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高中数学 第2章 平面解析几何初步章末总结课件 新人教A版必修2


? 一、熟练掌握基本概念 ? 1.轴上任意三点A、B、C,有AC=AB+ BC,若OB=x2,OA=x1,则AB=x2-x1, |AB|=|x2-x1|. A(x ,y )、B(x ,y )间的距离|AB|= 2.平面上任意两点
1 1 2 2

(x2-x1) +(y2-y1) ,线段 AB

2

2

?x1+x2 y1+y2? ? 的中点坐标? . , ? 2 2 ? ? ?

? 3.通过建立平面直角坐标系,将几何问 题中的数量关系及位置关系用点的坐标和 曲线的方程来表示,通过计算来解决几何 问题的方法为坐标法.

? 4.(1)过两点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线的斜率k= ? (x1≠x2),当x1=x2时,斜率不存在. ? (2)x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的 倾斜角,与x轴平行或重合的直线倾斜角为0°. ? (3)若直线的斜率为k,k=0时,直线垂直于y轴,k>0时, 直线倾斜角为锐角,k值越大,倾斜角随着增大. ? k<0时,直线的倾斜角为钝角,k值越大,直线倾斜角随 着增大. ? 垂直于x轴的直线倾斜角为90°. ? (4)直线的倾斜角的取值范围是[0°,180°).

? 5.直线方程的几种形式 ? (1)点斜式:过点P0(x0 ,y0),斜率为k的直 线方程y-y0 =k(x-x0),其特例是斜截式, 斜率为k、在y轴上截距为b的直线方程为y =kx+b. ? 点斜式与斜截式不能表示垂直于x轴的直 线,故应用此形式解题时,不要忘记斜率 不存在的情况.

y-y1 (2)两点式: 过点 A(x1,1)、 2,2)的直线的方程为 y B(x y y2-y1 x-x1 = (x1≠x2,y1≠y2). x2-x1 其特例是截距式,在 x 轴、y 轴上截距分别为 a、b 的 x y 直线的方程为a+b=1(a、b≠0). 两点式不能表示垂直于坐标轴的直线, 截距式除此之外 还不能表达过原点的直线.

? (3)一般式:直线的方程都是关于x、y的二 元一次方程,关于x、y的二元一次方程都表 示一条直线,Ax+By+C=0(A2+B2≠0)称作 直线的一般式方程.

6.两条直线的位置关系 (1)l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0, A1 B1 l1 与 l2 相交?A1B2-A2B1≠0 或A ≠B (A2B2≠0) 2 2
?A B -A B =0 ? 1 2 2 1 ? l1 与 l2 平行? ?A1C2-A2C1≠0 ?

A1 B1 C1 或A =B ≠C (A2B2C2≠0) 2 2 2

A1 B1 l1 与 l2 重合?A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)或A =B 2 2 C1 =C (A2B2C2≠0). 2 l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

(2)l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2. l1 与 l2 相交?k1≠k2;l1 与
?k =k ? 1 2 ? l2 重合? ?b1=b2 ? ?k =k ? 1 2 ? l2 平行? ?b1≠b2 ?



l1 与



l1⊥l2?k1k2=-1. 7.点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 |Ax0+By0+C| d= . 2 2 A +B

8.圆的方程 (1)标准方程:圆心 C(a,b),半径为 r 的圆方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2. (2)一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0),
? D E? 圆心?- 2 ,- 2 ?,半径 ? ?

1 2 r=2 D +E2-4F.

? 9.点、直线、圆与圆的位置关系 ? 设圆方程为f(x,y)=0(其中f(x,y)=(x- a)2 +(y-b)2 -r2 或f(x,y)=x2 +y2 +Dx+ Ey+F) ? (1)点P(x0,y0)在圆内?f(x0,y0)<0; ? 点P(x0,y0)在圆上?f(x0,y0)=0. ? 点P(x0,y0)在圆外?f(x0,y0)>0.

? (2)直线l:Ax+By+C=0与圆C:f(x,y)= 0的位置关系 ? 圆心C到直线l距离为d、圆半径为r ? d>r?l与⊙C相离; ? d=r?l与⊙C相切; ? d<r?l与⊙C相交(也可用判别式Δ讨论).

? (3)⊙O1 圆心O1 ,半径r;⊙O2 圆心O2 ,半 径R(R≥r),d=|O1O2|. ? 两圆外离?d>R+r; ? 两圆外切?d=R+r; ? 两圆相交?R-r<d<R+r; ? 两圆内切?d=R-r; ? 两圆内含?d<R-r.

