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湖南省2013届高三六校联考数学理


???

湖南省 2013 年六校联考数学(理)考试试题卷
湘潭市一中、长沙市一中、师 大 附中、 岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中

时量 120 分钟 满分 150 分
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知全集 U={0,

1,2,3,4,5} ,集合 A={0,1,3} ,集合 B={0,3,4,5} ,则( A . A ? B ? ?0? B. ) D.

A? B ?U

C.

A ? (CU B) ? ? ? 1

(CU A) ? B ? B
2、下列说法中正确的是( ) .

A. x ? 5 ”是“ x ? 3 ”必要不充分条件; “ B.命题“对 ?x ? R ,恒有 x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,使得 x 2 ? 1 ? 0 ” . C.? m∈R,使函数 f(x)=x2+mx (x∈R)是奇函数 D.设 p , q 是简单命题,若 p ? q 是真命题,则 p ? q 也是真命题; 3、两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,计算出它们的相 关指数 R 2 如下,其中拟合效果最好的模型是 ( A.模型 1(相关指数 R 2 为 0.97) C.模型 3(相关指数 R 2 为 0.56 ) )

B.模型 2(相关指数 R 2 为 0.89) D.模型 4(相关指数 R 2 为 0.45) )

4、 在三角形 OAB 中, 已知 OA=6, OB=4, P 是 AB 的中点, OP ? AB ?( 点 则 A 10 B -10 C 20 D -20 )
3

5、如图是某几何体的三视图,则该几何体体积是( A
3 3

B

5 3 3

C

2 3 3

D

? 4 ? 6、已知 cos( ? ) ? ( ? 为锐角) 则 sin? ? ( , 6 5 3 3?4 3 3?4 A. B. 10 10



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???

C.

3?4 3 10

D.

3? 4 3 10

7、如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为 F ,过抛物线上一点 A(3 , y) 向准线 l 作 垂线,垂足为 B ,若 ?ABF 为等边三角形, 则抛物线的标准方程是 ( A. y 2 ?
1 x 2

) .

B. y 2 ? x D. y 2 ? 4 x

C. y 2 ? 2 x

8、 已知函数f (x)= x 2 ? 2 ln x 与 g(x)=sin (?x ? ? ) 有两个公共点, 则在下列函数中 满足条件的周期最大的g(x)=( A . sin(2?x ? D. sin(?x ? )

?
2

)

? ? B . sin( x ? ) 2 2

? C . sin(?x ? ) 2

?
2

)

二、填空题(本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答 案填在答题卡中对应题号的横线上. ) (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答,如果 全做,则按前两题记分 ) 9. 以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两 种坐标系中取相同的长度单位,已知曲线 C 的参数方程是
? x ? 4 cos t (t为参数) , 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 是 ? ? y ? 3 sin t

? (cos? ? sin ? ) ? 1 ? 0 ,则直线 l 与曲线 C 相交的交点个数是______.
10. 如图, AB 是圆 O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上, 且 AB ? 2PA ? 4 . PC 切圆 O 于 C , Q 是 PC 的中点,
QD 直线 QA 交圆 O 于 D 点.则 QA? ?

. .
开 始 S=0,T=0, n=00 是 否 S=S +4 n=n+ 2 T=T

11、设 x ? R ,则函数 y = | x | ? 2 ? x 2 的最大值是 (二) 必做题(12~16 题) 12、设复数 z ?
1? i (其中 i 为虚数单位),则 z 2 等于 i
n

13、已知 ?1 ? x ? 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大, 则含 x 2 项的系数= ______.
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输 出 T 结束

???

14、执行右边的程序框图,若输出的 T=20, 则循环体的判断框内应填入的的条件是(填相应编号) 。 (①T≥S,②T>S,③T≤S,④T<S) 15. 设矩形区域 ? 由直线 x ? ? 数 y ? cos x 、 x ? ?

?
2

和 y ? ?1 所围成的平面图形, 区域 D 是由余弦函

?
2

及 y ? ?1 所围成的平面图形.在区域 ? 内随机的抛掷 .

一粒豆子,则该豆子落在区域 D 的概率是

16. 用 e, f , g 三个不同字母组成一个含 n ? 1 (n ? N *) 个字母的字符串, 要求由 字母 e 开始,相邻两个字母不能相同. 例如 n ? 1时,排出的字符串是

ef , eg ;n ? 2 时排出的字符串是 efe, efg , ege, egf ,??.记这种含 n ? 1 个
字母的所有字符串中,排在最后一个的字母仍是 故 a1

e 的字符串的个数为 a


n

.

