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数学2--1课件2.4.2.1


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求抛物线的标准方程与几何性质

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1.解说待定系数法
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利用待定系数法求抛物线的标准方程,往往与抛物线的几何 性质相联系,这就要求对抛物线标准方程的四种形式及其对 应的性质的比较、辨析、应用做到熟练,特别是开口方向、

焦点坐标、准线方程等.

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2.细说“通径”
抛物线还有一条重要性质,那就是“通径”,指的是过抛

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物线的焦点且垂直于对称轴的弦,其长度等于2p,这是抛
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物线标准方程中系数2p的一种几何意义,利用通径画抛物 线既方便又准确.

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利用待定系数法求抛物线的标准方程时一定
要注意“定形”,即考虑标准方程的形式,切勿漏解.

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【例1】 求顶点在原点,以x轴为对称轴,且通径长为8的

抛物线的标准方程,并指出其焦点坐标和准线方程.
【审题指导】通径长为8,即2p=8,对称轴为x轴,即焦点 在x轴上,由此可得抛物线的标准方程和焦参数p,但注意

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抛物线的开口方向不确定,需分两种情况考虑.

【规范解答】∵抛物线的通径长为8,∴2p=8,
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∴p=4,又抛物线关于x轴对称, ∴抛物线的标准方程为y2=8x或y2=-8x. 当抛物线方程为y2=8x时,焦点为(2,0),准线方程为x=

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-2;
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当抛物线方程为y2=-8x时,焦点为(-2,0),准线方程为x=2.

抛物线几何性质的应用
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抛物线的几何性质

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(1)抛物线的几何性质包括抛物线的焦点、准线、范围、
对称轴、顶点、离心率、开口方向等,它的应用比较广泛,

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这一部分的题型仍以直线与抛物线的关系为载体,涉及求 直线方程,弦长,平行,对称,最值等,解题时,结合题 意大胆设出参数和抛物线上点的坐标,利用条件化简整理, 从而得以求解.

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(2)抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛
的应用,但是在解题过程中又容易忽视这些隐含条件,如

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抛物线的对称性,准线与对称轴垂直等.解题时应注意挖掘
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并充分利用这些隐含条件.

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【例2】已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原 点,若|OA|=|OB|,且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F, 求直线AB的方程. 【审题指导】由于抛物线关于x轴对称,|OA|=|OB|,说明

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△ABO为等腰三角形,所以A,B关于x轴对称,于是利用焦点 是三角形的垂心,构造关于A点横坐标的关系式即可求解.

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【规范解答】由题意知,抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐

标为F( p , 0),因为|OA|=|OB|,由抛物线的对称性可
2

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知,A,B两点关于x轴对称,设直线AB的方程为x=x0,设 A、B两点的坐标分别为A(x0,y0),B(x0,-y0),则y02=

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2px0.因为△AOB的垂心恰是抛物线的焦点F,所以AF⊥
??? ? OB,AF =( p -x0,-y0), 2

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??? ? ??? ??? ? ? =(x0,-y0),由 AF?OB =0得, OB p ( -x0)x0+(-y0)(-y0)=( p -x0)x0+2px0=0, 2 2 5p 5p 解得x0= . . 所以直线AB的方程为x= 2 2

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与抛物线有关的最值问题

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与抛物线最值有关的问题的解题技巧

与抛物线有关的最值问题,除了利用抛物线的定义,使用
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几何法求解外,也可根据题目条件转化为求函数的最值问

题,但应注意抛物线的范围,同时注意设点技巧.

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【例3】已知P是抛物线y2=4x上的任意一点,点A(a,0),试

求|PA|的最小值及|PA|取得最小值时的P点的坐标.
【审题指导】显然本题利用几何法无法解决,可考虑先设 出P点的坐标,转化为函数的最值问题求解,但注意抛物

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线的范围这条性质.

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【规范解答】设P(x,y),则|PA|= (x-a)2 +y2
= (x-a) 2 +4x = [x-(a-2)]2 +4a-4.

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∵x≥0,a∈R,

∴须分类讨论如下:
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(1)当a-2≤0即a≤2时,则x=0时,|PA|取得最小值,为|a|,

这时P(0,0).

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(2)当a-2>0即a>2时,则x=a-2时,|PA|取得最小值,为
2 a-1, 这时P(a-2,〒 2 a-2 ).

