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两道几何竞赛题的简证


中 等 数 学 

学 生 习作 

两道 几何 竞 赛题 的 简 证  
王 一 帆 
( 上 海 市上 海 中学 1 4届 8班 , 2 0 0 2 3 1 )  
中图 分 类 号 :0 1 2 3 . 1   文 献 标 识码 : A   文 章 编 号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 2 ) 1 1— 0 0 1 6一 O l  

题1   已知 △ A B C的  内角  A、   B、   C分 别为  、 2   / 1 7
、   ,

Y .  ̄a a   平 分 
因此 ,   =  

日知  B A=  
. 

且 三条 角 平分 线 分别 
=   .  

,  

/  

/  

与对 边 交 于 点  、   、 c   . 证 明: △A   日   c   是  等腰 _ 二角形 . 1 】 J  

由  C A , , =  
所 以。 C B   =B A   .  

=   , 得 C A   C I .  

( 2 0 0 9 -2 0 1 0匈牙利 数学奥林 匹克 )  

文[ 1 ] 采 用 三 角法 , 运算量较大, 文[ 2 ]  
采用 了截 长补 短 的添 线 思 想. 本文 给 出一 种 
自然 的证法 .   证明 如图1 , 设A A   、 B B   、 C C   交于内心 
C 

由/ C   C B=   C   B c=   , 得 
BC  = CC  .  

又   C, ∞ , :   C   BC:2   T  ̄


因此 ,  

△ A   B C   △ B   C C   .  

所 以, A   C   = B   C   , 即△ A   c   是 等腰 三 
C  A 

角形.  

题 2 设 0 为锐 角 △ A B C的 外 心 , A O、  
图 1  

B O、 C O的延 长 线 分 别 与 B C、 C A、 A B交 于点  D、  、   若△ A B C∽ △ D E F, 证明 : △A B C是  正j 三 角 形. [   ]  

在△ C B   , 、 △ A B C中, 由 正 弦 定 理 分  别得 
3   CB’ s i n   C1 一 s i n   CI B   r   CB  I  
S 1  


4 r t  

”了 
2 丁 c  

sl n _ = - 

( 第二届 陈省身杯全国高中数学奥林匹克 )  
原 证法用 到 了△ D E F垂 心 H 与 A A B C  



2 7 r  

S l    “

sl n _ =  

外心 0重合 , 从而 , 得 出△ A B C是正 三角 形.   本文 给 出一 个用 △ A B C的外心 0与 △ A B C  
内心重 合 的证 法.   证 明  如 图 2 , 延长 A D、 B E、 C F 与  AA B C 的外 接 圆o 0交 于点 A   、 B   、 C   , 联 结 
A   B  、 B  C  、 A  C  .  

4 7 r  

B A  s i n   AC — s i n  

BCA  

S1 n 

7  

CBA 一  

2 7 r‘   7  

Sl n 

于是 ,  

=  

.  

则△ A B C与△ A   C   关 于点 0位似 , 且 
作 者系 2 0 1   1 年 陈省 身杯全 国高中数学奥林匹克 夏令 
营 营 员 

位似 比为 一1 .  
所以 , △A B C   △A   B   C   .  

收 稿 日期 : 2 0 1 2— 0 5— 0 7  

( 下转 第 2 9页 )  

2 0 1 2年 第 1 1 期 

2 9  

由式① 、 ② 及题设 条 件知 
c 0 t   AM E : A   B

A 仃  2 _ : 2 +  .   √3  
:  


是点 2   . 证 明对任 意 i , 路径 种数都 是偶数 .   设 路径 为 


口 1,…

, a i I,


2   , 0   + l , … , 口  l , Y .  