? 0, a2 ? 2 . a 4 ?

an ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 17、 (本题满分 12 分)驾驶证考试规定需依次按科目一(理论) 、科目二(场内) 、 科目三 (场外) 进行, 只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试, 每个科目只允许有一次补考机会,三个科目考试均合格方可获得驾驶证。现 张某已通过了科目一的考试,假设他科目二考试合格的概率为 试合格的概率为

2 ,科目三考 3

1 ,且每次考试或补考合格与否互不影响。 2

(1)求张某不需要补考就可获得驾驶证的概率。 (2)若张某不放弃所有考试机会,记 ? 为参加考试的次数,求 ? 的分布列与 数学期望。

18. (本题满分 12 分)由五个直角边为 2 的等腰直角三角形拼成如图的平面凹 五边形 ACDEF,沿 AD 折起,使平面 ADEF⊥平面 ACD. (1)求证:FB⊥AD
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???

(2)求二面角 C-EF-D 的正切值.
E E

F

D

F

D

A

B 图1

C

A

B 图2

C

19、 (本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,满足 a1 ? 4 ,且
5 a3是 a2、 a4 的等差中项,数列 ?bn ? 满足 bn ?1 ? bn ? 1 ,其前 n 项和为 sn ,且 4
s 2 ? s6 ? a4

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式 (2)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式 nlog 2 (Tn ? 4) ? ?bn ? 7 ? 3n 对一切
n ? N ? 恒成立,求实数 ? 的取值范围。

20.(本题满分 13 分)某小型加工厂生产某种机器部件,每个月投产一批。 该 部件由 5 个 A 零件和 2 个 B 零件构成,加工厂采购这两种零件的毛坯进行精 加工, 再组装成部件, 每加工成一个部件需要消耗 10 度电。 已知 A、B 两种 零件毛坯采购价格均为 4 元/个, 但如果同一种零件毛坯一次性采购超过 1 千 个时,超过的部分可按优惠价 3.6 元/个结算。电费按月交纳, 电价按阶梯电价 计算: 每月用电在 5000 度以内 1 元/度, 超过 5000 度的部分每度电增加 c (c > 0)元. 设每月还需要其他成本(不含人工成本)600 元. 在不考虑人工成本的 条件下, 问: (1) 每月若投入资金 1 万元, 可生产多少件部件? (2) 每月若有 2 万元的资金可供使用, 但要平均每件的成本最低, 应投入多 少资金? 21. (本题满分 13 分)已知 P(0,-1)与 Q(0,1)是直角坐标平面内两定点,

3 ME ? MN , 过曲线 C 上一动点 M (x,y)作 Y 轴的垂线, 垂足为 N, E 满足 点 4
第 4 页 共 13 页

???

且 QM ? PE ? 0 。 1)求曲线 C 的方程。 2)设曲线 C 与 x 轴正半轴交于点 A ,任作一直线 l 与曲线 C 交于 M 、N 两点 ( M 、N 不与 A 点重合)且 ?MAN ? 900 ,求证 l 过定点并求定点的坐标。
1 22、 (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ? (a ? 1) x 2

(a ? 1 )

(1)讨论 f ( x) 的单调性与极值点。 (2)若 g ( x) ? 象上方. (3)证明
ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ? 2 ?? ? 2 ? (n ? N ? .n ? 2) 22 3 n 4(n ? 1)

1 2 x ? x ? 1( x ? 1) , 证明当 a ? 1 时, g ( x) 的图象恒在 f ( x) 的图 2

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???

湖南省 2013 年六校联考数学考试试题答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 B 6 B 7 D 8 C

二、填空题: 9、2

QC ? QA? , QD PC ? PA?PB ? 12 , Q 是 PC 的中点, QA ? QD ? 10、 因 所以
2

2

1 PC 2 ? 3 . 4

2 2 11、由柯西不等式,得 x ? 2 ? x ? x ? 1 ? 2 ? x ?

x 2 ? 2 ? x 2 ? 12 ? 12 ? 2 .

2 或用基本不等式: | x | ? 2 ? x ?

