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2010年全国高中数学联赛黑龙江省预赛试题及答案


2010 年全国高中数学联赛黑龙江省预赛 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.集合 A ?

9. 若把函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图象向右平移 m ( m >0)个单位长度后,所得到的 图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ).
2

?? x, y ? y

A. ?

0, ?? ?

). ?? x, y ? y ? x , x ? R? 则 A ? B ? ( B. ?? 0, 0 ? , (2, 4)? C. ?0, 2? D. ?? 0, 0 ? , (1, 2 2)?
2

? 8 x, x ? R , B ?

?

A.

π 3

B. π

2 3

C.

π 6

D. π
2 3 mx ? nx ?1 在 3

5 6

10. 将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n ,则函数 y ?

2. 已知复数 z1 ? m ? 2i, z2 ? 3 ? 4i, 若 A.

z1 为实数,则实数 m 的值为( z2

).

8 3 8 3 B. C.— D.— 3 2 3 2 2 2 3. 与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有( A. 2 条 B. 3 条 C. 4 条 D. 2 2 4. 已知 a ? b ? 1, 且c ? a ? b 恒成立,则 c 的取值范围是

). 6条

) . [1, ??) 上为增函数的概率是( 1 2 3 5 A. B. C. D. 2 3 4 6 11.空间中一点 P 到三条两两垂直的射线 OA, OB, OC 的距离分别为 3, 2, 5 ,且垂足 分别为 A?, B?, C? ,则三棱锥 P ? A?B?C? 的体积为( ).

A. ?? ?,?2?

B. ? ? ,? 2 C. ? 2 , 2 5. 当 x, y 满足条件 x ? y ? 1 时,变量 z ? x ? y ? 2 的取值范围是(
? 2 3 2? , A. ? B. ?1, 3 ? ? 2 ? ? 2 6. 如图是一个程序框图,则输出结果为 ( ).

?

?

?

?

D. ? ?, 2 ).

?

?

C. ?1, 3?
开始

? 2 3 2? D. ? ? 2 , 2 ? ? ? ?

6 6 C . 3 D. 2 3 12. 已 知 集 合 M ? ?1, 2,3? , N ? ?1, 2,3, 4? , 定 义 函 数 f : M ? N 且 点 A( 1 ,f ( 1 ) ) , ??? ? ???? ??? ? B(2, f (2)), C(3, f (3)) , 若 ?ABC 的内切圆圆心为 D, 且 DA ? DC ? ? DB(? ? R) , 则满 足条件的函数有( ). A . 12 个 B. 10 个 C . 6个 D. 16 个

A. 5

B.

A. 8 ? 1 C. 10 ? 1

B. 9 ? 1 D. 11 ? 1

S=0 K=1 K>10? 否
S?S? 1 K ? K ?1

2 7. 已知抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F , 准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且


输出 S

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) a 1 6 13. 若二项式 (a x ? ) 的展开式中的常数项为-160,则 ?0 (3x 2 ? 1)dx = x ?(3 ? a ) x ? 3, x ? 7 14.设函数 f ( x) ? ? x ?6 ,数列 {an } 满足 an ? f (n), n ? N? ,且数列 {an } 是递 ?a , x ? 7 增数列,则实数 a 的取值范围是 x2 y 2 15. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过 F 做双曲线 C 的一条渐 a b ???? ? ???? ? 近线的垂线与双曲线交于 M ,垂足为 N ,若 FN ? a ,且 FM ? ? MN ,则 ? ? ______ 16. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切,若该球的体积为 则该三棱柱的体积是_______________________ 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分)
1 17. (10 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a cos C ? c ? b 2 (1)求角 A 的大小.
32? , 3

AK ? 2 AF

, 则 ?AFK 的 面 积 为

( ). K=K+1 8 4 A. B. C. 16 D. 32 8 . 设 f ( x) 是 连 续 的 偶 函 数 , 且 当 x ? 0 时 f ( x) 是 严 格 单 调 函 数 , 则 满 足 x?3 f ( x)? f ( ) x ? 4 的所有 x 之和为( ). ? 3 A. B.-8 C. 3 D. 8

结束

(2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 内切圆半径 R 的最大值.

18. (12 分) 为了调查全市学生的数学高考成绩,随机地抽取某中学甲,乙两班各 10 名同学,获得成绩数据如下, 甲:132,108,112,121,113,121,118,128,118,129 乙:133,107,120,113,122,114,128,118,129,127 (单位:分) (1)画出甲,乙两班学生数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图判断哪个班的平均水平较 高. (2)若数学成绩不低于 120 分则称为“优秀”,求从这 20 名学生中随机选取 3 人,至 多有 1 人是“优秀”的概率. (3)以这 20 人的样本数据来估计整个学校的总体成绩,若从该校(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示抽到“优秀”学生的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

21. (12 分) 已知定点 A(1,0)和定直线 x=-1 上的两个动点 E、F,满足 AE ? AF , 动点 P 满足 EP // OA, FO // OP (其中 O 为坐标原点). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 B (0, 2) 的直线 l 与 (1) 中轨迹 C 相交于两个不同的点 M、 N, 若 AM ? AN ? 0 , 求直线 l 的斜率的取值范围.

