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2015-2016学年1.1.2《导数的概念》课件


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1.1.2

导数的概念

内容:利用导数的概念求导数

导数的 概念
应用

求函数在某处的导数 求函数在某点附近的平均 变化率

本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平 均变化率的一般步

骤 .在问题引入、概念形成及概念深 化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学 生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究 ,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上, 组织学生研讨自己在探究中的发现 ,通过互相交流、补 充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上 升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平 均变化率的求法给出3个例题,通过解决具体问题强调 正确应用平均变化率的重要性。 在讲述平均变化率的应用时,采用例题与思考与 探究相结合的方法,通过3个例题。随后是课堂检测, 通过设置难易不同的必做和选做试题,对不同的学生 进行因材施教。

平均变化率 复习:
一般的,函数 f ( x) 在区间上 [ x1 , x2 ] 的平均变化率为

其几何意义是表示曲线上两点连线(就是曲线

的割线)的斜率。

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度为h

(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s )存在函数关系
h=-4.9t2+6.5t+10 求t=2时的瞬时速度? 我们先考察t=2附近的情况。任取一个 时刻2+△t,△t是时间改变量,可以 是正值,也可以是负值,但不为0. 当△t<0时,在2之前; 当△t>0时,在2之后。
计算区间? 2 ? ?t , 2? 和区间? 2, 2 ? ?t ? 内平均速度v, 可以得到如下表格.

h

o

2

t
△t>0时 2+△t

△t<0时 2+△t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. ?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
当△t = – 0.01时, 当△t = – 0.001时,
当△t = –0.0001时,
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
当△t = 0.01时, 当△t =0.001时, 当△t =0.0001时,
△t = 0.00001, △t =0.000001,

……

……

我们发现,当?t趋近于0 时,即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个 确定的值 ? 13.1.

从物理的角度看, 时间间隔 | ?t | 无限变小时, 平均 速度v就无限趋近于t ? 2时的瞬时速度因此 . , 运动员在 t ? 2时的瞬时速度是 ? 13.1m / s.

h?2 ? ?t ? ? h?2? 为了表述方便 , 我们用 lim ? ?13.1 ?t ? 0 ?t 表示"当t ? 2, ?t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 ? 13.1".

1、函数的平均变化率怎么表示?

我们称它为函数y=f ? x ? 在x=x 0处的导数, 记作:f ? ? x 0 ? 或y?
x=x 0

定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 ,即

导数的作用:
导数可以描绘任何事物的瞬时变化率
在问题2中,高度h关于时间t的导数是运动

员的瞬时速度;
在问题1中,我们用的是平均膨胀率,那么 半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率.

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的 基本方法是:

注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形 式,Δy也必须选择与之相对应的形式.

一差、二商、三极限

求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率, 并求出在该点处的导数.

(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点在t=3的瞬时
速度.

例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.

解:Δy ? f (1 ? Δx) ? f (1) ? 3(1 ? Δx) ? 3 ? 6Δx ? 3(Δx)
2

2

Δy 6Δx ? 3(Δx)2 ? ? 6 ? 3Δx Δx Δx Δy ' f (1) ? lim ? lim (6 ? 3Δx) ? 6 ? x ?0 Δx ? x ?0

例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率,

并求出在该点处的导数.

解:Δy ? f (?1 ? Δx) ? f (?1)
? ?(?1 ? Δx)2 ? (?1 ? Δx) ? [?(?1)2 ? (?1)] ? ?(Δx) ? 3Δx
2

Δy ?(Δx)2 ? 3Δx ? 平均变化率 ? ? ? Δ x ? 3 Δx Δx Δy ' ? f (?1) ? lim ? lim (?Δx ? 3) ? 3 ? x ?0 Δx ? x ?0

例1.(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点在t=3的瞬时

速度.

解:Δs ? f (3 ? Δt ) ? f (3)

? (3 ? Δt ) ? 3 ? (3 ? 3)
2 2

? (Δt ) ? 6Δt
2

Δs (Δt ) 2 ? 6Δt ? Δt ? 6 ? Δt Δt Δs ' ? f (3) ? lim ? lim(Δt ? 6) ? 6 Δt ?0 Δt Δt ?0

(1)求函数y=x2在x=1处的导数;

f ' (1) ? (或表示成 2 y? |x?1 ? 2).
1 (2)求函数 y ? x ? 在x=2处的导数. x

3 3 f (2) ? (或表示成y? |x ? 2 ? ) . 4 4
'

例2 :已知函数y ? x在x ? x0处附近有定义, 且y ' |x ? x0 ? 1 , 求x0的值. 2

解 :? ?y ? x0 ? ?x ? x0 ,
? ?y ? ?x ? x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ? ?x ?x ( x 0 ? ? x ? x 0 ) 1 . x 0 ? ?x ? x 0

? lim

?y 1 1 ? lim ? , ?x ?0 ?x ?x ?0 x0 ? ?x ? x0 2 x0

1 1 1 由y'| x ? x0 ? , 得 ? ,? x0 ? 1. 2 2 x0 2

f ( x0 ? 2h) ? f ( x0 ) 设f(x)在x=x0附近有定义,且 lim ? 1, h ?0 h 求f ' ( x0 )的值。

1 答案 : f '( x0 ) ? ? 2

解:在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f ? 2?
'

?y f ?2 ? ?x ? ? f ?2 ? ? 根据导数的定义 , ?x ?x ?2 ? ?x ?2 ? 7?2 ? ?x ? ? 15 ? ?22 ? 7 ? 2 ? 15? ? ?x

和 f ' ?6?.

4 ?x ? ?x 2 ? 7?x ? ? ?x ? 3, ?x ?y ' ? ? 所以, f 2 ? lim ? lim ??x ? 3? ? ?3, ?x ?0 ?x ?x ?0

同理可得 f ' ?6? ? 5.

在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为 ? 3与5. 它说明: 在第2h附近, 原油温度大约以30 C / h的速率下降; 在6h附近, 原油温度大约以50 C / h的速率上升.

一般地, f ' ? x0 ?反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.

计算第3(h)和第5(h)时,原油温度的瞬时
变化率,并说明它们的意义。

这说明:

在第3小时附近,原油温度大约以1的速率下降,
在第5小时附近,原油温度大约以3的速率上升。

1.求物体运动的瞬时速度: (1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

?s ; (2)求平均速度 v ? ?t ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) . (3)求极限 lim ?t ? lim ?t
?x ?0 ?x ?0

2.由导数的定义可得求导数的一般步骤:
(1)求函数的增量Δ y=f(x0+Δ t)-f(x0)
?y (2)求平均变化率 ? x
'

?y (3)求极限 f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x

必做题: 1.如果质点 A 按照规律 s ? 3t 2 运动,则在 t ? 3 时的瞬时 速度为

18
1 x

. 在 x ? 1 处的导数等于

2.函数 y ? x ?

0 3

. .

3.设函数 f ( x) ? ax ? 3 ,若 f '(1) ? 3 ,则 a ?

选做题: 1.设函数 f ( x) 可导,则 ?lim x ?0
f (1 ? ?x) ? f (1) ? 3?x

1 f ?(1) 3 .

2.质点 M 按规律 s ? 2t 2 ? 3 做直线运动(位移单位: cm ,时 间单位: s ),求质点 M 在 t ? 2 时的瞬时速度,并与运用匀 变速直线运动速度公式求得的结果进行比较.8cm / s 3.设函数
lim f ( x) 可导,且满足条件 ? x ?0 f (1) ? f (1 ? ?x) ? ?1 ,求 2?x

f ?(1) f ?(1) ? ?2


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