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高一竞赛试题


高一数学竞赛试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 满分 150 分。 考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符号题目要求的。) 1.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩?NB=( ) A

.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} ) D.(3,+∞) D.{1,2,3}

2.方程 log3x+x=3 的解所在区间是( A.(0,1) B.(1,2) ) C.(2,3)

3.若 0<x<y<1,则( A.3 <3
y x

B.logx3<logy3

C.log4x<log4y

?1?x ?1?y D.? ? <? ? ?4? ?4?
)

4.已知方程|x|-ax-1=0 仅有一个负根,则 a 的取值范围是( A.a<1 B.a≤1 C.a>1
x ?1

D.a≥1

5.在同一坐标系内,函数 f ( x) ? 2 A.原点对称 B.x 轴对称

, g ( x) ? 21? x 的图象关于(
C.y 轴对称
x



D.直线 y=x 对称

6.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)= ( ) A.3 4、 tan? ? B.1 C.-1 D.-3

? 47? ? ? 41? ? ? ? cos? ? ? 的值为 6 ? ? ? 3 ?

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D.

3 6

4 cos2 (?
5、

11? 25? tan(? ) ? 2 sin 3 4

15? ) 4

的值为

A.1

B. 3 ? 1

C. 2 ? 1

D. 2 ( )

?

2 ?1

?

π π 6、若 <θ < ,则下列不等式中成立的是 4 2 A.sinθ >cosθ >tanθ B.cosθ >tanθ >sinθ

C. tanθ >sinθ >cosθ 7、函数 y ? A.{1} 7、已知

D.sinθ >tanθ >cosθ ( D.{-1,3} )

sin x | cos x | tan x 的值域是 ? ? | sin x | cos x | tan x |
B.{1,3} C.{-1}

1 ? sin x 1 cos x 的值是 ? ? ,则 cos x 2 sin x ? 1 1 1 A. B. ? C.2 D.-2 2 2

8、若 sin ? , cos? 是方程 4x2 ? 2mx ? m ? 0 的两根,则 m 的值为 A.1? 5 B. 1? 5 C. 1? 5 D. ? 1 ? 5

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 2π π 3、若- ≤θ ≤ ,利用三角函数线,可得 sinθ 的取值范围是 . 3 6

2 ? a 为奇函数,则 a=________. 3 ?1 4 2 25? 13? 1 2 9? 1 2 2 7 2、化简: m cos ? 3n 2 tan2 ? n sec2 ? m sin ? = 3 3 6 2 4 3 3 x 13. 函数 y ? log3 (3 ? 1) 的值域为________________________.
14.已知函数 f ( x) ?
x
2



三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

? 0,1? 上有最大值 2 ,求实数 18. (本小题满分 10 分) 函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在区间 a 的值

18.(本小题满分 12 分)设集合 A={x|x <4},B={x|1<

2

4 }. x+3

(1)求集合 A∩B; 2 (2)若不等式 2x +ax+b<0 的解集为 B,求 a,b 的值.

19.(本题满分 12 分)若关于 x 的方程 x +2ax+2-a=0 有两个不相等的实根,求分别满足 下列条件的 a 的取值范围. (1)方程两根都小于 1; (2)方程一根大于 2,另一根小于 2.

2

f ( x) ?
19、 (本题满分 12 分)设函数

1? x2 1? x2 .

○ 求它的定义域(3 分) 2 求证: 1 ;○

1 f ( ) ? ? f ( x) x (4 分) 3 判断它在(1,+∞)单调性,并证明. 分) ;○ (7

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=loga(1+x), g(x)=loga(1-x), 其中(a>0 且 a≠1), 设 h(x)=f(x)-g(x). (1)求函数 h(x)的定义域(4 分) ;(2)判断 h(x)的奇偶性,并说明理由; 分) (4 (3)若 f(3)=2,求使 h(x)>0 成立的 x 的集合. 分) (6

f ( x) ?
22. 已知定义在 R 上的函数 (1)求 a, b 的值;

b ? 2x 2 x ? a 是奇函数

(2)判断 f (x) 的单调性,并用单调性定义证明; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (?k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围。
2

22. 解: (1)∵ f (x) 是定义在 R 上的奇函数,∴ f (0) ?

b ?1 ? 0 ,∴ b ? 1 2 分 a ?1

1? 2x , a ? 2x x x x x ∴ a ? 2 ? 1 ? a ? 2 即 a(2 ? 1) ? 2 ? 1 对一切实数 x 都成立, f ( x) ?
∴ a ? 1∴ a ? b ? 1

1? 2x 2 ? ? 1 , f (x) 在 R 上是减函数 x 1? 2 1? 2x 证明:设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2
(2) f ( x) ? 则 ∵ x1 ? x2 ,∴ 2

? 2 x1 , 1 ? 2 x1 ? 0 , 1 ? 2 x2 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f (x) 在 R 上是减函数 2 2 不等式 f (t ? 2t ) ? f (?k ) ? 0 ? f (t ? 2t ) ? f (k )
x2

又 f (x) 是 R 上的减函数,∴ t ? 2t ? k
2

∴ k ? t ? 2t ? ?2(t ? ) ?
2 2

1 4

1 对 t ? R 恒成立 8

∴k ?

1 8


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