10.空间直角坐标系 (1)定轴原则,右手系. (2)空间的对称点,“关于谁谁不变,其它变相反”. (3)空间两点 P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)间的距离公 式|P1P2|= (x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.

? 11.求圆的切线 ? (1)过圆上一点P的圆的切线有且仅有一条, 一般设切线方程,用d=r解决. ? (2)P(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,过P点 的切线方程为x0x+y0y=r2 可直接作公式 用. ? (3)过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线有两条, 一般设切线方程,用d=r求解,若求得一 条,则另一条为x=x0. ? 12.求直线与圆相交所得弦长,通常用垂 径定理解决,如图弦长|AB|=2

? 二、数形结合是解析几何的灵魂 ? 1.处理解析几何问题,要自觉运用数形结 合的思想方法加以分析解决.

2.要熟悉常见的一些表达式的几何意义. y 如①x视作点(x,y)与(0,0)连线的斜率;②(x-1)2+(y+ 2)2 视作点(x,y)到(1,-2)的距离的平方;③遇到表达式 x +y,令 x+y=u 视作直线的纵截距;④|x-2y+1|视作点(x, y)到直线 x-2y+1=0 距离的 5倍等等.

? 3.熟知一些基本结论. ? (1)点P在⊙C外,直线PC交圆于A、B两点, 则圆上所有点到P点距离的最大值为|PB|, 最小值为|PA|.

? (2)点P在圆⊙C内,直线PC交圆于E、F两点,圆上所有
点到点P距离最大值为|PF|,最小为|PE|. ? 过点P的弦以与PC垂直的弦AB为最短. ? (3)相交两圆连心线垂直平分公共弦,相切两圆连心线必 过切点.

? (4)过直线l:Ax+By+C=0与⊙C:(x-a)2+(y-b)2=r2
的两个交点的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2-r2+λ(Ax+By +C)=0. ? 过两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2 =0的交点的圆的方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+ y2+D2x+E2y+F2)=0.

? 用坐标法研究几何问题使我们从抽象的推理中解脱出来, 用坐标的计算替代推理.为我们研究几何问题开辟了一 条全新的道路. ? 本章介绍了解析几何研究问题的基本思路:建立直角坐 标系,求出或设出点的坐标,通过坐标的运算,对方程 的研究来解释几何现象,表述几何问题. ? 本章内容主要有两大部分:前一部分主要介绍了直线的 倾斜角与斜率,直线方程的各种形式,点到直线距离公 式和两点间距离公式.应特别注意直线方程不同形式的 适用范围.

? 后一部分是圆的方程,点、直线、圆与圆 的位置关系,要牢牢把握圆的两种形式方 程中各几何量含义,点、直线、圆与圆位 置关系的代数及几何表示.要切实弄清圆 的有关几何性质. ? 最后介绍了空间直角坐标系和空间两点间 的距离公式,解析几何是数形结合的典范, 故学习本章要深刻体会数形结合思想,自 觉运用数形结合方法去分析和解决实际问 题.

? 解析几何中求直线方程、求圆的方程是一类重 要的问题,求解此类问题时常使用待定系数 法.待定系数法的典型特征,就是所研究的式 子(方程)的结构是确定的,但它的系数(部分或 全部)是待定的,根据题目所给的条件,列出待 定系数所满足的关系,解方程或方程组即可获 解. ? [例1] 已知直线经过点P(-3,1),且与两坐标轴 围成的三角形面积为3,试求直线的方程.

[解析]

x y 设所求直线的方程为 + =1,由题意有 a b

?-3 1 ? a +b=1 ? ?1|ab|=3 ?2



?a=3+ 3 ? 解得? ?b=-1+ ?

3

?a=3-3 3 ? ,或? ?b=-1- 3 ?

.

则直线方程:( 3-1)x+3( 3+1)y-6=0 或( 3+1)x-3( 3-1)y+6=0.

? [点评] 在利用直线的特殊形式求直线方程 时,常将斜率k和截距a、b作为待定的系 数.求与直线Ax+By+C=0平行的直线可 设方程为Ax+By+m=0,垂直的直线则可 设为Bx-Ay+n=0.这里m、n为待定的系 数.

? 求经过点A(-2,4),B(3,-1),且在x轴上 截得弦长为6的圆的方程.

[解析]

设圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

由圆过 A(-2,4)和 B(3,-1),则有
?4+16-2D+4E+F=0 ? ? ?9+1+3D-E+F=0 ? ?2D-4E-F=20 ? 即? ?3D-E+F=-10 ?