2( x 2 ? 2 ? x 2 ) ? 2 .

12、2i 13、28 14 ② 15、阴影面积为

S ? ? 2? (cos x ? 1)dx ? (sin x ? x) 2? ? 2 ? ? ,
? 2 ? 2

?

?

故所求的概率为 P ?

2?? . 2?

16、答案: a4

?6

2 n ? 2(?1) n an ? 3

解析: a1

?0

a2 ? 2 ? 21 ? a1
a 4 ? 6 ? 2 3 ? a3
所以, a n

a3 ? 2 ? 2 2 ? a 2
a5 ? 10 ? 2 4 ? a 4

? 2 n ?1 ? a n ?1
? 2 n?2 ? an?2
两式相减得: a n
2 4

所以, a n ?1


? an?2 ? 2 n?2
n ?2

n 为偶数时,利用累加法得 a

n

? a2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

=

2n ? 4 3

所以,

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???

2n ? 2 an ? ; 3
当 n 为奇数时,利用累加法得 a

n

? a1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
1 3

n?2

=

2n ? 2 3

所以,

2n ? 2 an ? . 3
综上所述:
an ? 2 n ? 2(?1) n 3

三、解答题答案: 17、答案: 解:设“科目二第一次考试合格”为事件 A1; “科目二补考考试合格”为事件 A2; “科目三第一次考试合格”为事件 B1; “科目三补考考试合格”为事件 B2; 则 A1、A2、B1、B2 相互独立。 (1)他不需要补考就可获得驾证的概率为:

2 1 1 P ? P( A1 ? B1 ) ? P( A1 ) ? P( B1 ) ? ? ? 3 2 3
5分 (2) ? 的可能取值为 2,3,4 ∵ P(? ? 2) ? p( A1 B1 ? A1 A2 ) ?

????????????????

2 1 1 1 4 ? ? ? ? 3 2 3 3 9 2 1 1 2 1 4 P(? ? 3) ? p( A1B1 ? A1 A2 B1 ) ? ? ? ? ? ? 3 2 3 3 2 9 1 2 1 1 ????????????????9 P ? (? ? 4) ? p( A1 A2 B1 ) ? ? ? ? 3 3 2 9

分 ∴ ? 的分布列为

?
P

2

3

4

4 9

4 9

1 9

E (? ) ?
12 分

2 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 1 24 8 ? ? 9 9 3

???????????????????

第 7 页 共 13 页

??? 18、答案: 解:

法一: (1)作 FO⊥AD 于 O, OB. 连 .......................(1 分) ∵等腰直角三角形 AFD, ∴点 O 为 AD 的中点. 而等腰直角三角形 ABD,∴BO⊥AD, 而 FO∩BO=O, ∴AD⊥平面 FOB, ∴FB⊥AD ..................... 分) (5 (2) ∵等腰直角三角形 ADB 和等腰直角三角形 CDB, ∴∠ADC=90°, ∴CD⊥AD ..................... 7 分) ( 又 ∵平面 ADEF⊥平面 ACD,平面 ADEF∩平面 ACD=AD, ∴CD⊥平面 ADEF. 作 DM⊥FE,连接 MC, ∠DMC 即为二面角 C-EF-D 的平面角. ................... (10 分) 在直角三角形 MDC 中,∠MDC=90°,MD=1 , DC=2 , ∴tan∠DMC=2 , ∴二面角 C-EF-D 的正切值为 2. ................... 12 分) ( 法二: (1)作 FO⊥AD 于 O,连 OB,∵平面 ADEF⊥平面 ACD,∴FO⊥平面 ADC. ∵等腰直角三角形 AFD, ∴点 O 为 AD 的中点.而等腰直角三角形 ABD,∴BO⊥AD 如图,建立空间直角坐标系, ∴F(0,0,1) ,A(1,0,0) ,D(-1,0,0),C(-1,2,0),B(0,1,0)E(-2,0,1 ) .................(2 分)

AD ? (?2,,0), FB ? (0,1, 1) ∵ AD ? FB ? 0 ,∴FB⊥AD 0 ?
(2)显然平面 DEF 的法向量 n1

.................(5 分) ................(7 分)

? (0,1,0) ,
FC ? (?1,2,?1) ,

平面 CEF 中, FE ? (?2,0,0) ∴平面 CEF 的法向量 n2 ? (0,1,2) , ∴ cos(n1 , n2 ) ?

