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【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测:第4章 第1讲 导数的意义及运算]


第四章 导 数 第 1 讲 导数的意义及运算

1.已知函数 f(x)=a3+sin x,则 f′(x)=( ) A.3a2+cosx B.a3+cosx C.3a2+sinx D.cosx f?1+Δx?-f?1? 2.已知函数 f(x)=2lnx+8x,则 lim 的值为( ) Δx Δx→0 A.-10 B.-20 C.10 D.20 3.若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 4.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( ) 1 A.4 B.- 4 1 C.2 D.- 2 5.(2013 年河南郑州二模)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)+lnx, 则 f′(e)=( ) - A.1 B.-1 C.-e 1 D.-e 6.(2012 年新课标)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为____________. 1 7.物体的运动方程是 s=- t3+2t2-5,则物体在 t=3 时的瞬时速度为________,加 3 速度为________. 8.如图 K411,函数 y=f(x)的图象在点 P(5,f(5))处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5) +f′(5)=________.

图 K411

1 9.(2012 年安徽)设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax+ +b(a>0). ax (1)求 f(x)的最小值; 3 (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 2 10.已知曲线方程为 y=x2. (1)求过点 A(2,4)且与曲线相切的直线方程; (2)求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程.

第四章 导 数 第 1 讲 导数的意义及运算 1.D 解析:函数 f(x)=a3+sinx 的自变量为 x,a 为常量,所以 f′(x)=cosx,故选 D. 2.C 3.C 解析:∵f(x)=x2-2x-4lnx(x>0), 2 4 2?x -x-2? ∴f′(x)=2x-2- = >0, x x ? ?x>0, 即? 2 解得 x>2. ?x -x-2>0, ? 4.A 解析:由已知,得 g′(1)=2,而 f′(x)=g′(x)+2x,所以 f′(1)=g′(1)+2×1 =4.故选 A. 1 - 5.C 解析:求导得:f′(x)=2f′(e)+ ,把 x=e 代入得:f′(e)=e 1+2f′(e),解得 x - f′(e)=-e 1. 3 6.y=4x-3 解析:函数的导数为 f′(x)=3lnx+1+x·=3lnx+4,所以在(1,1)的切线 x 斜率为 k=4,所以切线方程为 y-1=4(x-1),即 y=4x-3. 1 7.3 -2 解析:∵s=- t3+2t2-5,∴s′=-t2+4t.∴s′ t=3 =-32+4×3=3, 3

|

即物体在 t=3 时的瞬时速度为 3;∵(s′)′=(-t2+4t)′=-2t+4,∴-2t+4

|

t=3

=-6

+4=-2,即物体在 t=3 时的加速度为-2. 8.2 解析:由条件知 f′(5)=-1,又∵在点 P 处的切线方程为 y-f(5)=-(x-5),∴ y=-x+5+f(5),即 y=-x+8,∴5+f(5)=8.∴f(5)=3.∴f(5)+f′(5)=2. 1 1 9.解:(1)f(x)=ax+ +b≥2 ax· +b=b+2, ax ax 1 即x= ?时,f(x)的最小值为 b+2. 当且仅当 ax=1? a? ? 3 1 3 (2)由题意,得 f(1)= ?a+ +b= ,① 2 a 2 1 1 3 f′(x)=a- 2?f′(1)=a- = , ② ax a 2 由①②,解得 a=2,b=-1. 10.解:(1)∵点 A 在曲线 y=x2 上, ∴过 A 与曲线 y=x2 相切的直线只有一条,且 A 为切点. 由 y=x2,得 y′=2x,∴y′|x=2=4. 因此,所求直线的方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. (2)方法一,设过点 B(3,5),且与曲线 y=x2 相切的直线方程为 y-5=k(x-3),即 y=kx +5-3k. ? ?y=kx+5-3k, 由? 得 x2-kx+3k-5=0, 2 ?y=x , ? Δ=k2-4(3k-5)=0,整理,得(k-2)(k-10)=0, ∴k=2 或 k=10. 故所求的直线方程为 2x-y-1=0 或 10x-y-25=0. 方法二,设切点 P 的坐标为(x0,y0), 由 y=x2,得 y′=2x,∴y′|x=x0=2x0. 5-y0 由已知 kPA=2x0,即 =2x0. 3-x0 又 y0=x2 0代入上式整理,得 x0=1 或 x0=5,

∴切点坐标为(1,1),(5,25). 故所求的直线方程为 2x-y-1=0 或 10x-y-25=0.



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