22. (12 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ?1 x

试判断函数 f ( x) 的单调性; 设 m ? 0 ,求 f ( x) 在 [m,2m] 上的最大值; 1? n e 1? n (3)试证明:对 ?n ? N ? ,不等式 ln( ) ? n n

19.

(12

分 )

已 知 数 列

? an ?

的 首 项 a1 ? 4 , 前 项 和 为 sn ,



(1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)设函数 f ( x) ? an x ? an?1 x 2 ? ?? ? a1 x n , f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,令 bn ? f ' (1) , 求数列 {bn } 的通项公式, 并研究其单调性.

sn?1 ? 3sn ? 2n ? 4 ? 0(n ? N *)

A D

20. (12 分) 如图,Δ AB C 内接于⊙O, AB ? AC ,直 线 MN 切⊙O 于点 C ,弦 BD // MN , AC 与 BD 相交于 点E. (1)求证:Δ ABE ? Δ ACD ; (2)若 AB ? 6, BC ? 4 ,求 AE .

E

N

B

C

M

解 1.

答 B 提示: A ? B 表示两个抛物线的交点构成的集合,两个方程联立可解. z m ? 2i (3m ? 8) ? (6 ? 4m)i 3 ? , 6 ? 4m ? 0, 则 m ? ? . 2. D 提示: 若 1 ? z2 3 ? 4i 25 2 3. C 提示: 由数形结合可知.与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线分成两 类,一类是过原点满足条件的直线有 2 条,另一类是斜率为-1 满足条件的直线也有 两条,所以共 4 条. 4. B 5. C 提示: 当 x ? y ? 1 时, ? 1 ? x ? y ? 1 , 所以 z ? x ? y ? 2 的取值范围是[1,3] 6. D
2 K ? ?2, 0? F ? 2, 0? 7. B 提示:∵抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 , 准线为 x ? ?2 ,∴ . 设 AK ? 2 AF A ? x0,y0 ? B ? ?2,y0 ? ,过 A 点向准线作垂线 AB ,则 . ∵ ,又 AF ? AB ? x0 ? ? ?2 ? ? x0 ? 2

a 2 ? b2 ? 5, b2 ? c 2 ? 3, c 2 ? a 2 ? 4 ? a 2 ? 3, b2 ? 2, c 2 ? 1 . 由体积分割可得 V整 ? abc,

4 1 6 VP ? A?B?C ? ? abc ? abc ? abc ? 6 3 3 ??? ? ???? ??? ? 12. A 提示: 设 K 为 AC 的中点,由 DA ? DC ? ? DB(? ? R) 知 D, B, K 三点共线, 说 明 AB ? BC 设 f (1) ? x, f (2) ? y, f (3) ? z , 由 数 形 结 合 可 知 x ? z 且 z ? y , 故
2 A4 ? 12 .

13.

6 提示:
r 6

6? r r ? ? 1 ? r 6?r r 2 2 Tr ?1 ? C a x ? C6r a 6 ? r (?1)r x3? r ?? ? ? C6 a (?1) x x? ? 令 3 ? r ? 0?r ? 3 ,常数项为 ?C63a3 ? ?20a3 ? ?160 ? a3 ? 8, a ? 2,

?

?

6? r

r

?

a

0

2 (3x 2 ? 1)dx ? ? x3 ? x ? |0 ?6.

2 2 2 y 2 ? ? x0 ? 2 ? 8 x ? ? x0 ? 2 ? A ? 2, ? 4? ∴由 BK ? AK ? AB 得 0 , 即 0 , 解得 ,∴ ?AFK 的 面积为 1 1 KF ? y0 ? ? 4 ? 4 ? 8 2 2 x?3 x?3 f ( x) ? f ( ) x? x ? 4 时,即 x ? 4 时,得 x 2 ? 3x ? 3 ? 0 ,此时 8.B 提示:依题当满足 x1 ? x2 ? ?3. 又 f ( x ) 是 连 续 的 偶 函 数 , ∴ f (? x) ? f ( x) , ∴ 另 一 种 情 形 是 x?3 x?3 f (? x) ? f ( ) ?x ? x ? x ? ?5. x?4 , 即 x ? 4 , 得 x 2 ? 5x ? 3? 0 ,∴ 3 4 ∴满足 x?3 f ( x) ? f ( ) x ? 4 的所有 x 之和为 ?3 ? (?5) ? ?8.
2
2