...............(10 分)

5 , 5

∴ tan(n1 , n2 ) ? 2, .................(12 分)

∴二面角 C-EF-D 的正切值为 2.

19、答案:
n ?1 解(1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q, 则 q ? 1, an ? 4q

5 ? a3 是 a2和 a4 的等差中项 4
第 8 页 共 13 页

???

5 ? 2 ? a3 ? a2 ? a4即2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 4
? q ? 1? q ? 2

? an ? 4 ? 2n ?1 ? 2n ?1
依题意,数列 ?bn ? 为等差数列,公差 d ? 1 又

................(3 分)

s2 ? s6 ? 32 ? (2b1 ? 1) ? 6b1 ?


6?5 ? 32,? b1 ? 2 ? bn ? n ? 1 . 2
2

...............(6 分) ) ...............(8 分) 化 为

? an ? 2n ?1 ?Tn ?


4(2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 4 . 2 ?1
等 式

nlog 2 (Tn ? 4) ? ?bn ? 7 ? 3n ?N

n2 ?

7 n? ?
?? ?


(??

n ? 1 ..........(9 分) ? ) n

n2 ? n ? 7 ? 对一切 n ? N 恒成立。 n ?1

9 n 2 ? n ? 7 (n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? 9 9 ?3 ? 3 ? ? (n ? 1) ? ( ) ? 3 ? 2 (n ? 1) ? (n ? 1) n ?1 n ?1 n ?1
当 且 仅 当

n ?1 ?

9 n ?1



n?2













?? ? 3
20、答案:

................(12 分)

解: 设产量为 x 件, 总成本 y 元, 生产 200 件需要 1000 个 A 零件, 生产 500 件需要 1000 个 电。 B 零 件 , 并 需 要 …..(1 分) …..(3 分) 5000 度

当 0 ? x ? 200 时, y=(5x+2x) ? 4 +10x ? 1 +600=38x+600 y ? (600 , 8200]

当 200 ? x ? 500 时, y=(5x+2x) ? 4 -(5x-1000) ? (4 ? 3.6) +10x ? 1 +600=36x+1000 y ? (8200 , 19000 ] ………..(5 分)

当 x>500 时, y=(5x+2x)
?4

-(7x-2000)
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? (4 ? 3.6)

+

???

10x ? 1 +(10x-5000) ? c +600=(35.2+10c)x+1400-5000c y>19000 …..(7 分) (1) 当 y=10000 时, 20 0 ? x ? 500 , 答 件. : 若 投 入 资 故令 36x+1000=10000, 金 10000 元 , 得 x=250 可 生 产

……

250

……….(8 分)

600 ? (0 ? x ? 200 ) ?38 ? x ? y ? 1000 (2) 平均每件的成本 ? ?36 ? (200 ? x ? 500 ) x ? x 1400 ? 5000 c ? ( x ? 500 ) ?(35 .2 ? 10 c) ? x ?
在(0, 500]上递减, 在[500, ? ? )上:

……..(10 分)

若 1400-5000c>0, 即 c<0.28 时依然递减, 故可全部投入 20000 元资金使平均每件的 成本最低; 若 1400-5000c<0, 即 c>0.28 时递增, x=500 时平均每件的成本最低, 可投入资金 19000 元. 若 1400-5000c=0, 即 c=0.28 时为定值 38, 可投入 19000 元至 20000 元任意数值的资 金. ………..(13 分) 21、答案: 解: (1)依题意知 N(0,y) ? ME ? ,

3 3 3 1 MN ? (? x,0) ? (? x,0) ? E ( x, y) . 4 4 4 4
........ (2

又 QM 分)

? ( x, y ? 1)

1 PE ? ( x, y ? 1) 4

1 ? QM ? PM ? 0 ? x ? x ? ( y ? 1)( y ? 1) ? 0 4
(3 分) ∴椭圆 C 的标准方程为 (5 分)

.........

x2 ? y2 ? 1 4

??

( ( 2 ) 设 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 设 为 k , 方 程 为 y ? kx ? m k ? 0) M ( x1 , y1 )
N ( x2 , y2 )
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???