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综上,当a≤2时,|PA|的最小值为|a|,点P的坐标 为(0,0);当a>2时,|PA|的最小值为 2 a-1, P点的坐标

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为(a-2,〒 2 a-2 ).

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【例】若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆(x-3)2+y2=1上,求 |PQ|的最小值. 【审题指导】可知P,Q均为动点,可借助于圆的几何性质,

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将两动点转化为动点到定点的距离问题,由二次函数求最 值处理,也可转化为曲线相切问题,利用判别式为0求得.

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【规范解答】方法一:设P(y2,y),圆心为A(3,0), |PA|= (y2 -3)2 +y2 = y4 -5y2 +9, 当y2=
5 时,|PA|有最小值为 11 , 2 2

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当点Q在PA线上时,|PQ|取最小值,
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又∵圆的半径为1,∴|PQ|min=

11 -1. 2

方法二:如图所示,要求|PQ|min,
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只需以A为圆心,以b为半径的圆

与抛物线相切,求得b值,再由
b-1即得.

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将(x-3)2+y2=b2(b>1)与y2=x
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联立,得 x2-5x+9-b2=0, 由Δ=25-4(9-b2)=0,解得b= 11 (b=- 11 舍). ∴|PQ|min= 11 -1.
2 2 2

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【典例】(12分)设抛物线y2=mx(m≠0)的准线与直线x=1
的距离为3,求抛物线的方程. 【审题指导】解答本题的关键是求得准线的方程,由于m的

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正负未定,所以应分情况讨论.

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【规范解答】当m>0时,2p=m,∴p= m ,
2

…………2分

抛物线的准线方程为x=- m ,
4

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依题意,1-(- m )=3,∴m=8,……………………4分
4

∴抛物线的方程为y2=8x. …………………………5分
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当m<0时,2p=-m,∴p=- m ,
2 m 抛物线的准线方程为x=- , 4

………………………7分

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依题意|1+ m|=3,
4

∴m=8或m=-16,……………………………………9分 显然m=8不合题意,∴m=-16,……………………10分

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∴抛物线的方程为y2=-16x.………………………11分
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综上,抛物线的方程为y2=8x或y2=-16x. ……………………………………………………12分

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:
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1.设抛物线的顶点坐标为(0,2),准线方程为y=-1,则 它的焦点坐标为( (A)(5,0) ) (C)(0,-2) (D)(0,5)

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(B)(0,3)

【解析】选D.准线与对称轴的交点与焦点关于顶点对称,
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由已知得准线与对称轴的交点为(0,-1), 则焦点坐标为(0,5).

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2.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M到x轴

的距离是(
(A) 17
16

)
(B)
7 8

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(C)1

(D)
1 4

15 16

【解析】选D.抛物线化成标准方程为x2= y,准线方程
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为y=- 1 , M到准线的距离为1,所以点M到x轴的距离等
16 于1- 1 ? 15 . 16 16

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3.抛物线y=x2上的一动点M到直线l:x-y-1=0距离的最小值 是(
8

) (B) 3
8

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(A) 3 2

(C) 3
4

(D) 3 2
4

【解析】选A.设点M(x,x2),则点M到直线l的距离为
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2 1 3 [(x ? ) 2 ? ], 2 2 4 2 ∴当x= 1 时,d取最小值,为 3 2 . 2 8 d? ?

x ? x2 ?1

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4.边长为1的等边△AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点且

过A,B的抛物线方程是______.
【解析】依题意,A,B两点关于x轴对称,
3 1 ),设抛物线方程为y2=mx(m≠0), , 2 2 ∴( 1 )2=m·(〒 3 ),∴m=〒 3 , 2 6 2 故抛物线的方程为y2=〒 3 x. 6 答案:y2=〒 3 x 6

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取A(〒
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5.求分别适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4; (2)顶点是双曲线16x2-9y2=144的中心,准线过双曲线的左 顶点,且垂直于x轴.

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p 【解析】(1)由题意知, =4,∴p=8,∴抛物线的标准方程
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2

为x2=〒16y. (2)双曲线方程16x2-9y2=144化为标准方程为
x y =1,中心为原点,左顶点为(-3,0), ? 9 16
2 2

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∴抛物线的顶点在原点,准线为x=-3, 由题意可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),

∴ p =3,p=6,
2

∴抛物线的标准方程为y2=12x.

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