 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有实根,则 ?p 是:( ) 2 2 A、 ?m ? R, 方程 x ? mx ? 1 ? 0 无实根 B、 ?m ? R, 方程 x ? mx ? 1 ? 0 无实根 2 C、不存在实数 m ,使方程 x ? mx ? 1 ? 0 无实根 2 D、至多有一个实数 m ,使方程 x ? mx ? 1 ? 0 有实根 6、抛物线 x 2 ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为( )
A、2 B、3 C、4 D、5

7.已知直线 L 过点 P(2,1),且与 x 轴 y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,O 为坐标 原点,则 ?OAB 面积的最小值为( ) A. 2 2 B. 4 2 C. 4 D. 3 8、设 ?ABC 是等腰三角形,?ABC ? 120 ? ,则以 A, B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率
为( A、 )

1? 2 2
2

B、

1? 3 2
C.

C、 1 ? 2

D、 1 ? 3 )

9.已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值为( A. 2?R B.

9? 2 R 4

8? 2 R 3

D.

5? 2 R 2

2 2 10.已知 F1 , F2 为双曲线 x ? y ? 2 的左,右焦点,点 P 在该双曲线上,且 PF1 ? 2 PF2 ,

则 cos ?F1 PF2 =( A.

) B.

1 4

3 5

C.

3 4

D.

4 5

11.已知两个同心圆,其半径分别为 a, b?a ? b? ,AB 为小圆上的一条定直径,则以大圆的切 线 l 为准线,且过 A、B 两点的抛物线焦点 F 的轨迹方程为( 为 x 轴,其中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系) )(以线段 AB 所在直线

x2 y2 x2 y2 A. 2 ? 2 B. ? 1?x ? ?a ? - ? 1?x ? ?a ? a a ? b2 a2 a2 ? b2 y2 x2 y2 x2 ? ? C. 2 ? 2 D. ? 1 x ? ? a ? ? 1?x ? ?a ? a a ? b2 a2 a2 ? b2 12. 在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中,P,Q 分别为线段 BD1 , CC1 上的动点,则 ) PQ 的最小值为 (
A.

2

B.

3 3

C.

3

D.

2 2

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13、设 OABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上一点,且 OG=3GG1,若 OG =x OA +y OB +z OC ,则(x,y,z)为

????

??? ?

??? ?

????

14.如图所示,在三棱锥 P-ABC 中, PA ? 平面 ABC, AC ? BC, PA ? AB ? 2 AC ? 2a , 则 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为__________

P

a 2 sin ? ? a cos ? ?1?0 15.若 b 2 sin ? ? b cos ? ?1?0

(a ? b) 则坐标原点 O(0,0) 到经过两点 ?a, a ?, ?b, b ? 的
2 2

?

A C
第 14 题图

B

直线的距离为_________________. 16. 若关于 x 的方程 _______________.

1 ? x 2 ? kx ? 2 有 3 个不等实数根,则实数 k 的取值范围为

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆;命 17. (12 分)已知命题 p :方程 3 ? t t ?1 2 题 q :实数 t 满足不等式 t ? (a ? 1)t ? a <0. (1)若命题 p 为真,求实数 t 的取值范围; (2)若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18、(14 分)如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上,且 AB // EF ,矩形 ABCD 所 在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 .

(1)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (2)求四棱锥 F ? ABCD 的体积.