, ① ②

令 y=0,得 x2+Dx+F=0, 设 x1,x2 是该方程两根,则 x1+x2=-D,x1x2=F. 由|x1-x2|=6,得

? 36=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=D2-4F. ? 即D2-4F=36.③ ? 解①②③组成的方程组,得D=-2,E= -4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0. ? 故所求圆的方程为x2 +y2 -2x-4y-8=0 或x2+y2-6x-8y=0.

? 判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从 两个方面入手:①直线与圆有无公共点, 等价于它们的方程组成的方程组有无实数 解,方程组有几组实数解,直线与圆就有 几个公共点,方程组没有实数解,直线与 圆就没有公共点,判断圆与圆的位置关系 时慎用此法;②运用平面几何知识,把直 线与圆、圆与圆位置关系的几何结论转化 为相应的代数结论.

? [例2] 设有直线l:y=kx+3与圆O:x2+y2 =16,求k为何值时,直线l被圆O所截得的 弦最短?并求出最短弦长;能否求得k的值, 使直线l被圆O所截得的弦最长?

[解析] 则 L=2

解法一:设所截得的弦长为 L, 9 16- 2 . k +1

显然,当 k=0 时,Lmin=2 7; 不论 k 取何值,L 均无最大值,故弦长取不到最大值. 解法二:直线 l 过定点 P(0,3),由平面几何知识知:当 直线 l⊥OP 时,l 被⊙O 截得的弦最短,此时,k=0,最短 弦长为 2 16-9=2 7. 由于当且仅当直线 l 过圆心时,被圆 O 截得的弦(直径) 最长,但此时,直线 l 的斜率不存在,故不存在 k 的值,使 直线 l 被圆 O 截得的弦最长.

? [点评] 注意题目的隐含条件,数形结合是 解决此类问题的捷径.

? (2010·曲师大附中高一期末检测)求过点 M(-3,3)且被圆x2+y2+4y-21=0所截得的 弦长为8的直线方程.

? [解析]∵圆x2 +y2 +4y-21=0的圆心坐标 为 (0 , - 2) , 半 径 r = 5 , 要 使 直 线 过 点 M(-3,3)且被圆x2 +y2 +4y-21=0所截得 的弦长为8,则圆心到直线的距离应等于3. ? 当斜率不存在时,过点M的直线方程为x= -3,满足题意; ? 当斜率存在时,设斜率为k,则过点M的直 线方程为y-3=k(x+3),即kx-y+3+3k =0.

? 故直线方程为8x+15y+21=0. ? 综上所述,过点M的直线方程为: ? 8x+15y+21=0或x=-3.

? [例3] 求经过点(0,6)且与圆C:x2 +y2 + 10x+10y=0相切于原点的圆方程. ? [解析]解法一:将圆C化为标准方程,得(x +5)2 +(y+5)2 =50,则圆心为(-5,- 5). ? ∴经过此圆心和原点的直线方程为x-y= 0. ? 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.

?(0-a)2+(0-b)2=r2 ? 2 2 2 由题意,得?(0-a) +(6-b) =r ?a-b=0 ? ?a=3 ? 解得?b=3 ?r=3 2 ?



.

故所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.

解法二:由题意,所求圆经过点(0,0)和(0,6),∴圆心一 定在直线 y=3 上,又由解法一,知圆心在直线 x-y=0 上,
?x-y=0 ? 由? ?y=3 ?

,得圆心为(3,3).

∴半径 r= 32+32=3 2, 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=18.

? 求与圆C1:(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4, -1),且半径为1的圆C2的方程.

? [解析]解法一:由圆C1 :(x-2)2 +(y+1)2 =4,知圆心为C1(2,-1), ? 则过点A(4,-1)和圆心C1(2,-1)的直线 的方程为y=-1, ? 设所求圆的圆心坐标为C2(x0,-1), ? 由|AC2|=1,即|x0-4|=1, ? 得x0=3,或x0=5, ? ∴所求圆的方程为(x-5)2 +(y+1)2 =1, 或(x-3)2+(y+1)2=1.

解法二:设所求圆的圆心为 C2(a,b), ∴ (a-4)2+(b+1)2=1,① 若两圆外切,则有 (a-2)2+(b+1)2=1+2=3,② 联立①、②解得 a=5,b=-1, ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1; 若两圆内切,则有 (a-2)2+(b+1)2=2-1=1,③ 联立①、③解得 a=3,b=-1,

? ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. ? ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1,或 (x-3)2+(y+1)2=1.

