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2004年高考试题——数学理(浙江卷)


2004 年普通高等学校招生全国统一考试



学(浙江卷)(理工类)
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 选择题 是符合题目要求的. (1) 若 U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 ? ( M U N ) = U (A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4} ( )

(2) 点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x 2 + y 2 = 1 逆时针方向运动

2π 弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标为 3
( )

(A) (?

1 3 , ) 2 2

(B) ( ?

3 1 ,? ) 2 2 3 1 , ) 2 2
( (D) –10 ( ) )

(C) ( ?

1 3 ,? ) 2 2

(D) ( ?

(3) 已知等差数列 {a n } 的公差为 2,若 a1 ,a 3 , a 4 成等比数列, 则 a 2 = (A) –4 (B) –6 (C) –8

(4) 曲线 y 2 = 4 x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是 (A) y 2 = 8 ? 4 x (C) y 2 = 16 ? 4 x (5) 设 z=x—y ,式中变量 x 和 y 满足条件 ? (A) 1 (B) –1 (B) y 2 = 4 x ? 8 (D) y 2 = 4 x ? 16

? x + y ? 3 ≥ 0 则 z 的最小值为 ? x ? 2 y ≥ 0,
(C) 3 (D) –3





(6) 已知复数 z1 = 3 + 4i, z 2 = t + i ,且 z1 ? z2 是实数,则实数 t= (A)

( (D) --



3 4

(B)

4 3

(C) --

4 3

3 4

1

(7) 若 ( x + (A) 8

2
3

x

) n 展开式中存在常数项,则 n 的值可以是
(B) 9 (C) 10 (D) 12





(8)在 ?ABC 中,“A>30?”是“ sin A > (A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件 (9)若椭圆

1 ”的 2
(B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件





x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y 2 = 2bx 2 a b

的焦点分成 5:3 两段,则此椭圆的离心率为 ( ) (A)

16 17

(B)

4 17 17

(C)

4 5

(D)

2 5 5

(10)如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中已知 AB=1,D 在棱 BB1 上,且 BD=1,若 AD 与平 面 AA1C1C 所成的角为 α ,则 α = ( ) (A) (B)

π

π

3

4 10 4 6 4

(C) arcsin

(D) arcsin

(11)设 f ′(x ) 是函数 f (x ) 的导函数, y = f ′(x ) 的图象如图所示,则 y = f (x ) 的图象最有可能 的是( )

2

(12)若 f (x ) 和 g ( x ) 都是定义在实数集 R 上的函数,且方程 x ? f [ g ( x )] = 0 有实数解, 则 g[ f ( x )] 不可能是 ... (A) x + x ?
2

1 5

(B) x + x +
2

1 5

(C) x ?
2

1 5

(D) x +
2

1 5

第Ⅱ卷
(13)已知 f ( x ) = ? ?

(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分.把答案填在题中横线上. 填空题:

1, x ≥ 0, 则不等式 x + ( x + 2) ? f ( x + 2) ≤5 的解集是 ? ? 1, x?0,



( 14 ) 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 AB = 3, BC = 4, CA = 5,

uuu r

uuu r

uuu r



uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB 的值等于



(15)设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 x 轴跳动,每次向正方向或负方向跳 1 个单 位,经过 5 次跳动质点落在点(3,0) (允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法 种(用数字作答) . 共有 (16)已知平面 α 和平面 β 交于直线 l ,P 是空间一点,PA⊥ α ,垂足为 A,PB⊥ β ,垂足 为 B,且 PA=1,PB=2,若点 A 在 β 内的射影与点 B 在 α 内的射影重合,则点 P 到 l 的 . 距离为 解答题: 三、 解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c,且 cos A = (Ⅰ)求 sin
2

B+C + cos 2 A 的值; 2

1 . 3

(Ⅱ)若 a =

3 ,求 bc 的最大值.

3

(18) (本题满分 12 分) 盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为 1 的球 3 个,标号为 2 的球 4 个,标号为 5 的球 3 个,第一次从盒子中任取 1 个球,放回后第二次再任取 1 个球(假设取到每个球 的可能性都相同) .记第一次与第二次取到球的标号之和为 ξ . (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列; (Ⅱ)求随机变量 ξ 的期望 Eξ .

(19) (本题满分 12 分) 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点. (Ⅰ)求证 AM∥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 A—DF—B 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 CMN 的距离.

(20) (本题满分 12 分) 设曲线 y = e ? x ( x ≥0) 在点 M (t , e ? t ) 处的切线 l 与 x 轴 y 轴所围成的三角形面积为 S (t ) . (Ⅰ)求切线 l 的方程; (Ⅱ)求 S (t ) 的最大值.