C

D

B
O

M
E

19. ( 14 分)如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD,且 PA ? AB,点 E 是 PD 的中点. (1)求证: AC ? PB ; (2)求二面角 E ? AC ? B 的大小. P

A

F

E

A B

D

C

2 2 20. (15 分)已知圆 C 的方程为: x ? ( y ? 4) ? 1 ,直线 l 的方程为 2 x ? y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,过点 P 作圆 C 的切线 PA, PB ,切点为 A, B 。 (1)若 ?APB ? 60 ? ,求点 P 的坐标。 (2) 若点 P 的坐标为 (1,2) , 过点 P 的直线与圆 C 交于 M , N 两点, 当 MN ? 2 时,

求直线 MN 的方程。 (3)求证:经过 A, P, C (其中点 C 为圆 C 的圆心)三点的圆必经过定点,并求出 所有定点的坐标。 y

O

x

(21)(15 分)抛物线 C 的方程为 y ? ax (a ? 0) ,过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x0≠0)作 斜率为 k1,k2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不相同), 且 满足 k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0且? ? ?1) 。 (Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程.
2

(Ⅱ)设直线 AB 上一点 M,满足 BM ? ? MA ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上. (Ⅲ)当 ? =1 时,若点 P 的坐标为(1,-1),求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取 值范围.

2013 高二期末数学试题参考答案

CBDBB
1 1 1? 13. ? ? , , ? ?4 4 4?

DCBBC
14.
5 5

AD
15.1
) ? (1, 2 ) 16. (- 2 ,?1

17. 解:(1)∵方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆 3 ? t t ?1 ∴ 3 ? t ? t ?1 ? 0

解得: ?1 ? t ? 1 (2)∵命题 P 是命题 q 的充分不必要条件 ∴ ?1 ? t ? 1是不等式 t ? (a ? 1)t ? a = (t ? 1)(t ? a) ? 0 解集的真子集
2

法一:因方程 t ? (a ? 1)t ? a = (t ? 1)(t ? a) ? 0 两根为 ?1, a .
2

故只需 a ? 1 法二:令 f (t ) ? t ? (a ? 1)t ? a ,因 f (?1) ? 0, 故只需f (1) ? 0
2

解得: a ? 1

18. (1)设 DF 的中点为 N ,则 MN // CD
1 CD ,∴ MN // AO 2 ∴ MNAO 为平行四边形 ∴ OM // AN 又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF ∴ OM // 平面 DAF (2)过点 F 作 FG ? AB 于 G ? 平面 ABCD? 平面 ABEF ,∴ FG ? 平面 ∴ ABCD , FG 即 正 ?O E F的 高
又 AO //
D

1 2

C

B
O

M
E

A

F

z

FG ?

3 2

∴ S ABCD ? 2 ∴ VF ? ABCD ?

1 2 3 S ABCD ? FG ? FG ? P 3 3 3

E

19.

(1)∵PA⊥平面 ABCD F

A
O G

y

B

∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影 又∵AB⊥AC,AC ? 平面 ABCD, ∴AC⊥PB 也可直接由线面垂直关系来证明

D

C
x

(2)建立如图所示空间直角坐标系。 设 AC=a,PA=AB=b 取 BC 中点 G,连接 OG,则点 G 的坐标为 ( , 又 0 E ? (0,? , ), AC ? (a,0,0) ∴ 0 E ? AC ? 0, 0G ? AC ? 0

a b b ,0), OG=(0, ,0) 2 2 2

b b 2 2

∴OE⊥AC,OG⊥AC ∴∠EOG 是二面角 E-AC-B 的平面角。 ∵ cos EOG ? cos ? 0 E , 0G ??

0 E ? 0G 0 E ? 0G

??

2 2

∴ ?EOG ? 135 ? ∴二面角 E ? AC ? B 的大小为 135 ?

另:法向量(略)

20.解: (1) 由条件 PM ? 2 , 设 P ( a, 2a ) , 则 a 2 ? ( 2 a ? 4) 2 ? 2 , 解得 a ? 2 或 a ?
6 12 所以点 P(2,4) 或点 P( , ) 5 5

6 , 5

(2)由已知圆心到直线 CD 的距离为
k?2 k 2 ?1 ?

