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一元二次不等式解法


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一元二次不等式解法




科目


数学 刘美姣 班主任 课时 戴鑫 2 小时

高一

辅导老师

/>通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力,渗透数形结合思想,提高运算(变形)能力,渗透 由具体到抽象思想 一元二次不等式解法 一.复习回顾 1.|x|>a 及|x|<a(a>0)型不等式解法. 2.|ax+b|<c 及|ax+b|>c(c>0)解的结果. 3.绝对值符号去掉的依据是什么? 二.讲授新课 1.“三个一次”关系 在初中我们学习了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数.它们之间具有什么关系呢? 我们共同来看下面问题: y=2x-7 其部分对应值表

x y
图象:

2 -3

2.5 -2

3 -1

3.5 0

4 1

4.5 2

5 3

教案

填表: 当 x=3.5 时,y=0,即 2x-7=0 当 x<3.5 时,y<0,得 2x-7<0 当 x>3.5 时,y>0,得 2x-7>0 注:(1)引导学生由图象得结论.(数形结合),(2)由学生填空. 从上例的特殊情形,可得到什么样的一般结论? 教师引导下让学生发现其结论. 一般地,设直线 y=ax+b 与 x 轴的交点是(x0,0)就有如下结果. 一元一次方程 ax+b=0 的解集是{x|x=x0} 一元一次不等式 ax+b>0(<0)解集 (1)当 a>0 时,一元一次不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>x0},一元 一次不等式 ax+b<0 的解集是 {x|x<x0}. (2)当 a<0 时,一元一次不等式 ax+b>0 的解集是{x|x<x0};一元 一次不等式 ax+b<0 的解集是{x|x>x0}. 2.“三个二次”的关系 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间关系. 从下面特例寻求“三个二次”关系. 2 举例:y=x -x-6,对应值表

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

图象: 2 方程 x -x-6=0 的解 x=-2 或 x=3 2 不等式 x -x-6>0 的解集{x|x<-2 或 x>3} 2 不等式 x -x-6<0 的解集{x|-2<x<3} 结合函数的对应值表,可以确定函数的图象,与 x 轴交点的 2 坐标,进而确定对应的一元二次方程 x -x-6=0 的根. 2 2 要确定一元二次不等式 x -x-6>0 与 x -x-6<0 的解集,那么就要在一元二次方程根的基础 上结合图象完成. 2 我们仿“三个一次”关系,y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴相关位置,情形如下: y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴相关位置,分三种情况:

以上三种情况,从图象我们可以发现其与Δ 有关. 2 2 由一元二次方程 ax +bx+c=0 的判别式Δ =b -4ac 的三种情况(Δ >0,Δ =0,Δ <0)来确 定. 要分三种情况讨论,以寻 求对应的一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0 的解集.

思考,若 a<0,则一元二次不等式 ax +bx+c>0 及 ax +bx+c<0 其解集如何,课后仿上表给 出结果. 3.例题解析 2 [例 1]解不等式 2x -3x-2>0 解析:由“三个二次”关系,相应得到所求解集. 2 解:由 2x -3x-2=0 知Δ =9+16>0,a=2>0 1 2 2x -3x-2=0 的解集为{x|x1=- 或 x2=2} 2 1 2 ∴2x -3x-2>0 的解集为{x|x<- 或 x>2} 2 由例 1 解题过程可知,问题要顺利求解,应先考虑对应方程的判别式及二次项系数是否大于零, 然后按照不等式解集情况求得原不等式的解集. 2 [例 2]解不等式-3x +6x>2. 2 解析:通过观察-3x +6x>2 与表格中不等式形式比较可发现,它们不同地方在于二次项系数. 故首先将其变形为二次项系数大于零情形,转化为熟知类型,然后求解. 2 2 解:原不等式-3x +6x>2 变形为 3x -6x+2<0

2

2

3x -6x+2=0 对应的Δ =36-24>0,3>0 方程 3x -6x+2=0 解得:x1=1- 所以原不等式的解集是{x|1-
2 2

2

3 3 ,x2=1+ 3 3

3 3 <x<1+ } 3 3

[例 3]解不等式 4x -4x+1>0 解析:因 4>0 解法同例 1 2 解:因 4x -4x+1=0 对应的Δ =16-16=0 1 2 则方程 4x -4x+1=0 的解是 x1=x2= 2 1 所以,原不等式的解集是{x|x≠ } 2 [例 4]解不等式-x +2x-3>0. 2 解:将原不等式变形为:x -2x+3<0 2 因 x -2x+3=0 对应Δ =4-12<0 2 故 x -2x+3=0 无实数解,即其解集为 ? 那么原不等式解集是 ? 上述几例每一例都有各自特点,反映在两个方面:一是二次项系数,二是判别式Δ 对于二次项 系数不大于零的要化成大于零的式子,然后求解. [例 5]若不等式
2

x2-8x+20 <0 对一切 x 恒成立,求实数 m 的范围. mx2-mx-1

解析:合理等价变形,正确分类是解决问题关键. 2 2 解:由题 x -8x+20=(x-4) +4>0 2 则原不等式等价于 mx -mx-1<0 成立 那么,①当 m=0 时,-1<0 不等式成立; ②当 m≠0 时,要使不等式成立,应有
?m<0 ? ,解之得:-4<m<0 2 ?Δ =m +4m<0

由①②可知,-4<m≤0 2 2 [例 6]设不等式 ax +bx+c>0 的解集是{x|α <x<β }(0<α <β }, 求不等式 cx +bx+a<0 的解 集.

?a<0 ?α +β =-b a 解:由题? c ?α ·β =a ?

?c1<0 1 ? + β 得:?α 1 ?α ·β1 ?

=- =

b c

a c

1 1 2 故 cx +bx+a<0 的解集是{x|x< }∪{x|x> } β α 三.课时小结 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系,给出了解一元二次不等式的方法.即解 一元二次不等式的步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应的一元二次方程,最后,根据一元二 次方程的根,结合不等号的方向,写出不等式的解集.

课后作业 教学效 果分析

作业情况:

掌握情况:


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