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平面向量的数量积习题(精品绝对好)


平面向量的数量积(20140501)作业
姓名 成绩 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2012· 辽宁)已知向量 a=(1,-1),b=(2,x),若 a· b=1,则 x 等于 A.-1 1 B.- 2 1 C. 2 ( D.1 ) )

2. (2012· 重庆)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=

(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|等于( A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 3. 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等于( 7 7? A.? ?9,3? 7 7 - ,- ? B.? 3 9? ? 7 7? C.? ?3,9? 7 7 - ,- ? D.? 9 3? ? ( 3 D. 2 ) )

→ → 4. 在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB· AC等于 3 A.- 2 2 B.- 3 2 C. 3

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. → → 6.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB· AC=________. 7. 已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是__________. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知 a=(1,2),b=(-2,n) (n>1),a 与 b 的夹角是 45° . (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c.

9. (12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的 夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

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B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) → → 1.在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC 等于 A. 3 B. 7 C.2 2 ( D. 23 ) )

2. 已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( A.-4 B.4 C.-2 D.2

|PA|2+|PB|2 3.在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 等于( |PC|2 A.2 B .4 C .5 D.10

)

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.

5.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 → → → → F 在边 CD 上,若AB· AF= 2,则AE· BF的值是________.

→ → |BM| |CN| 6.在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足 = , → → |BC| |CD| → → 则AM· AN的取值范围是________.

三、解答题 1 3 7. (13 分)设平面上有两个向量 a=(cos α,sin α) (0° ≤α<360° ),b=?- , ?.(1)求证:向量 a+b 与 a- ? 2 2? b 垂直;(2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小.

2

平面向量的数量积作业答案
姓名 成绩 A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2012· 辽宁)已知向量 a=(1,-1),b=(2,x),若 a· b=1,则 x 等于 A.-1 答案 D 解析 a· b=(1,-1)· (2,x)=2-x=1?x=1. 2. (2012· 重庆)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|等于 ( A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 答案 B 解析 ∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 由 a⊥c 得 a· c=0,即 2x-4=0,∴x=2. 由 b∥c,得 1×(-4)-2y=0,∴y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2). ∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 32+?-1?2= 10. 3. 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等于( 7 7? A.? ?9,3? 7 7? C.? ?3,9? 答案 D 解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0.② 7 7 联立①②解得 x=- ,y=- . 9 3 → → 4. 在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB· AC等于 3 A.- 2 答案 D → → → → 解析 由于AB· AC=|AB|· |AC|· cos∠BAC
3

( D.1

)

1 B.- 2

1 C. 2

)

)

7 7? B.? ?-3,-9? 7 7? D.? ?-9,-3?

( 3 D. 2

)

2 B.- 3

2 C. 3

1 → 1 3 → → = (|AB|2+|AC|2-|BC|2)= ×(9+4-10)= . 2 2 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. (2012· 课标全国)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. 答案 3 2 解析 ∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1, ∴a· b=|a|· |b|cos 45° = |2a-b|2=4-4× 2 |b|, 2

2 |b|+|b|2=10,∴|b|=3 2. 2

→ → 6. (2012· 浙江)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB· AC=________. 答案 -16 解析 如图所示, → → → AB=AM+MB, → → → AC=AM+MC → → =AM-MB, → → → → → → ∴AB· AC=(AM+MB)· (AM-MB) → → → → =AM2-MB2=|AM|2-|MB|2=9-25=-16. 7. 已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是__________. 3? 答案 (-∞,-6)∪? ?-6,2? 3 解析 由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ< ,由 a∥b 得: 2 3 6=-λ,即 λ=-6.因此 λ< ,且 λ≠-6. 2 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知 a=(1,2),b=(-2,n) (n>1),a 与 b 的夹角是 45° . (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c. 解 (1)a· b=2n-2,|a|= 5,|b|= n2+4, 2n-2 5· n +4
2

∴cos 45° =



2 ,∴3n2-16n-12=0, 2

2 ∴n=6 或 n=- (舍),∴b=(-2,6). 3 (2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5. 又 c 与 b 同向,故可设 c=λb (λ>0),(c-a)· a=0,
4

|a|2 5 1 ∴λb· a-|a|2=0,∴λ= = = , b· a 10 2 1 ∴c= b=(-1,3). 2 9. (12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的 夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 解 1 ∵e1· e2=|e1|· |e2|· cos 60° =2×1× =1, 2

∴(2te1+7e2)· (e1+te2)
2 2 =2te1 +7te2 e2 2+(2t +7)e1·

=8t+7t+2t2+7=2t2+15t+7. 1 由已知得 2t2+15t+7<0,解得-7<t<- . 2 当向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 反向时, 设 2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,
? ?2t=λ, 14 14 则? ?2t2=7?t=- 或 t= (舍). 2 2 ?λt=7 ?