2 ,设直线 CD 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) , 2



2 ,解得 k ? ?7 或 k ? ?1。 2

所以直线 CD 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 7 x ? y ? 9 ? 0 。 (3)设 P(a,2a) ,过点 A, P, C 的圆即是以 PC 为直径的圆,其方程为:
x( x ? a) ? ( y ? 4)( y ? 2a) ? 0 ,整理得 x 2 ? y 2 ? ax ? 4 y ? 2ay ? 8a ? 0

即 ( x 2 ? y 2 ? 4 y) ? a( x ? 2 y ? 8) ? 0
8 ? ?x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ? x ? 0 ? x ? 5 8 16 由? 得? 或? ,该圆必经过定点 (0,4) 和 ( , ) 。 5 5 ? y ? 4 ? y ? 16 ? x ? 2y ? 8 ? 0 5 ?

21.

解:(Ⅰ)由抛物线 C 的方程 y ? ax ( a ? 0 )得,焦点坐标为 (0,
2

1 ) ,准线方程 4a

为y??

1 . 4a

( Ⅱ ) 证 明 : 设 直 线 PA 的 方 程 为 y ? y 0 ? k1 ( x ? x0 ) , 直 线 PB 的 方 程 为

y ? y 0 ? k 2 ( x ? x0 ) .
点 P( x0 , y 0 ) 和点 A( x1 , y1 ) 的坐标是方程组 ?

? y ? y 0 ? k1 ( x ? x 0 ) ① 2 ? y ? ax        ②

的解.将②式代入①式得 ax ? k1 x ? k1 x0 ? y 0 ? 0 ,于是 x1 ? x0 ?
2

k1 k ,故 x1 ? 1 ? x0 a a

③ 又点 P( x0 , y 0 ) 和点 B( x2 , y 2 ) 的坐标是方程组 ?

? y ? y 0 ? k2( x ? x0 ) ④ 2 ? y ? ax        ⑤

的解. 将⑤式代入④式得 ax ? k 2 x ? k 2 x0 ? y 0 ? 0 . 于是 x 2 ? x0 ?
2

k2 k , 故 x 2 ? 2 ? x0 . a a

由已知得, k 2 ? ??k1 ,则 x 2 ? ?

?
a

k1 ? x0 .



设点 M 的坐标为 ( x M , y M ) ,由 BM ? ? MA ,则 x M ?

x 2 ? ?x1 . 1? ?

将③式和⑥式代入上式得 x M ? 在 y 轴上.

? x0 ? ?x0 ? ? x0 ,即 x M ? x0 ? 0 .所以线段 PM 的中点 1? ?

(Ⅲ)因为点 P(1,?1) 在抛物线 y ? ax 上,所以 a ? ?1,抛物线方程为 y ? ? x .
2 2

由③式知 x1 ? ?k1 ? 1 ,代入 y ? ? x 得 y1 ? ?(k1 ? 1) .
2 2

将 ? ? 1 代入⑥式得 x 2 ? k1 ? 1 ,代入 y ? ? x 得 y 2 ? ?(k 2 ? 1) .
2 2

因此,直线 PA 、 PB 分别与抛物线 C 的交点 A 、 B 的坐标为

A(?k1 ? 1,?k1 ? 2k1 ? 1) , B(k1 ? 1,?k1 ? 2k1 ? 1) . 于 是 AP ? (k1 ? 2, k1 ? 2k1 ) ,

2

2

2

AB ? (2k1 ,4k1 ) , AP ? AB ? 2k1 (k1 ? 2) ? 4k1 (k1 ? 2k1 ) ? 2k1 (k1 ? 2)( 2k1 ? 1) .
因 ?PAB 为钝角且 P 、 A 、 B 三点互不相同,故必有 AP ? AB ? 0 .
2

1 2 又点 A 的纵坐标 y1 满足 y1 ? ?(k1 ? 1) , 故 ? k1 ? 0 . 2 1 1 1 当 k1 ? ?2 时, y1 ? ?1 ;当 ? ? k1 ? 0 时, ? 1 ? y1 ? ? .即 y1 ? (??,?1) ? (?1,? ) 2 4 4
求得 k 1 的取值范围是 k1 ? ?2 或 ?


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