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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第7章 第1节 空间几何体及其表面积与体积课后限时自测 理 苏教版


【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 7 章 第 1 节 空间几何体 及其表面积与体积课后限时自测 理 苏教版
[A 级 一、填空题 1.给出下列命题: ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥; ②用一个平面去截棱锥便可得到棱台; ③仅有一组对面平行的五面体是棱台; ④有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥. 其中正确的个数是________. [解析] 对于①,五个面围成的多面体也可以是三棱柱或三棱台,故①错.对于②,当 平面与棱锥底面不平行时,截得的几何体不是棱台,故②错.对于③,仅有一组对面平行的 五面体也可能是三棱柱, 故③错. 对于④, 当各三角形面没有一个公共顶点时, 也不是棱锥, 故④错. [答案] 0 2.(2015·江苏调研)已知圆锥的轴截面为边长为 2 的等边三角形,则圆锥的体积等于 ________. 1 3π [解析] V= ·π · 3= . 3 3 [答案] 3π 3 基础达标练]

3.(2015·南京、盐城联考)在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD =60°,侧棱 PA⊥底面 ABCD,PA=2,E 为 AB 的中点,则四面体 P?BCE 的体积为________.

图 7?1?7 1 3 [解析] 显然 PA⊥平面 BCE,底面 BCE 的面积为 ×1×2×sin 120°= ,所以 VP?BCE 2 2 1 3 3 = ×2× = . 3 2 3
1

[答案]

3 3

4.(2015·徐州质检)若正三棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 1,则此三棱锥的体积为 ________. 2 [解析] 如图所示作三棱锥的高 PO, 则点 O 为底面的中心, AO= × 2 3 × 3 6 = , 2 3 1 -?
2

PO=

3 1 1 3 3 1 ? 6?2 ? = 3 ,所以 V 三棱锥 P?ABC=3×2× 2× 2× 2 × 3 =6. 3 ? ? 1 6

[答案]

5.(2013·江苏高考)如图 7?1?8,在三棱柱 A1B1C1?ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点.设三棱锥 F?ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1?ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________.

图 7?1?8 [解析] 设三棱柱的底面 ABC 的面积为 S,高为 h,则其体积为 V2=Sh.因为 D,E 分别 1 为 AB,AC 的中点,所以△ADE 的面积等于 S.又因为 F 为 AA1 的中点,所以三棱锥 F?ADE 的 4 1 1 1 1 1 1 高等于 h,于是三棱锥 F?ADE 的体积 V1= × S· h= Sh= V2,故 V1∶V2=1∶24. 2 3 4 2 24 24 [答案] 1∶24 6.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的上底面 ABCD 的中心是 O,顶点 A1,B1,C1,D1 在以 O 为 球心的球 O 的球面上,若正方体的棱长为 2,则球 O 的表面积为________. [解析] 设球的半径为 R,则 R =4+2=6,所以球 O 的表面积为 24π . [答案] 24π 7.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7,则这个正四棱锥的侧面积是________. 1 2 [解析] 根据题意可知侧面的高为 h′= 3 +7=4,从而侧面积 S=4× ×4×6=48. 2 [答案] 48 8.(2013·课标全国卷Ⅰ)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α ,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为 π ,则球 O 的表面积为________.
2

2

[解析] 如图,设球 O 的半径为 R,则由 AH∶HB=1∶2 得 1 2 R HA= ·2R= R,∴OH= . 3 3 3 ∵截面面积为 π =π ·(HM) , ∴HM=1. 在 Rt△HMO 中,OM =OH +HM , 1 2 1 2 3 2 2 2 ∴R = R +HM = R +1,∴R= . 9 9 4 故 S 球表面积=4π ×? [答案] 9π 2
2 2 2 2

?3 2?2 9π ?= 2 . ? 4 ?

二、解答题 9.(2014·扬州中学开学检测)如图 7?1?9,在四棱锥 P?ABCD 中,侧棱 PA⊥底面 ABCD, 底面 ABCD 为矩形,E 为 PD 上一点,AD=2AB=2AP=2,PE=2DE. (1)若 F 为 PE 的中点,求证:BF∥平面 ACE; (2)求三棱锥 P?ACE 的体积.

图 7?1?9 [解] (1)证明:若 F 为 PE 的中点,由于底面 ABCD 为矩形,E 为 PD 上一点,AD=2AB =2AP=2,PE=2DE,故 E、F 都是线段 PD 的三等分点. 设 AC 与 BD 的交点为 O,则 OE 是△BDF 的中位线,故有 BF∥OE,而 OE 在平面 ACE 内,

BF 不在平面 ACE 内,故 BF∥平面 ACE.
(2)由于侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 ABCD 为矩形,故有 CD⊥PA,CD⊥AD,故 CD⊥平面 PAE. 1 1 ?2 1?2 1 ? ? 三棱锥 P?ACE 的体积 VP?ACE=VC?PAE= S△PAE·CD= ·? S△PAD?·AB= ? × ·PA·AD?·AB 3 3 ?3 3?3 2 ? ? 1 1 2 = ·PA·AD·AB= ×1×2×1= . 9 9 9 10.(2014·福建高考)如图 7?1?10,三棱锥 A?BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD.