?3 ? a ? 0 14 . (2,3) 提示 : :数列 {an } 是递增数列, ? ? 1 < a < 3 , f (7) < f (8) ?a ? 1 ? 7(3 ? a) ? 3 < a 2 解得 a <-9,或 a >2 故实数 a 的取值范围是 (2,3)

15. ? ? 1 提示 ::

? FN ? a ? b,? c ? 2a, 设 lFN : y ? ? x ? c , 则其与双曲线联立 ???? ? ???? ? 3c c c c 得 M ( , ) ,而 N ( , ) ,所以 FM ? MN ? ? ? 1 . 4 4 2 2 16. 提示:由体积得球半径 R ? 2 ,三棱柱的高为 4,底面边长为 4 3 ,所以

?V ?

3 ? (4 3 ) 2 ? 4 ? 48 3 。 4

9. C 10. D

π? π 提示: y ? 3 cos x ? sin x ? 2cos ? ? x ? ? , 对称轴方程 x ? kπ ? , k ? Z . ? 6?

6

n 恒成立, 即 2m ? n , m 但符合 2m ? n 条件的有(1,3), (1,4), (1,5) (1,6) (2,5) (2,6) 共 6 种, 6 5 故1 ? ? 36 6 11. D 提示: 设 OA?, OB?, OC ? 的长度分别为 a, b, c, 则

提示: f ?( x) ? 2mx 2 ? n ? 0 在 [1, ??) 恒成立, 2 x 2 ?

1 17. (1)由正弦定理得 sin A cos C ? sin C ? sin B, 又? sin B ? sin( A ? C ) , 故原式变为 2 1 1 ? ,? A 为三角形内角, ? A ? sin C ? cos A sin C ,? cos A ? 2 2 3 1 3 3 1? a ? b 1 bc , ? bc ? ? R, 即 (2) ? s?ABC ? (a ? b ? c) R, 且 s?ABC ? bc sin A ? 2 4 4 2 2 3 bc R? ? , 2 1? b ? c 而由余弦定理得 (b ? c)2 ? 1 1 ? b2 ? c 2 ? bc ? (b ? c) 2 ? 1 ? 3bc ? bc ? , 3 b ? c 2 (b ? c)2 ? 1 b ? c 2 3 ?R ? (b ? c ? 1), 又? bc ? ( ) ? ?( ) 6 2 3 2

所以, ? 0 ? b ? c ? 2 ? R ?

3 3 ,当且仅当时 b ? c ? 1 即 ?ABC 为等边三 ? Rmax ? 6 6


5 ? 3 n ? 2 ? 15 (n ? 1)( n ? 7) , ? 4 2 所以,作差得 15 ? 3 n 7 bn ?1 ? bn ? ? n ? ? 0, 2 2 所以 {bn } 是单调递增数列. bn ?1 ?

角形时取得. 18.(1)茎叶图略,乙班的平均水平较高. (2) 甲班“优秀”的人数为 5 人,乙班“优秀”的人数为 6 人,设“从这 20 名学生中 随机选取 3 人,没有 1 人是“优秀”的”事件为 A1 , “从这 20 名学生中随机选取 3 人,有 1 人是“优秀”的”事件为 A2 , “从这 20 名学生中随机选取 3 人,至多有 1 人是“优秀”的”事件为 A ,则 3 1 C9 C11 C92 40 P ( A) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? 3 ? 3 ? C20 C20 95 7 33 33 11 33 (3) ? ? 0,1, 2,3且P(? ? 0) ? , P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? , P(? ? 3) ? ? E? ? 95 95 76 76 20 19. (1)由 sn?1 ? 3sn ? 2n ? 4 ? 0(n ? N *) 得 sn ? 3sn ?1 ? 2n ? 2 ? 4 ? 0 (n ? 2) , 两式相减得 an ?1 ? 3an ? 2 ? 0 , 可得 an ?1 ? 1 ? 3(an ? 1) ( n ? 2 ),又由已知 a 2 ? 14 , 所 以 a 2 ? 1 ? 3(a1 ? 1) , 即 ?a n ? 1? 是 一 个 首 项 为 5, 公 比 q ? 3 的 等 比 数 列 ,
? an ? 5 ? 3n ?1 ? 1(n ? N * ) 。

