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华西英才暑假培训班初三升高一数学教材


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第一章
1.1 集合

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集合与函数概念

1.1.1 集合的含义与表示 (1) 元素:一般地,我们把研究的对象称为元素(element) 。 元素通常用小写字母 a,b,c?表示。 (2) 集合:把一些元素组成的总体叫做集合(set) (简

称为集) 。 集合通常用大写字母 A,B,C?表示。 课文说“我们一般用花括号‘{}’表示集合” ,也就是赋予了符号“{}”新的含义:表 示“所有的”“全部的” 、 ,具有共同特征的研究对象都在大括号内。 注意:{正数}表示所有大于 0 的实数组成的集合。这种表示是正确的。 但是{所有的正数}这种表示方法是错误的。因为“{}”已经包含“所有的”含义。 (3) 元素与集合的关系:元素与集合的关系有“属于”和“不属于”两种。 元素 a 属于集合 A,记作 a ? A;元素 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 ① 符号 ? 和 ? 是表示元素与集合之间的关系的, 不能用来表示集合与集合之间的关系。 ② a ? A 与 a ? A 取决于 a 是不是集合 A 中的元素。两种情况有且只有一种成立。 (4) 集合中元素的特征:①确定性;②互异性;③无序性。 (5) 集合的分类:①有限集;②无限集。 (6) 集合的表示方法: ① 自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法时注意叙述清楚。 如:大于 1 且小于 10 的偶数构成的集合 注意:用自然语言描述集合不要出现花括号{}。 ② 列举法:将集合中的元素一一列举出来,写在花括号内表示集合的方法。 注意元素不能重复且元素之间用分隔号“,。 ” 如:所有正奇数的集合为{1,3,5,7,9,?} ③ 描述法:把集合中元素的共同特征描述出来,写在花括号内表示集合的方法,它的 一般形式是{x ? I|P(x)},其中“x”是集合中元素的代表形式,它的范围是 I; “P(x)” 是集合中元素 x 的共同特征,竖线不可省略。 如不等式 2x-5>1 的解集可表示为{x|x > 3}或{x ? R|2 x -5>1}或{x|2 x -5>1} ④ 韦恩(Venn)图法:为了形象地表示集合,常画一条封闭的曲线,用它的内部来表 示一个集合的整体。 ⑤ 区间法: (将会在后面的“1.2 函数的概念及其表示法”中学习到。 ) (7) 特殊集合的表示: 对于一些常用的数集,我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合: ①非负整数集(或自然数集)记作 N;②正整数集记作 N+或者 N*;③整数集记作 Z; ④有理数集记作 Q;⑤实数集记作 R。 [例 1]考查下列每组对象能否构成一个集合: (1)著名数学家; (2)月成辅导学校所有高个子同学; (3)直角坐标平面内第一象限的一些点; (4) ? 的近似值的全体; (5)不超过 10 的非负数。

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[例 2]用符号 ? 或 ? 填空: (1) 2 3

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{x x ? 11},2 3
{ y y ? x 2 }, ?1, ( 1)

{x x ? 3} ; (2) 3
{( x,y) ? x 2 } 。 y

{x x ? n 2 ? 1,n ? N * } ;

1 (3) (?1, )

[例 3]按要求分别表示下面的集合: (1)用自然语言描述集合{0,2,4,6,8,?}; (2)用列举法表示集合{30 的正约数}; (3)用描述法表示集合“正偶数集” ; (4)用描述法表示集合{2,-4,6,-8,?,98,-100}; (5)用列举法表示集合{(x,y)|x+y=3,x ? N,y ? N}。
2 2 2 [例 4]下面三个集合:① {x y ? x ? 1} ;② { y y ? x ? 1} ;③ {( x,y ) y ? x ? 1} 。

(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?

