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高中数学竞赛培训专题讲座:数学归纳法


高中数学竞赛培训专题讲座: 数学归纳法
数学归纳法是初等数论的基础,它刻画了整数的基本性质.虽然数学界仍然有一些数学 家不认可数学归纳法, 但是它在初等数论, 组合数学, 图论, 离散数学的研究中被广泛运用, 它在中学数学竞赛中的地位更是不言而喻, 凡是遇到和自然数有关的命题都要考虑数学归纳 法. 本讲我们主要介绍第一数学归纳法,第二数学归纳法,最小自然数原理,最大自然

数原 理以及它们的一些简单应用.这一部分内容大家可以参看《漫话数学归纳法》(苏淳著,中 国科技大学出版社),《数学奥林匹克小丛书.数学归纳法的证题方法与技巧》(华东师范 大学出版社),《命题人讲座:数列与数学归纳法》(单墫著,上海科技教育出版社). 一:基础知识 数学归纳法的基本形式 1. 第一数学归纳法:设 P (n) 是关于正整数 n 的命题,如果 ① P(1) 成立(奠基步); ② 假设 P ( k ) ( k 为任意正整数) 成立,可以推出 P(k ? 1) 成立(归纳递推步), 那么, P (n) 对一切正整数 n 都成立. 注 1:如果 P (n) 定义在 N 上,则 ① 中 “ P(1) 成立”应由 “ P (0) 成立”取代. 注 2: 第一数学归纳法有如下变化形式: 跳跃数学归纳法:设 P (n) 是关于正整数 n 的命题,如果 ① P(1) , P (2) ,…, P(l ) 成立(奠基步); ② 假设 P ( k ) 成立,可以推出 P(k ? l ) 成立(归纳递推步), 那么, P (n) 对一切正整数 n 都成立. 2. 第二数学归纳法:设 P (n) 是关于正整数 n 的命题,如果 ① P(1) 成立(奠基步); ② 假设 n ? k ( k 为任意正整数)时 P (n) ( 1 ? n ? k )成立,可以推出 P(k ? 1) 成立 (归纳递推步), 那么, P (n) 对一切正整数 n 都成立.

二:例题选讲 1. 证明:(1) 对一切正整数 n , 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

? ... ? 1 2
2

1 n
2

? 2 .( 用数学归纳法证明 ) 1 n
2

(2 ) 证明:对一切正整数 n , 1 ?

?

1 3
2

? ... ?

? 2?

1 . n

2. 已知 ?ABC 的三边长都是有理数. (1)求证: cos A 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n , cos nA 是有理数. (2010 江苏省高考试题)

3. 设 n ? 5 ,证明:每一个正方形可以分为 n 个正方形.

4. 设正数 p1, p 2, p3,..., p n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ... ? p n ? 1 .
2 2

证明: p1log2 p1 ? p2log2 p2 ? p3log2 p3 ? ... ? p n log2 p n ? ?n .
2 2

(北京市高考数学试题)

5. 设实数 a1, a 2,..., a n 中任意两个的和非负,证明:对任意满足 x1 ? x 2 ? ... ? x n ? 1
2 2 的非负实数 x1, x 2,..., x n, 有 a1 x1 ? a 2 x 2 ? ... ? a n x n ? a1 x1 ? a2 x2 ? ... ? a n x 2 n 成立.

(第一届 CMO 试题)

6. 设 xi ? 0(i ? 1, 2,..., n),

n ?xi ? 1 . 求证: ?( 2 ? xi ) ? ( 2 ? 1) . i ?1 i ?1

n

n

(2014 年北约自主招生试题)

7. 数列 ?an ? 满足 a1 ?

a2 1 , an?1 ? 2 n (n ? 1,2,?) . 3 an ? an ? 1

求证:

1 1 1 1 ? 2n ?1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2n . 2 3 2 3

(2010 年全国高中数学联赛 B 卷二试试题)

8. 已知实数列 {a n} 满足 a i ? j ? a i ? a j , i, j ? N . 证明:对任意 n ? N ,都有 a1 ?

a2 a3 a ? ? ... ? n ? a n . 2 3 n

( 9. 已知数列 {a n} 满足 a 0 ? 2, a1 ? 10, a n ? 2 ? 6a n ?1 ? a n n? N)
求证: a n 可以写成两个整数的平方和.

10. ( Euler 问题) 证明:对任何自然数 n ? 3 ,数字 2n 都可以表示成 2n ? 7 x 2 ? y 的形式,其中 x, y 都是奇数.
2

11.



k

是 给 定 的 正 整 数 , r?k?

1 . 记 f( 1 ( )r? ) 2

f (? r )? ? ? ? r, r

f (l ) (r ) ? f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 .( ? ? x? ? 表示不小于实数 x 的最小整数.)
证明:存在正整数 m,使得 f ( m) (r ) 为一个整数.(2010 年全国高中数学联赛试题)

12. 凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三角形.将 每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.在上 述分割并涂色的所有情形中, 红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少? 证明你的结论.(2014 年全国高中数学联赛江苏省初赛试题)

三:思考题 1. 求证:对任何正整数 n ,方程 x 2 ? y ? z n 都有正整数解.
2

2. 设 f ( n) 定义在正整数集上, 且满足 f (1) ? 2, f (n ? 1) ? ( f (n)) ? f (n) ? 1(n ? N ?).
2

求证:对所有正整数 n ? 1 , 1 ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 1? n . n ?1 f (1) f (2) f (n) 22 22

2 2 2 3. 设 {a n} 都是正实数列,且存在正的常数 c ,使得对所有 n , a1 ? a2 2 ? ... ? a n ? ca n ?1.

证明:存在常数 b ,使得对所有 n , a1 ? a 2 ? ... ? a n ? ba n ?1.

4. ( I ) 设 a1 ? 0, a2 ? 0, b1 , b2 为正有理数,若 b1 ? b2 ? 1, 则 a11 a22 ? a1b1 ? a2b2 ;
b b

(II) 请将( I )中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题. (2012 湖北省高考数学试题)

5. 证 明 : 存 在 正 整 数 的 无 穷 数 列 {a n} : a1 ? a 2 ? a 3 ? ..., 使 得 对 所 有 自 然 数 n ,
2 2 2 a1 ? a 2 ? ... ? a n 都是完全平方数.

6. 证明:(1)对任何给定的自然数 n 和实数 x ,都有

1 2 n ?1 [ x] ? [ x ? ] ? [ x ? ] ? .... ? [ x ? ] ? [nx] . n n n

( [ x ] 表示不超过 x 的最大整数. ) (2) 对任何给定的自然数 n 和正实数 x ,都有

[ x] ?

[2 x] [nx] ? .... ? ? [nx]. ( [ x ] 表示不超过 x 的最大整数. ) 2 n

7. 设 a1, a 2,..., a n 为正数,且 ? a j ? 1 ,又 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ...? n.
j ?1

n

证明: ( ? ? j a j ) ? ( ?
j ?1

n

( ) ) ? ? 1?? n . j ?1 ? 4? 1? n j
n

aj

2

8. 设 M ? 2 1 ? 2 2 ? ... ? 2 s , n1 , n2 ,..., ns 是互不相同的正整数,
n n n

求证:2 ? 2

n1 2

n2 2

? ... ? 2 ? 1 ? 2

ns 2

?

?

M .(2008 年全国高中数学联赛江苏省复赛试题)


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