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宁夏回族自治区银川一中2016届高三上学期第四次月考数学(理)试题 Word版含答案


银川一中 2016 届高三年级第四次月考

数 学 试 卷(理)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 U ? ?y | y ? log2 x , x ? 1? ,P= ? y | y ?
? ? 1 ? , x ? 2? ,则 C U P ? x ?

A. ? ,? ? ?
?

?1 ?2

?

B. ? 0, ?
?

?

1? 2?

C. ?0,? ??

D. ?? ? ,0? ? ? ,? ??
?

?1 ?2

?

2.命题“若 x2+y2=0,x、y∈R,则 x=y=0”的逆否命题是 A.若 x≠y≠0,x、y∈R,则 x2+y2=0 C.若 x≠0 且 y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0 B.若 x=y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0 D.若 x≠0 或 y≠0,x、y∈R,则 x2+y2≠0

3. 在△ABC 中,M 是 BC 的中点, AM=1,点 P 在 AM 上且满足学 AP ? 2 PM ,则 PA ? ( PB ? PC ) 等于 A. ?
4 9 4 3 4 3 4 9

B. ?

C.

D.

4.设双曲线 为 A.
5 4

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 只有一个公共点,则双曲线的离心率 a 2 b2

B. 5

C.

5 2

D. 5

5.将函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移 是 A. y ? cos 2 x 6.函数 f ( x ) ? ? A.3

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图像的函数解析式 4
? ?

B. y ? 2 cos2 x

C. y ? 1 ? sin? 2 x ?

??
? 4?

D. y ? 2 sin2 x

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ? 2 ? ln x , x ? 0

的零点个数为 C.1
? ?

B.2

D.0
??
? ,则 y ? f ( x ) 在 ?0, ? ? 上 6?

7.若函数 y ? f ? x ? 的导函数为 y ? f ?? x ? ,且 f ' ( x ) ? 2 cos? 2 x ? 的单调增区间为 A. ? 0,
? ?

??
6? ?

B. ?

? 2? ? ,? ? ? 3 ?

C. ? 0,
?

?

??

?? ? 和 ? ,? ? ? 6? ?3 ?

D. ? 0,
?

?

??

? 2? ? 和 ? ,? ? ? 6? ? 3 ?

?x ? y ? 4 ? 0 x ? y ? 11 ? 8.如果实数 x、y 满足关系 ? x ? y ? 0 ,则 的取值范围是 x?5 ?4 x ? y ? 4 ? 0 ?

A.[3,4]

B. [2,3]

C. ? , ? 5 4
? ?

?7 7?

D. ? , ? 5 3
? ?

?7 7?

9.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? ln ?1 ? A. 2 ? ln n B. 2 ? ? n ?1? ln n

? ?

1? ? ,则 a n = n?
C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

10.已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) = f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时其导函数

f ?( x ) 满足 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若 2 ? a ? 4 则
A. f (2a ) ? f (3) ? f (log2 a) C. f (log2 a) ? f (3) ? f (2a ) B. f (3) ? f (log2 a) ? f (2a ) D. f (log2 a) ? f (2a ) ? f (3)

11.已知集合 M={ ( x, y )| y ? f ( x ) },若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M , 使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={ ( x, y )| y ?

1 }; x

②M={ ( x, y )| y ? sin x ? 1 };
x

③M={ ( x, y )| y ? log 2 x }; ④M={ ( x, y )| y ? e ? 2 }. 其中是“垂直对点集”的序号是 A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 12.已知 a ? 1 ,函数 f ( x ) ? loga ( x ? 1) , g( x ) ? 2 loga (2 x ? t ) ,当 x ? ?? 1,1? , t ? ?4,6? 时, 存在 x,t 使得 g( x ) ? f ( x ) ? 4 成立,则 a 的最小值为 A.4 B.3 C.2 D.1

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.点 M 是圆 x2+y2=4 上的动点,点 N 与点 M 关于点 A(1,1)对称,则点 N 的轨迹方程 是 .

14.设函数 f(x)=log3(9x)· log3(3x),

1 ≤x≤9,则 f(x)的最小值为 9

.