2 ? x ?3 3 [例 5]由实数 x, x, , x , x 所组成的集合,最多含有元素的个数为()

A.2

B.3

C.4

D.5

[例 6]已知集合 M={-2, 3x 2 ? 3x ? 4, 2 ? x ? 4} ,若 2 ? M,求 x。 x

[例 7]若 ? 3 ?{a ? 3, a ? 1 a ? 1 ,求实数 a 的值。 2 , }
2

[例 8]设集合 A={1, a , b },B={ a , a , ab },且 A=B,求实数 a, b 。

2

[例 9]已知集合 S={a,b,c}中三个元素分别是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
2 [例 10]已知集合 A ? {x ax ? 3 x ? 2 ? 0} ,其中 a 为常数且 a ? R。

(1) 若集合 A 是空集,求 a 的范围; (2) 若集合 A 只有一个元素,求 a 的值; (3) 若集合 A 中至多有一个元素,求 a 的范围。

2

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1.1.2 集合间的基本关系 (1) 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们 说集合 A 包含于集合 B,或说集合 B 包含集合 A,记作:A ? B(或 B ? A) 。这时我们也 说集合 A 是集合 B 的子集。 注意:①当 A 不是 B 的子集是记作 A B(或 B A) ;②任何一个集合是它本身的子集, 即 A ? A;③空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,通常记为 ? ;④空集是任何集合的 子集,即 ? ? A;⑤子集具有“传递性” ,即:如果 A ? B,B ? C,那么 A ? C。 (2) 集合相等:如果集合 A 中的任何一个元素,都是集合 B 中的元素,同时集合 B 中的 任何一个元素都是集合 A 中的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,记作 A=B。 根据集合相等的定义可知:要证明 A=B,只要证明 A ? B 且 B ? A 成立即可。 (3) 真子集:如果 A ? B,且 A≠B,就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B 注意:空集是任何非空集合的真子集。 (4) 有限集合的子集个数问题: ① n 个元素的集合有 2 个子集;
n ② n 个元素的集合有 2 ? 1 个真子集; n ③ n 个元素的集合有 2 ? 1 个非空真集。
2 [例 11]已知集合 A= { -1,3,2 m -1 } , B= { 3, m } 。若 B ? A ,求实数 m 的值。

n

2 [例 12]已知集合 P ? {x x ? 1} ,集合 Q ? {x ax ? 1 ,若 Q ? P,求 a 的值。 }

2 [例 13]已知集合 A ? x | x ? x ? 6 ? 0 , B ? ?x | mx ?1 ? 0? ,且 B ? A ,求 m 取值范围。

?

?

[例 14]下列各组中的两个集合相等的有() ① P ? {x x ? 2n,n ? Z} Q ? {x x ? 2(n ? 1),n ? Z} ; , ② P ? {x x ? 2n ?1 n ? N? } Q ? {x x ? 2n ? 1 n ? N? }; , , ,

Q ③ P ? {x x ? x ? 0}, ? {x x ?
2

1 ? ( ?1) n ,n ? Z } 2
D. ①②
3

A. ①②③

B. ①③

C. ②③

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出所有的满足条件的集合 M。

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[例 15]已知集合 M 满足{1,2} ? M ? {1,2,3,4,5},满足条件的集合 M 有多少个?写

[例 16]设集合 M={ x A.M=N

x?3 ? 0 },集合 N={ x ( x ? 4)(x ?1) ? 0 },则 M 与 N 的关系是() x?2
C. M ? N D.M ? N

B.M ? N

[例 17]已知 A={ x k ? 1 ? x ? 2k },B={ x 1 ? x ? 3 },且 A ? B,求实数 k 的取值范围。

1.1.3 集合的基本运算 (1) 并集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的并集。 记作 A∪B。读作:A 并 B。其含义用符号表示为: A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B} 用 Venn 图表示并集如下:

A

B

(2) 交集:由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集。 记作:A∩B。读作:A 交 B。其含义用符号表示为: A ? B ? {x x ? A,且x ? B} 。 用 Venn 图表示交集如下: B