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 得: (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
? ? (8km)2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 4)
① ??(6 分)

? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0,即4k 2 ? 1 ? m2

?8km x1 ? x2 ? 1 ? 4k 2
③ ??(7 分)



4m 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? 4k 2

又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m
2

2

?
④ ??(8 分)

4k 2 m 2 ? 4k 2 8k 2 m 2 ? ? m2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?

m 2 ? 4k 2 1 ? 4k 2

( 又 ?MAN ? 90 ? AM ?AN ? 0 即 ( x1 ? 2, y1 )? x2 ? 2, y2 ) ? 0
0

???? ???? ?

? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 4 ? 0
将②③④代入⑤并整理得:



12k 2 ? 16km ? 5m2 ? 0 ? (6k ? 5m)(2k ? m) ? 0

?6k ? 5m ? 0 或 2k ? m ? 0
分) 当 6k ? 5m ? 0 时,①式成立 此时直线 l 的方程为 y ? k ( x ? ) , 过定点( ( , 0) 分) 当 2k ? m ? 0 时,①式成立 此时直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) 过点 A(2, 0) 与直线 l 不过 A 点矛盾。 分) 若直线 l 的斜率不存在,设 l 的方程为 x ? t

??(9

6 5

6 5

??(10

?? (11

?x ? t 1 1 ? 由 ? x2 得 M (t , 4 ? t 2 ), N (t ,? 4 ?t2 ) 2 2 2 ? ? y ?1 ?4

第 11 页 共 13 页

??? 由 AM ? AN ? 0 得 (t ? 2) ?
2

???? ???? ?

1 (4 ? t 2 ) ? 0 即 5t 2 ? 4t ? 3 ? 0 4
?? (12

解之得 t ? 分)

6 或t ? 2 5

6 6 6 时,直线 l 的方程为 x ? 过点 ( , 0) 5 5 5 当 t ? 2 时,直线 l 的方程为 x ? 2 过 A 点(舍) 6 由上可知,直线 l 过定点 ( , 0) 5
当t ? 分)

??(13

22、答案:(添加计分标准) 解: (1) f ?( x) ? 分) 当 a ? 1 时 f ?( x) ?

a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a) ? x ? (a ? 1) ? ? ( x ? 0) x x x

................(1

( x ? 1) 2 ? 0 在(0, ?? )上恒成立 x
...............(2

? f ( x) 在(0,+∞)单调递增,此时 f ( x) 无极值点
分) 当 a ? 1 f ?( x), f ( x) 在定义域上的变化情况如下表: x

(0,1)
+ 增

(1, a)
- 减

( a, ?? ) + 增

f ?( x) f ( x)

由此表可知 f ( x) 在(0 , 1)和( a, ?? ) 上单调递增, 减

f ( x) 在(1 , a )上单调递

x ?1
点 . ( 2













x?a









...............(4 分) ) 令

a ?1 时 1 1 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? ln x ? x 2 ? 2 x ? x ? 1 ? ln x .....(5 分) 2 2 1 x ?1 F ?( x) ? 1 ? ? 当 x ? 1 时 F ?( x) ? 0, 0 ? x ? 1时, F ?( x) ? 0 x x
第 12 页 共 13 页

???

? F ( x) 在(0 1)递减,在(1, ?? ) 上递增.

? F ( x) ? F ( 1 ) 0 , x ? 1 ? ? 时,
立 ......(7 分) 即 x ? 1 时 g ( x) ? f ( x) 恒成立

F ( x )? 0





? 当


x ?1

g ( x)











f ( x)











......(8 分)

(3)由(2)知 F ( x) ? F (1) ? 0 即 ln x ? x ? 1

? x ? 0,?
....(9 分) 令

ln x 1 ? 1? x x

.

x ? n 2 (n ? N ? )则

ln n 2 1 ln n 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? (1 ? 2 ) 2 n n n 2 n

.....(10 分)

?

ln 2 ln 3 ln n 1 ? 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? ?1 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? 2 ) 2 2 3 n 2? 2 3 n

=

1 1 1 1 1 (n ? 1) ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) . 2 2 2 3 n
..

1 1 1 1 1 ? (n ? 1) ? ( ? ?? ) 2 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1)
...(11 分)

1 1 1 1 1 1 1 1 (n ? 1) ? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 1 1 ) = (n ? 1) ? ( ? 2 2 2 n ?1
= = ∴ 立.

2n 2 ? n ? 1 4( n ? 1)
不 等 式 ....(13 分) 成

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