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组 合 3 解有关组合的应用问题时,首先要认 真分析题意,以判断这个问题是不是组合 问题。组合问题与排列问题的根本区别在 于排列问题取出的元素之间与顺序有关, 即如元素相同而顺序不同,就是不同的排 列;而组合问题取出的元素之间与顺序无 关,即只要元素相同就是同一个组合 解有限制条件的组合问题的方法与排 列问题一样,主要有两种方法:1、直接 法,它包含直接分类法与直接分

步法,其 处理问题的原则是要优先处理特殊元素, 再处理其他元素,从而直接求出所要求的 组合数;2、间接法,先算出无条件的组 合数,再排除不符合题意的组合数,从而 间接地得出有附加条件地组合数 其他一些在排列问题中使用的方法同 样可以在组合问题中运用 练 习 ①从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛,共 有 种不同的选法 ② 10名学生,7人扫地,3人推车,那么不 同的分工方法有 种 ③有10道试题,从中选答8道,共有 种选 法、又若其中6道必答,共有 不同的 种选法 例1、在产品检验中,常从产品中抽出一部 分进行检查.现有100件产品,其中3件次品, 97件正品.要抽出5件进行检查,根据下列各 种要求,各有多少种不同的抽法? (1)无任何限制条件; (4)至少有1件次品; (5)至多有2件次品; (2)全是正品; (3)只有2件正品; (6)次品最多. 小结:先据成给条件确定是否是组合问题,然 后用计数原理正确分类(或分步);至多至少 问题常用分类或排除法 例2、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋 中,从中任意抽取4只,试求各有多少种情 况出现如下结果 (2) 4只鞋子恰好成双; (1)4只鞋子没有成双; (3) 4只鞋子有2只成双,另2只不成双 小结:①解条件限制下的问题与排列问题类似有 二种常用方法,即直接法与间接法;②分类时通 常考虑某些元素不选进或必须选进. 例3、f是集合M={a,b,c,d}到N{0,1,2}的映 射,且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映 射有多少个? 解:根据a,b,c,d对应的象为2的个数分类,可分为三类: 第一类,没有一个元素的象为2,其和又为4, 则集合M所有元素的象都为1,这样的映射只有1个 第二类,有一个元素的象为2,其和又为4, 则其余3个元素的象为0,1,1,这样的映射有 C41C3 1C22个 第三类,有两个元素的象为2,其和又为4,则 其余2个元素的象必为0,这样的映射有C42C22个 根据加法原理共有 1+ C41C3 1C22 +C42 C22=19个 例4、将7只相同的小球全部放入4个不同盒 子,每盒至少1球的方法有多少种? 隔板法:待分元素相同,去处不同,每处 至少一个 练习:某中学从高中7个班中选出12名学生 组成校代表队,参加市中学数学应用题竞 赛活动,使代表中每班至少有1人参加的选 法有多少种? 例5、房间里有5只电灯,分别由5个开关 控制,至少开一个灯用以照明,有多少种 不同的方法? 例6、四个不同的小球放入编号为1,2,3, 4的四个盒子中,则恰有一个空盒的方法 共有多少种? 选排问题先取后排。对于排列组合的混合 应用题,一般解法是先取(组合)后排(排列) 例7、由12个人组成的课外文娱小组,其 中5个人只会跳舞,5个人只会唱歌,2个 人既会跳舞又会唱歌,若从中选出4个会 跳舞和4个会唱歌的人去排演节目,共有 多少种不同选法? 作 课本 P25 业 习题 1.3 7 、 8、 9 制作人

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