A

(3) 交集与并集的运算性质: ① A ? A ? A,A ? A ? A ; ② A ? ? ? ?,A ? ? ? A ; ③ A ? B ? B ? A,A ? B ? B ? A ;

(A ④ ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ), ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) ;
⑤ A ? B ? A ? A ? B,A ? B ? A ? B ? A 。 (4) 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个 集合为全集,通常记作 U。
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(5) 补集:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,简称为集合 A 的补集。 其含义用符号表示为: CU A ? {x x ?U,且x ? A} 用 Venn 图表示交集如下:

U A CUA
(6) 补集与交集、并集的性质——反演律: ① CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ;② CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) 。 [例 18] 设 U={三角形},M={直角三角形},N={等腰三角形},则 M ? N= M ? N= CUN= CUM= CU(M ? N)=

[例 19] 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, 集合B ? { x |1 ? x ? 3}, 求A ? B.

2 2 [例 20] 设集合 A={x ? Z x ? px ? 15 ? 0 },集合 B={x ? Z x ? 5 x ? q ? 0 },若已知

A ? B={2,3,5},则集合 A、B 分别为( A.{3,5}、{2,3} B.{2,3}、{3,5}

) C.{2,5}、{3,5} D.{3,5}、{2,5}

2 2, 4, [例 21]已知全集 U ? {1, 3, 5},A ? {x x ? 5 x ? 4 ? 0} ,求 CU A 。

2 [例 22]已知集合 A ? {x x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0, x ? R} , B ? {x x ? 0,x ? R} ,若已知

A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围。

[例 23] 设 A={x x ? 4 x ? 0, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,其中 x ? R,如果 A ? B=B,
2 2 2

求实数 a 的取值范围。

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[例 24]已知 A ?

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?y y ? x
?

2

? 4 x ? 6, y ? N , B ? y y ? ? x 2 ? 2 x ? 18, y ? N ,求A ? B 。

?

?

?

[例 25]已知集合 A ? x x 2 ? px ? q ? 0 , B ? x x 2 ? px ? 2q ? 0 , 且A ? B ? ??1? , 求A ? B.

?

?

?

[例 26]设全集 U ? {a,b,c,d,e,f,g,h} 。已知 (CU A) ? (CU B) ? {a,e} ,

(CU A) ? (CU B) ? {a,b,c,e,f,g,h}, (CU A) ? B ? {c,g} , (CU B) ? A ? {b,f,h},
求集合 A 和集合 B。

[例 27] 若 M={ x n ? A. ?

x x ?1 , n ? Z },N={ x n ? , n ? Z},则 M ? N 等于( 2 2
C.{0} D.Z



B.{ ? }

[例 28]已知集合 A ?

?x x

2

? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 , C ? x x 2 ? mx ? 1 ? 0 ,

? ?

?

?

?

且A ? B ? A, A ? C ? C, 求a, m 的值或取值范围。

[例 29]定义 A—B={x|x∈A,且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},则 N—M=



[例 30]某班 50 个学生中,参加数学竞赛的 25 个,参加化学竞赛的 32 人,既参加数学竞 赛又参加化学竞赛的人数最多是几人?最少又是几人?

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1.2 函数的概念及其表示法

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(1) 函数的定义: ①传统定义:在某一个变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于在某一个范围内的任一 个 x 的值,都有唯一的 y 值与它对应,则称 y 是 x 的函数,x 叫自变量,y 叫因变量。 ②现代定义:设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x) ,x∈A,其中 x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫 做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做 函数的值域。 (2) 映射的定义:一般地,设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中 的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合 A、 B,以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B。如果 集合 A 中的元素 a 对应到集合 B 中的元素 b,那么其中集合 B 中的元素 b 是集合 A 中元素 a 对应的“象” 是 a 的“原象” ;b 。 由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求 A、B 非空且皆为数集。 对应有以下几种形式:
开平方 求正弦 求平方 乘以 2

9 4 1
(1)

3 ?3 2 ?2 1 ?1

30? 45? 60? 90?