? “数形结合”是把代数中的“数”与几何 中的“形”结合起来认识问题、理解问题 并解决问题的思维方法,是人们的一种普 遍思维习惯在数学中的具体表现.数形结 合一般包括两个方面,即以“形”助 “数”,以“数”解“形”.解析几何研 究问题中的主要方法——坐标法,就是体现 数形结合思想的典范.

? [例4] 当a≥0时,方程x+a=a|x|有两解, 则a的取值范围是 ? ( ) ? A.a>0 B.a>1 ? C.0<a<1 D.0<a<1或a>1

? [解析] 本题考查数形结合的思想方法, 令y=x+a,y=a|x|,则直线y=x+a是斜 率为1,纵截距为a的直线.曲线y=a|x|, 当x≥0时,y=ax,这是一条斜率为a的射 线;当x≤0时,y=-ax是一条斜率为-a 的射线. ? 显然,当a>1时,y=x+a与y=ax(x≥0),y =-ax(x≤0)都相交,即直线y=x+a与y= a|x|有两个交点.如图(1).

? 当0<a≤1时,y=x+a与射线y=-ax(x≤0) 相交于一点,而与射线y=ax(x≥0)不相交, 故直线y=x+a与曲线y=a|x|只有一个交点, 如图(2). ? 当a=0时,直线y=x与直线y=0相交于原 点. ? 当a<0时,无交点. ? [答案] B ? [点评] 若直接解方程,过程会比较繁琐, 因此把方程解的问题转化为曲线交点问题, 体现了从数到形的变化.

[解析]

原函数可化为

y= (x-1)2+(0-1)2+ (x-2)2+(0-3)2, 设 A(1,1),B(2,3),易知 A,B 在 x 轴同侧, 点 B(2,3)关于 x 轴对称点 B′(2,-3),如图所示,连接 y-1 x-1 AB′,交 x 轴于点 P(x,0),由于 AB′方程为 = , -3-1 2-1 5 即 4x+y-5=0.令 y=0,得 x=4, |AB′|= (2-1)2+(-3-1)2= 17, ∴点
?5 ? P?4,0?,故当 ? ?

5 x= 时函数取最小值 17. 4

? 解析几何中的最值问题是人们工作和生活追求的目标, 最值问题是各部分内容、各个章节的最重要的题型之 一.本章研究直线与圆中的最值,常用联立方程组,用

二次函数的值域及判别式Δ来解决.
? [例5] ? [分析] 求经过直线x=-2与已知圆x2 +y2 +2x-4y-11 过两定点的所有圆中,面积最小的圆是以这两 =0的交点的所有圆中面积最小的圆的方程. 点的连线为直径的圆,因此,只需求出交点,便可确定 所求圆的圆心和半径.

[解析]

?x=-2 ? 解法一:解方程组? 2 2 ?x +y +2x-4y-11=0 ?



得两交点的坐标为 A(-2,2+ 15)、B(-2,2- 15). 从而圆心 C 的坐标为(-2,2), 1 1? ? 半径 r=2|AB|=2?2+ 15-(2- 15)?= 15. ? ? 因此,所求圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=15.

解法二:直线 x=-2 与圆 x2+y2+2x-4y-11=0 的交 点 A、B 的横坐标都为-2,从而圆心 C 的横坐标为-2. 设 A、 的纵坐标分别为 y1、 2, B y 把直线方程代入圆方程, 整理得 y2-4y-11=0.则 y1+y2=4,y1y2=-11. y1+y2 ∴圆心 C 的纵坐标为 2 =2. 1 1 半径 r=2|y2-y1|=2 (y1+y2)2-4y1y2 1 2 = 4 -4×(-11)= 15. 2 因此,所求圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=15.

? 已知A(-2,2)、B(-3,-1),试在直线l: 2x-y-1=0上求一点P,使|PA|2+|PB|2最 小.

[解析]

设 P(x,y)为直线 l 上任意一点,

则 y=2x-1. ∴|PA|2 +|PB|2 =[(x+2)2 +(y-2)2]+[(x+3)2 +(y+1)2] = (x + 2)2 + (2x - 3)2 + (x + 3)2 + (2x)2 = 10x2 - 2x + 22 =
? 1 ?2 9 1 9 2 2 10?x-10? +2110, ∴当 x=10时, +|PB| 取最小值 2110. |PA| ? ? ?1 4? 故所求的点的坐标为?10,-5?. ? ?


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