15.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的动弦 AB 的长为 a (a ? 2 p ) ,则弦 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距 离为_______________。 16.对于实数 a, b ,定义运算“ ? ”: a ? b ? ?

?a 2 ? ab, a ? b
2 ?b ? ab, a ? b

,设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,

且关于 x 的方程为 f ( x ) ? m( m ? R ) 恰有三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 x 2 x 3 的取值范围是_____。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

? 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos2 x ? m 在区间 [0, ] 上的最大值为 2. 2
(1)求常数 m 的值; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边是 a、b、c,若 f ( A) ? 1, sin B ? 3 sinC , △ABC 面积为
3 3 .求边长 a. 4

18. (本小题满分 12 分) 等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1, 且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求 + +…+S . S1 S2 n 19.(本小题满分 12 分).
? 已知过抛物线 y ? ? px( p ? ?) 的焦点,斜率为 ? ? 的直线交抛物线于 A( x , y) ? , ?

B( x ? ? , y ? ) (x ?

x ) AB ? 18. ?两点,且

(1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ? OB , ,求 ? 的值. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系, a 2 b2

直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与以原点为圆心,以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M 是椭圆的上顶点,过点 M 分别作直线 MA、MB 交椭圆于 A、B 两点,设两直 线的斜率分别为 k1、k2,且 k1+k2=4,证明:直线 AB 过定点( ? 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

1 ,-l). 2

1 3 mx ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3
3 的对称点在 y ? f ( x) 的图 2

(1)若函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P, 且点 P 关于直线 x ? 象上,求 m 的值;

(2)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x ? 1) ,讨论 F ( x) 的单调性; (3)在(1)的条件下,设 G ( x) ? ?

? f ( x), x ? 2 ,曲线 y ? G ( x) 上是否存在两点 P、Q, ? g ( x), x ? 2

使△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存在, 求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 △ ABC 中, AB ? AC ,D 是 △ ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A、C 重合) ,延长 BD 至 E. (1)求证:AD 的延长线平分 ? CDE; (2)若 ?BAC ? 30° , △ ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 , 求 △ ABC 外接圆的面积. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐 标方程为 ? cos ? ? ? B C A D E

? ?

π? ? ? 1 ,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. 3?

(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | . (1)若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ≥ 3 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) ≥ 2 ,求 a 的取值范围.

银川一中 2016 届高三年级第四次月考数学(理)答案
一、选择题 1 题号 A 答案


2 D


3 A

4 D 14.-

5 B

6 B

7 D

8 D

9 A

10 C

11 D

12 C

1? 3 1 a p ,0) 15. ? 16. ( 2 2 16 4 17.解: (1) f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos 2 x ? m
13.(x-2) +(y-2) =4

? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? m

? 2(sin 2 x ?

? 2sin(2 x ? ) ? m ? 1 6 ? ?? ? ? ? 7? ? ∵ x ? ? 0, ? ∴ 2x ? ? ? , 6 ?6 6 ? ? ? 2? ?? ? ? ? ? 7? ? ∵ 函数 y ? sin t 在区间 ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数 ?6 2? ?2 6 ?
∴当 2 x ?

?

3 1 ? cos 2 x ? ) ? m ? 1 2 2

?
6

?

?
2

即x?

?
6

时,函数 f ( x) 在区间 ? 0,

此时, f ( x) max ? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1

?

? ?? 上取到最大值. ? 2? ?

6

(2)∵ f ( A) ? 1 ∴ sin(2 A ?

∴ 2sin(2 A ?

?
6

) ?1

1 ? ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? 6 2 3 a b c ∵ sin B ? 3sin C , ? ? sin A sin B sin C ∴ b ? 3c ① 3 3 1 1 ? 3 3 ∵ ?ABC 面积为 ∴ S ?ABC ? bc sin A ? bc sin ? 4 2 2 3 4 即 bc ? 3 …② 由①和②解得 b ? 3, c ? 1 )?
∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? cos

?