4

(21) (本题满分 12 分) 已知双曲线的中心在原点,右顶点为 A(1,0)点 P、Q 在双曲线的右支上,支 M(m,0) 到直线 AP 的距离为 1. (Ⅰ)若直线 AP 的斜率为 k,且 k ∈ [ (Ⅱ)当 m =

3 , 3 ] ,求实数 m 的取值范围; 3

2 + 1 时,?APQ 的内心恰好是点 M,求此双曲线的方程.

(22) (本题满分 14 分) 如图,?OBC 的在个顶点坐标分别为(0,0)(1,0)(0,2),设 P 为线段 BC 的中点,P2 、 、 为线段 CO 的中点,P3 为线段 OP1 的中点,对于每一个正整数 n,Pn+3 为线段 PnPn+1 的中点,令 Pn 的坐标为(xn,yn),

an =

1 y n + y n +1 + y n+ 2 . 2

(Ⅰ)求 a1 , a2 , a 3 及 an ; (Ⅱ)证明 yn + 4 = 1 ?

yn , n ∈ N ?; 4
?

(Ⅲ)若记 bn = y4 n + 4 ? y4 n , n ∈ N , 证明 {bn } 是等比数列.

5

2004 数学(浙江卷)参考答案
小题,每小题 一.选择题: 本大题共 12 小题 每小题 5 分,共 60 分. 选择题 共 1. D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 12.D 填空题:本大题共 小题,每小题 二.填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分,满分 16 分. 满分 13. (?∞, ] 8.B 9.D 10.D 11.B

3 2

14. 14

--25 15. 5

16.

5

三.解答题:本大题共 6 小题 满分 74 分. 解答题 本大题共 小题,满分 17. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) sin
2

B+C + cos 2 A 2

1 2 2 1 2 = (1 + cos A) + ( 2 cos A ? 1) 2 1 1 2 = (1 + ) + ( ? 1) 2 3 9 1 = ? 9 b2 + c2 ? a2 1 (Ⅱ) ∵ = cos A = 2bc 3


= [1 ? cos( B + C )] + ( 2 cos A ? 1)

2 bc = b 2 + c 2 ? a 2 ≥ 2bc ? a 2 , 3 3

又∵ a = ∴ bc ≤

9 . 4 3 9 9 时,bc= ,故 bc 的最大值是 . 2 4 4

当且仅当 b=c= (18) (满分 12 分)

解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量 ξ 的取值是 2、3、4、6、7、10. 随机变量 ξ 的概率分布列如下

6

ξ
P 随机变量 ξ 的数学期望

2 0.09

3 0.24

4 0.16

6 0.18

7 0.24

10 0.09

Eξ =2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.
(19) (满分 12 分) 方法一 解: (Ⅰ)记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, ∵O、M 分别是 AC、EF 的中点,ACEF 是矩形, ∴四边形 AOEM 是平行四边形, ∴AM∥OE. ∵ OE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE. (Ⅱ)在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF 于 S,连结 BS, ∵AB⊥AF, AB⊥AD, AD I AF = A, ∴AB⊥平面 ADF, ∴AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影, 由三垂线定理得 BS⊥DF. ∴∠BSA 是二面角 A—DF—B 的平面角. 在 Rt?ASB 中, AS = ∴ tan ∠ASB =

6 , AB = 2, 3

3 , ∠ASB = 60°,

∴二面角 A—DF—B 的大小为 60?. (Ⅲ)设 CP=t(0≤t≤2),作 PQ⊥AB 于 Q,则 PQ∥AD, ∵PQ⊥AB,PQ⊥AF, AB I AF = A , ∴PQ⊥平面 ABF, QF ? 平面 ABF, ∴PQ⊥QF. 在 Rt?PQF 中,∠FPQ=60?, PF=2PQ. ∵?PAQ 为等腰直角三角形, ∴ PQ =

2 (2 ? t ). 2
7

又∵?PAF 为直角三角形,

∴ PF =

(2 ? t ) 2 + 1 ,
2

∴ (2 ? t ) + 1 = 2 ?

2 (2 ? t ). 2

所以 t=1 或 t=3(舍去) 即点 P 是 AC 的中点. 方法二 (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系. 设 AC I BD = N ,连接 NE, 则点 N、E 的坐标分别是(

2 2 , ,0 ) 、 (0,0,1), 2 2

∴ NE = (?

uuu r

2 2 ,? ,1) , 2 2

又点 A、M 的坐标分别是 ( 2 , 2 , 0 )( 、

2 2 , ,1) 2 2

∴ AM = ( ?

uuuu r

2 2 ,? ,1) 2 2

∴ NE = AM 且 NE 与 AM 不共线, ∴NE∥AM. 又∵ NE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE, ∴AM∥平面 BDF. (Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF I AD = A, ∴AB⊥平面 ADF. ∴ AB = ( ? 2, 0, 0) 为平面 DAF 的法向量. ∵ NE ? DB = ( ?