3

图 7?1?10 (1)求证:CD⊥平面 ABD; (2)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A?MBC 的体积. [解] (1)证明:∵AB⊥平面 BCD,CD? 平面 BCD, ∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,

AB? 平面 ABD,BD? 平面 ABD,
∴CD⊥平面 ABD. (2)法一:由 AB⊥平面 BCD,得 AB⊥BD, 1 ∵AB=BD=1,∴S△ABD= . 2 1 1 ∵M 是 AD 的中点,∴S△ABM= S△ABD= . 2 4 由(1)知,CD⊥平面 ABD, ∴三棱锥 C?ABM 的高 h=CD=1, 因此三棱锥 A?MBC 的体积

VA?MBC=VC?ABM= S△ABM·h= .
法二:(2)由 AB⊥平面 BCD 知,平面 ABD⊥平面 BCD, 又平面 ABD∩平面 BCD=BD, 如图,过点 M 作 MN⊥BD 交 BD 于点 N, 1 1 则 MN⊥平面 BCD,且 MN= AB= . 2 2 1 又 CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD= . 2 1 1 1 ∴三棱锥 A?MBC 的体积 VA?MBC=VA?BCD-VM?BCD= AB·S△BCD- MN·S△BCD= . 3 3 12 [B 级 一、填空题 1.(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2.若 能力提升练]

1 3

1 12

S1 9 V1 它们的侧面积相等,且 = ,则 的值是________. S2 4 V2 S1 9 π r1 9 r1 [解析] 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2,由 = ,得 2= ,则 S2 4 π r2 4 r2
2

4

3 h1 2 V1 π r1h1 3 = .由圆柱的侧面积相等,得 2π r1h1=2π r2h2,即 r1h1=r2h2,则 = ,所以 = 2 = . 2 h2 3 V2 π r2h2 2 [答案] 3 2

2

2.(2014·苏州开学调研)如图 7?1?11,在直四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中,点 E,F 分别在

AA1,CC1 上,且 AE= AA1,CF= CC1,点 A,C 到 BD 的距离之比为 3∶2,则三棱锥 E?BCD 和
三棱锥 F?ABD 的体积比

3 4

1 3

V三棱锥E?BCD =________. V三棱锥F?ABD

图 7?1?11 [解析] ∵点 A, C 到 BD 的距离之比为 3∶2, ∴

S△BCD 2 = .又直四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中, S△ABD 3

1 S△BCD·AE 3 1 AE 9 V三棱锥E?BCD 3 2 9 3 AE= AA1,CF= CC1,∴ = ,于是 = = × = . 4 3 CF 4 V三棱锥F?ABD 1 3 4 2 S△ABD·CF 3 [答案] 3 2

二、解答题 3.(2015·南京模拟)如图 7?1?12,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥

BC,PB⊥平面 ABCD,CD⊥BD,PB=AB=AD=1,点 E 在线段 PA 上,且满足 PE=2EA.

图 7?1?12 (1)求三棱锥 E?BAD 的体积; (2)求证:PC∥平面 BDE. [解] (1)过 E 作 EF⊥AB,垂足为 F. 因为 PB⊥平面 ABCD. 所以平面 PAB⊥平面 ABCD.
5

又平面 PAB∩平面 ABCD=AB,EF? 平面 PAB,所以 EF⊥平面 ABCD, 即 EF 为三棱锥 E?BAD 的高. 由 PB⊥平面 ABCD 得 PB⊥AB,故 PB∥EF. 1 因为 PE=2EA,且 PB=1,故 EF= . 3 因为 CD⊥BD,所以在直角梯形 ABCD 中,∠BAD=90°. 1 因为 AB=AD=1,所以 S△BAD= . 2 1 1 从而 VE?BAD= ×S△BAD×EF= . 3 18 (2)证明:连结 AC 交 BD 于 G,连结 EG. 因为在直角梯形 ABCD 中,∠BAD=90°, 又因为 AB=AD=1,所以 BD= 2,∠ABD=45°, 从而∠CBD=45°. 因为 CD⊥BD,所以 BC=2. 因为 AD∥BC,BC=2,AD=1,所以 AG∶GC=1∶2. 又因为 PE=2EA,所以 EG∥PC. 因为 PC?平面 BDE,EG? 平面 BDE, 所以 PC∥平面 BDE.

6


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