?
3

∴ a? 7 18.解:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数, - an=3+(n-1)d,bn=qn 1. ?d ? ? 6 , ? ? S2 b2 ? (6 ? d )q ? 64, 5 ? 依题意有 ? 解得 ? d ? 2 或 ? 2 ( 舍去 ) ? ? S b ? (9 ? 3 d ) q ? 960, ? ? 3 3 40 ?q ? 8 ? q? . ? ? 3 - 故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1. 1 1 1 (2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以 + +…+S S1 S2 n

1 1 1 1 + + +…+ 1× 3 2× 4 3× 5 n(n+2) 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - + - +…+n- ) 2 3 2 4 3 5 n+2 1 1 1 1 = (1+ - - ) 2 2 n+1 n+2 2n+3 3 = - . 4 2(n+1)(n+2) =

p ) ,与 y 2 ? 2 px 联立, 2 5 p 2 2 从而有 4 x ? 5 px ? p ? 0, 所以 x1 ? x2 ? 4 由抛物线定义得 AB ? x1 ? x2 ? p ? 18, ? p ? 8.
19.解: (1)直线 AB 的方程是 y ? 2 2( x ? 从而抛物线方程为 y ? 16x …
2
2 2 (2)由 p ? 8 ,可得 x ? 10 x ? 16 ? 0 ,从而 x1 ? 2, x2 ? 8, 代入 y ? 16x 得

y1 ? ?4 2 , y2 ? 8 2 , 从而 A(2,?4 2 ), B(8,8 2 ) 分
设 OC ? ( x 3 , y 3 ) ? OA ? ? OB ? ( 2,?4 2 ) ? ? (8,8 2 ) ? (8? ? 2,8 2? ? 4 2 ) ,
2 又 y3 ? 16x 3 即 (2? ?1) ? 4? ? 1 .…

2

解得 ? ? 0, 或? ? 2. …………………

A,B,C,D 2 20、解(I)?等轴双曲线离心率为

21.(1)令 ln( x - 1) = 0 ,则 x = 2 ,

\ P (2,0) 关于 x =

3 的对称点为(1,0) , 2

1 m + (4 + m) = 0, \ m = - 3 . 3 (2) F ( x) = mx 2 + 2(4 + m) x + 8ln x ,定义域为 (0, + ?∞) , 8 F (( xx )) = 2mx + (8 + 2m) + F' ? x 2 2mx + (8 + 2m) x + 8 = x (2mx + 8)( x + 1) . = x Q ∵x > 0, 则 x + 1 > 0 , ( ∴当 m ? 0 时, 2mx + 8 > 0, F 此时 F ( x ) 在 ?0,? ?? 上单调递增, F'? (x x))>0, > 0, 4 ? F '( ? 0得0 < x < 当 m < 0 时,由 F ( xx ))> , m
由题知 f (1) = 0, \
4 m 4? ? 此时 F ( x ) 在 ? 0,? ? 上为增函数, m? ?

由 F ' ( x) ? 0 得 x ? ?

在??
?

?

综上当 m ? 0 时, F ( x ) 在 ?0,? ?? 上为增函数,

4 ? ,? ?? 为减函数, m ? ? ?

m < 0 时,在 ? 0,?

4? ? 4 ? ? 上为增函数,在 ? ? ,? ?? 为减函数. m? ? m ?

(3)由条件(1)知 G( x ) ? ?

?? x 3 ? x 2 , x ? 2 ?a ln( x ? 1), x ? 2

.

假设曲线 y = G ( x ) 上存在两点 P 、 Q 满足题意,则 P 、 Q 两点只能在 y 轴两侧,
3 2 设 P(t , G (t ))(t > 0), 则 Q (- t , t + t ),

∵△POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, ∴ 即 OP ?? OQ ? 0, \ OP OQ 0, \ - t 2 + G(t )(t 3 + t 2 ) = 0 .① (1)当 0 ? t ? 2 时, 此时方程①为 - t + (- t + t )(t + t ) = 0, 化简得 t - t + 1 = 0 . 此方程无解,满足条件的 P 、 Q 两点不存在.
2 3 2 (2)当 t > 2 时, G (t ) = a ln(t - 1) ,方程①为 - t + a ln(t - 1)(t + t ) = 0,
4 2

uur uuu r

\ G (t ) = - t 3 + t 2 ,

2

3

2

3

2



1 = (t + 1)ln(t - 1), a
t+ 1 , t- 1

(tt) )? = ln(t - 1) + 设 h(t ) = (t + 1)ln(t - 1)(t > 1), 则 h'?
显然当 t > 2 时 h' ( t ) ? 0 即 h( t ) 在(2,+∞)为增函数,