从而 ,   A ME=1 5   O .   8 . 当 m≥1 1时 , 几= 2  一1> 2   0 1 3 .   因 为从点 1跳 2   0 1 2步 到达 点 2   0 1 3的  跳法 只有 一种 , 矛盾 , 所以 , m≤1 0 .   下 面证 明 : m=1 0满 足题 意.   对 m 用 数 学 归 纳 法 证 明 一 个 更 强 的  命题 :   对任 意 后 ≥凡=2  一1及 任 意 、 y∈   ,   从 点  跳  步 到点 Y的跳法 种数 为偶数 .   当 m =1 时, 跳法 种数 必 为 0 , 结论成 立.   设 m: z 时 结论成 立 .   对J j } ≥n= 2 ¨  一1 , 将从 点  跳 | i } 步 到 点  y的路 径 分 成 三 类 , 只要 证 明每 种 情 形 下 的  路 径种 数均 为偶 数 即可.   ( 1 ) 路径 从不 经过 点 2   .   此时 , 点  和 y位 于 点 2  的 同侧 , 由归  纳 假设 知 , 路 径 有偶数 种.   ( 2 ) 路径 经过 点 2   恰 一 次.   设第 i ( i ∈{ 0 , 1 , …, . j } } ) 步跳 到点 2   , 其  中, i = 0表示点  就是 点 2   , i :  表 示点 Y就 

将 其分 为 两 条 子 路 : 从 点  到 口   ,   共  i 一1步 ; 从点 0 … 到Y , 共  一i 一1步 (   对  i : 0或 I i } , 只有 一条 子路 , 共J j } 一1步 ) .   因为 后 ≥n:2   一1 , 若 i 一1<2   一1 , 且 
| j } 一i 一1 < 2   一1 , 所以,  
i 一1 ≤2   一2。 且  一  一1 ≤2   一2 .  

相加得 . j } ≤2 ¨  一 2, 矛 盾.   所以, i 一1 ≥2   一1 或. 1 } 一i 一1 ≥2   一1必  有 一个成 立.   由归 纳假设 , 必有 一条 子 路 的 路 径种 数  为偶 数.   由乘 法 原理 , 知第 i 步跳 到 点 2  的路 径  种 数为偶 数.   ( 3 ) 路径经 过点 2   不少 于两次.   此时, 将 第一次 与第 二 次到 点 2   之 间 的  路 径沿 点 2   作对 称 , 则 对 此类 中的路 径 进行  了两两 配对 , 必为偶 数种 路径.   由数学 归纳法 , 命题 得证.   综上 , m 的最大 值为 l 0 .   ( 陶平生 提供 )   又O A   =O B   =O C   , 则 

( 上接 第 1 6页)  
A  

DD =OE =0  F.  

.  

、 、 、 ‘ /  

、.  
\  _ ;  
 

由A O= B O,   B O D=   A O E, 知 
△  D D   △A O E .  

于是 ,   l =   2 .  

结 合  1 =   3 ,   2=   4 , 得 
1=  


2=  

3=  

4.  


, ,

2 / 

同理 ,   1 =   2 =   3=   4=   5 =   6 ,   即 0也是△  C的内心  所 以, △A B C是正 三角形.  
参考文献 :   ‘  

图2  

由/ x A B C∽ / XD E F, 得 
△ A   B   C   ∽I X   D E F .  

[ 1 ] 2 0 0 9 -2 0 1 0匈牙 利数 学 奥林 匹克 [ J ] . 中等 数学 ,  
2 0 1 1 ( 增刊2 ) .  

注意 到, A   D、 B   E、 C   F 交 于 点 0, 故 

[ 2 ]   万喜人. 三道几何竞赛题 的简证 [ J ] . 中等数学 , 2 0 1 2  
( 4 ) .  

△A   B   C   与△ D E F关 于点 0位 似. 从而 ,  
oD  OA   oE  0B  oF   0C ‘  

[ 3 ]   第二届陈省身杯全 国高中数学奥林 匹克 [ J ] . 中等 数 
学, 2 0 1 1 ( 9 ) .  


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