20. (1) 在Δ ABE 和Δ ACD 中, ∵ AB ? AC , ∠ABE=∠ACD , 又∠BAE=∠EDC, ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN. ∵直线是圆的切线,∴∠DCN=∠CAD,∴∠BAE=∠CAD,∴Δ ABE ? Δ ACD (角、 边、角) (2)∵∠EBC=∠BCM , ∠BCM=∠BDC,∴∠EBC=∠BDC=∠BAC,BC=CD=4. 又 ∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB 所以 BC=BE=4. DE DC 4 2 设 AE= x ,易证 Δ ABE∽Δ DEC,∴ ? ? ? DE ? x x AB 6 3 2 10 又 AE ? EC ? BE ? ED EC ? 6 ? x ,∴ 4 ? x ? x(6 ? x ) x? 3 3 21. ( 1 ) 设 P( x, y), E (?1, y1 ), F (?1, y 2 )( y1 、 y 2 均 不 为 0 ) , 由 y y EP // OA得y1 ? y,即E (?1, y ) . 由 FO // OP得y 2 ? ? , 即 F (?1,? ) 得 x x ,
AE ? AF ? 0 ? (2,? y1 ) ? (2, y 2 ) ? 0 ? y1 y 2 ? ?4 ? y 2 ? 4 x( x ? 0)

(2) ? f ?( x) ? an ? 2an ?1 x ? ?? ? na1 x ? f ?(1) ? an ? 2an?1 ? ?? ? na1
? 5? ?3

n ?1

? ? 5 ? 3n ?1 ? 1? ? 2 ? 5 ? 3n ? 2 ? 1? ? ?? ? n ? 5 ? 30 ? 1?
n ?1

? 2?3

n?2

? 3? 3

n ?3

n(n ? 1) ? ?? ? n ? 3 ? ?? 2
0

∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4 x( x ? 0) .
2 y12 y2 ( 2 ) 设 直 线 l 的 方 程 y ? kx ? 2(k ? 0), M ( , y1 ), N ( , y 2 ) 联立得 4 4 , ?y ? kx? 2 4 8 消去x得k y2 ? 4 y ? 8 ? 0 且 ? y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? , ? 2 k k ? y ? 4x , 1 ? ? 16 ? 32 k ? 0即k ? . 2 2 y y2 y2 y2 ? AM ? AN ? ( 1 ? 1, y1 ) ? ( 2 ? 1, y 2 ) ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? y1 y 2 4 4 4 4

令 s ? 3n?1 ? 2 ? 3n?2 ? 3 ? 3n?3 ? ?? ? n ? 30 , 则 3s ? 3n ? 2 ? 3n?1 ? 3 ? 3n?2 ? ?? ? n ? 31 。 n 3 ? 3n ?1 5 ? 3n ?1 ? 15 n(n ? 6) ? f ?(1) ? ? 所以,作差得 s ? ? ? 即 4 2 2 4 5 ? 3 n ?1 ? 15 n(n ? 6) bn ? ? , 4 2

?

2 2 y1 y2 1 2 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ? 1 16 4

?

4 1 16 16 8 k ? 12 ? ( 2 ? ) ? ?1 ? 2 4 k k k k k

? AM ? AN ? 0,? ?12 ? k ? 0.

22.: (1) 函数 f ( x) 的定义域是:(0,??) .

由已知 f ' ( x) ?

1 ? ln x ? 0 ,? x ? e .

1 ? ln x , 令 f ' ( x) ? 0 得, 2 x

1 ? ln x 1 ? ln x 当 x ? e 时,f ' ( x) ? ?0, ?0, 所以函数 f ( x) 2 x x2 在 (0, e] 上单调递增,在 [e,??) 上单调递减

?当 0 ? x ? e 时,f ' ( x) ?

(2) 由 (I) 知函数 f ( x) 在 (0, e] 上单调递增, 在 [e,??) 上单调递减, 故①当 0 ? 2m ? e e 即 0 ? m ? 时, f ( x) 在 [m,2m] 上单调递增,所以 2 ln 2m f ( x) max ? f (2m) ? ?1 2m ②当 m ? e 时, f ( x) 在 [m,2m] 上单调递减,所以 ln m f ( x) max ? f (m) ? ?1 m e ③当 m ? e ? 2m ,即 ? m ? e 时,所以 2 1 f ( x) max ? f (e) ? ? 1 e 1 (3)由( I )知,当 x ? (0,??) 时, f ( x) max ? f (e) ? ? 1 ,所以在 (0,??) 上恒有 e ln x 1 ln x 1 f ( x) ? ? 1 ? ? 1 ,即 ? 且当 x ? e 时“=”成立. 因此,对 ?x ? (0,??) 恒有 x e x e 1 1? n 1? n ln x ? x ? ? 0, ?e e n n

1? n 1 1? n 1? n 1? n ? ? ? ln( )e ? n e n n n 1 ? n 1? n )e ? 即对 ?n ? N ? ,不等式 ln( 恒成立。 n n ? ln


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