uuu r

uuuu r

uuu r

uuu uuu r r

2 2 ,? ,1) · (? 2 , 2 ,0) =0, 2 2 2 2 ,? ,1) · ( 2 , 2 ,0) =0 得 2 2
8

∴ NE ? NF = ( ?

uuu uuur r

uuu uuu uuu uuur r r r NE ⊥ DB , NE ⊥ NF , uuu r
∴ NE 为平面 BDF 的法向量. ∴ cos < AB, NE >=

uuu uuu r r

1 2

uuu r

uuu r

∴ AB 与 NE 的夹角是 60?. 即所求二面角 A—DF—B 的大小是 60?. (Ⅲ)设 P(t,t,0)(0≤t≤ 2 )得

uuu r PF = ( 2 ? t , 2 ? t ,1),
∴ CD = ( 2, 0, 0) 又∵PF 和 CD 所成的角是 60?. ∴ cos 60° =

uuu r

( 2 ? t) ? 2 ( 2 ? t)2 + ( 2 ? t)2 + 1 ? 2

解得 t =

2 3 2 或t = (舍去) , 2 2

即点 P 是 AC 的中点. (20) (满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ′( x) = (e ? x ) ′ = ?e ? x , 所以切线 l 的斜率为 ? e ? x , 故切线 l 的方程为 y ? e ? t = ?e ? t ( x ? t ). 即 e ? t x + y ? e ? t (t + 1) = 0 . (Ⅱ)令 y=0 得 x=t+1, 又令 x=0 得 y = e ? t (t + 1)

1 (t + 1) ? e ?t (t + 1) 2 1 2 ?t = (t + 1) e 2 1 ?t 从而 S ′(t ) = e (1 ? t )(1 + t ). 2
所以 S(t)=
9

∵当 t ∈ (0,1)时, S ′(t ) >0, 当 t ∈ (1,+∞)时, S ′(t ) <0, 所以 S(t)的最大值为 S(1)= (21) (满分 12 分) 解: (Ⅰ)由条件得直线 AP 的方程 y = k ( x ? 1), 即 kx ? y ? k = 0. 因为点 M 到直线 AP 的距离为 1, ∵

2 e

mk ? k k 2 +1

= 1,
1 k 2 +1 = 1+ 2 . k k

即 m ?1 =

∵ k ∈[

3 , 3 ], 3



2 3 ≤ m ? 1 ≤ 2, 3 2 3 2 3 +1≤m≤3 或--1≤m≤1-. 3 3 2 3 2 3 ,3]. ] U [1 + 3 3 y2 = 1(b ≠ 0), 由 M ( 2 + 1,0), A(1,0), b2

解得

∴m 的取值范围是 [ ?1,1 ?

(Ⅱ)可设双曲线方程为 x ?
2

得 AM =

2.

又因为 M 是 ?APQ 的内心,M 到 AP 的距离为 1,所以∠MAP=45?,直线 AM 是 ∠PAQ 的角平分线,且 M 到 AQ、PQ 的距离均为 1.因此, k AP = 1, k AQ = ?1 (不妨设 P 在 第一象限)
10

直线 PQ 方程为 x = 2 + 直线 AP 的方程 y=x-1,

2.

∴解得 P 的坐标是(2+ 2 ,1+ 2 ) ,将 P 点坐标代入 x ?
2

y2 = 1 得, b2

b2 =

2 +1 2 +3
2

所以所求双曲线方程为 x ?
2 2 即 x ? ( 2 2 ? 1) y = 1.

( 2 + 3) 2 +1

y 2 = 1,

(22) (满分 14 分) 解:(Ⅰ)因为 y1 = y 2 = y 4 = 1, y 3 =

1 3 , y5 = , 2 4
y n + y n +1 2

所以 a1 = a 2 = a3 = 2 ,又由题意可知 y n + 3 = ∴ a n +1 =

1 y n+1 + y n + 2 + y n + 3 2

=

y +y 1 y n +1 + y n+ 2 + n n +1 2 2 1 y n + y n +1 + y n + 2 = a n , 2

=

∴ {a n } 为常数列. ∴ a n = a1 = 2, n ∈ N . (Ⅱ)将等式
?

1 y n + y n+1 + y n + 2 = 2 两边除以 2,得 2

y + y n+2 1 y n + n +1 = 1, 4 2
又∵ y n + 4 =

y n +1 + y n+ 2 2
11

∴ y n+4 = 1 ?

yn . 4 y4n+4 y ) ? (1 ? 4 n ) 4 4

(Ⅲ)∵ bn ?1 = y 4 n +8 ? y 4 n + 4 = (1 ?

1 = ? ( y 4n+4 ? y 4n ) 4
又∵ b1 = y 3 ? y 4 = ?

1 = ? bn , 4

1 ≠ 0, 4 1 ∴ {bn } 是公比为 ? 的等比数列. 4

12


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