故 t 的取值范围为(-7,-

14 14 1 )∪(- ,- ). 2 2 2 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) → → 1. (2012· 湖南)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC 等于 A. 3 答案 A → → 解析 ∵AB· BC=1,且 AB=2, → → → → ∴1=|AB||BC|cos(π-B),∴|AB||BC|cos B=-1. 在△ABC 中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B, 即 9=4+|BC|2-2×(-1). ∴|BC|= 3. 2. 已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( A.-4 B.4 C.-2 D.2 答案 A 解析 a· b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投影的乘积,得 a· b=|b||a|· cos〈a,b〉 ,即-12= 3|a|· cos〈a,b〉 , ∴|a|· cos〈a,b〉=-4.
5

(

)

B. 7

C.2 2

D. 23

)

|PA|2+|PB|2 3. (2012· 江西)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 等 |PC|2 于 A.2 答案 D → → → → → → → →2 解析 ∵PA=CA-CP,∴|PA|2=CA2-2CP· CA+CP . → → → → → → → →2 ∵PB=CB-CP,∴|PB|2=CB2-2CP· CB+CP . → → ∴|PA|2+|PB|2 → → → → → → =(CA2+CB2)-2CP· (CA+CB)+2CP2 → → → → =AB2-2CP· 2CD+2CP2. → → → → 又AB2=16CP2,CD=2CP, → → → 代入上式整理得|PA|2+|PB|2=10|CP|2,故所求值为 10. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. (2012· 安徽)设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________. 答案 2 B .4 C .5 ( ) D.10

解析 利用向量数量积的坐标运算求解. a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3=0, 1 ∴m=- .∴a=(1,-1),∴|a|= 2. 2 5. (2012· 江苏)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 → → → → F 在边 CD 上,若AB· AF= 2,则AE· BF的值是________. 答案 2

解析 方法一 坐标法. 以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B( 2,0),E( 2, 1),F(x,2). → → → → 故AB=( 2,0),AF=(x,2),AE=( 2,1),BF=(x- 2,2), → → ∴AB· AF=( 2,0)· (x,2)= 2x. → → → 又AB· AF= 2,∴x=1.∴BF=(1- 2,2). → → ∴AE· BF=( 2,1)· (1- 2,2)= 2-2+2= 2. → → → → 方法二 用AB,BC表示AE,BF是关键. → → → → 设DF=xAB,则CF=(x-1)AB.
6

→ → → → → AB· AF=AB· (AD+DF) → → → → =AB· (AD+xAB)=xAB2=2x, → → 又∵AB· AF= 2,∴2x= 2, ∴x= 2 → → → → ? 2 ?→ .∴BF=BC+CF=BC+ AB. 2 ? 2 -1?

→ → → → ?→ ? 2 →? ?AB ∴AE· BF=(AB+BE)· BC+ ? ? 2 -1? ? → 1 → ?? → ? 2 ? → ? =? ?AB+2BC??BC+? 2 -1?AB? =? =? 2 ?→2 1→2 AB + BC 2 ? 2 -1? 1 2 ? ×2+ ×4= 2. 2 ? 2 -1?

6. (2012· 上海)在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且 → → |BM| |CN| → → 满足 = ,则AM· AN的取值范围是________. → → |BC| |CD| 答案 [1,4] → → → → 解析 利用基向量法,把AM,AN都用AB,AD表示,再求数量积. 如图所示, 设 → → |BM| |CN| = → → |BC| |CD|

→ → =λ(0≤λ≤1),则BM=λBC, → → → → → CN=λCD,DN=CN-CD → =(λ-1)CD, → → → → → → ∴AM· AN=(AB+BM)· (AD+DN) → → → → =(AB+λBC)· [AD+(λ-1)CD] → → → → =(λ-1)AB· CD+λBC· AD =4(1-λ)+λ=4-3λ, → → ∴当 λ=0 时,AM· AN取得最大值 4; → → 当 λ=1 时,AM· AN取得最小值 1. → → ∴AM· AN∈[1,4]. 三、解答题

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1 3 7. (13 分)设平面上有两个向量 a=(cos α,sin α) (0° ≤α<360° ),b=?- , ?. ? 2 2? (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小. (1)证明 ∵(a+b)· (a-b)=a2-b2 1 3? =|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-? ?4+4?=0, 故向量 a+b 与 a-b 垂直. (2)解 由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得 3|a|2+2 3a· b+|b|2=|a|2-2 3a· b+3|b|2, 所以 2(|a|2-|b|2)+4 3a· b=0,而|a|=|b|, 1? 3 所以 a· b=0,即? cos α+ · sin α=0, ?-2?· 2 即 cos(α+60° )=0,∴α+60° =k· 180° +90° , k∈Z, 即 α=k· 180° +30° ,k∈Z, 又 0° ≤α<360° ,则 α=30° 或 α=210° .

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