∴ \ h(t ) 的值域为 ( h( 2),? ?) 即(0,+∞) ∴当 a > 0 时方程①总有解. 综上若存在 P 、 Q 两点满足题意,则 a 的取值范围是(0,+∞). 22.解: (Ⅰ)如图,设 F 为 AD 延长线上一点, A E F C

O B H

D

? A,B,C,D 四点共圆,??CDF ? ?ABC . ??ABC ? ?ACB , 又 AB ? AC, ??ADB ? ?CDF . 且 ?ADB ? ?ACB, 对顶角 ?EDF ? ?ADB ,故 ?EDF ? ?CDF . 即 AD 的延长线平分 ?CDE . (Ⅱ)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH ⊥ BC . ,?ACB ? 75° , ??OCH ? 60° . 连接 OC .由题意 ?OAC ? ?OCA ? 15°

3 r ? 2 ? 3 ,得 r ? 2 ,外接圆面积为 4 π . 2 ?1 ? 3 π? ? sin ? 23.答案:解: (Ⅰ)由 ? cos ? ? ? ? ? 1 得 ? ? cos ? ? ? ?2 ? ? 1. 2 3? ? ? ?
设圆半径为 r ,则 r ? 从而 C 的直角坐标方程为

1 3 x? y ? 1 ,即 x ? 3 y ? 2 . 2 2
?2 3 π? 2 3 π 时, ? ? ,所以 N ? ?. ? 3 , 2? 3 2 ? ? ? ? ? 2 3? ?. 3 ? ?

? ? 0 时, ? ? 2 ,所以 M (2, 0) . ? ?

(Ⅱ) M 点的直角坐标为(2,0) , N 点的直角坐标为 ? 0, 所以 P 点的直角坐标为 ? 1, ? ,则 P 点的极坐标为 ? ? ? ?

? ?

3? 3 ?

?2 3 π? ,? ?. ? 3 6?

π ,? ? (??, ? ?) . 6 24.答案:解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| . 由 f ( x) ≥ 3 ,得 | x ? 1| ? | x ? 1|≥ 3 , (ⅰ) x ≤ ?1 时,不等式化为 1 ? x ? 1 ? x ≥ 3 ,即 ?2 x ≥ 3 . ? x ≤ ?1 3 ? ]. 不等式组 ? 的解集为 (??, 2 ? f ( x) ≥ 3 (ⅱ)当 ?1 ? x ≤ 1时,不等式化为 1 ? x ? x ? 1≥ 3 ,不可能成立. ??1 ? x ≤1 不等式组 ? 的解集为 ? . ? f ( x) ≥ 3 (ⅲ)当 x ? 1 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? 1≥ 3 ,即 2 x ≥ 3 . ?x ? 1 3 ? ?) . 不等式组 ? 的解集为 [ , 2 f ( x ) ≥ 3 ? 3 3 ? ]?[ , ? ?) . 综上得, f ( x) ≥ 3 的解集为 ( ??, 2 2 ,f ( x) ? 2 | x ? 1| ,不满足题设条件. (Ⅱ)若 a ? 1
所以直线 OP 的极坐标方程为 ? ?

??2 x ? a ? 1,x ≤ a, ? a ? x ? 1,f ( x) 的最小值为 1 ? a . 若 a ? 1,f ( x ) ? ?1 ? a, ?2 x ? (a ? 1),x ≥ 1. ?

??2 x ? a ? 1,x ≤ 1, ? 1 ? x ? a,f ( x) 的最小值为 a ? 1 . 若 a ? 1,f ( x) ? ?a ? 1, ?2 x ? (a ? 1),x ≥ a. ?
所 以 ?x ? R,f ( x) ≥ 2 的 充 要 条 件 是 | a ? 1|≥ 2 , 从 而 a 的 取 值 范 围 为 (??, ? 1] ? [3, ? ?) .

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