1 2 2 2 3 2 1

1 ?1 2 ?2 3 ?3

1 4 9 (3)

1 2 3

1 2 3 4 5 6 (4)

(2)

其中:一对多(如①) 、多对一(如③) 、一对一(如②、④) 总结:①根据映射的定义知“一对多” (如①)不是映射;②A 中每一个元素都有象; ③B 中每一个元素不一定都有原象,不一定只一个原象;④A 中每一个元素的象唯一。 (3) 函数的定义域: 函数的定义域是自变量 x 的取值范围, 它是构成函数的重要组成部分, 如果没有标明定义域, 则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的 x 的取 值范围,但要注意,在实际问题中,定义域要受实际意义的制约。 如: y ? 正数; y ?

x 的定义域是非负实数;圆半径 R 与面积 S 的函数关系 S ? ?R 2 的定义域为

1 的定义域是非零实数?? x

注:求函数的定义域的常见类型 1.当 f(x)为整式时,定义域为R; 2.当 f(x)为分式时,定义域为使分母不为0的 x 的集合;

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3.当 f(x)为二次根式时,定义域为使被开方式非负的 x 的集合; 4.当 f(x)是由几个式子组成时,定义域是使得各个式子都有意义的 x 的值的集合。 (4) 函数的对应法则:对应关系 f 是函数关系的本质特征,y=f(x)的意义是:y 就是 x 在关系到 f 下的对应值,而 f 是“对应”得以实现的方法和途径。 如:f(x)=3x+5,f 表示自变量的 3 倍加上 5。 (5) 函数的值域:函数的值域:自变量 x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。 (6) 求函数的值域的常用方法: 1.观察法求函数值域 [例 31]求下列函数值域: (1) y ? ?3x ? 2 x ? [?1, 2] (2) y ? 1 ? x
2

x ?{?2, ?1,0,1, 2}

y?
(3)

3 ?1 x

(4)

?1, x ? 0 ? y ? ?0, x ? 0 ? ?1, x ? 0 ?

2.配方法求二次函数值域 [例 32]已知函数 y ? x ? 2x ? 3 ,分别求它在下列区间上的值域。
2

(1) x ? R ; (2) x ? [0, ??) ; (3) x ? [?2, 2] ; (4) x ? [1, 2] . 提示: (1)函数的定义域不同,值域也不同; (2)二次函数的区间值域的求法:①配方;②作图;③求值域。

3.部分分式法求分式函数的值域(分离常数法) [例 33]求函数 y ?

5x ? 4 的值域。 x ?1

4.利用“已知函数的值域”求值域 [例 34]求下列函数的值域: (1) y ? 1 ? 3x ;
2 (3) y ? 25 ? x ;

(2) y ?

x2 ? 2 x ? 3 ;
1 x ? 2x ? 3 .
2

y?
(4)

5.换元法求函数值域 [例 35]求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。

6.判别式法求函数值域

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[例 36] 求函数 y ? 1 ? 2x ? x 的值域。

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(7) 两个函数相等的定义:函数的定义含有三个要素,即定义域、值域和对应法则。当函 数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义 域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同 时,这两个函数才是同一个函数。 [例 37]试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=

x ? 0, ?1 |x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

(3)f(x)= x

x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;

(4)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。
提示:对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数

(8) 区间的概念:设 a、b 是两个实数,且 a<b,我们规定: ① 满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]; ② 满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为(a,b); ③ 满足不等式 a≤x<b 和 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a, b)、(a,b ] ;

? ④实数集合 R 可以用区间表示为 (??, ?) , ? ”读作“无穷大”“ ? ? ”读作“负 “ ,
无穷大” 我们可以把满足不等式 x ? a,x ? a,x ? b,x ? b 的实数 x 的集合分别 。

? (a ? (?? (?? b 表示成 [a, ?), , ?), ,b), ,] 。
(9) 复合函数的定义域及其求法:若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y ? f [ g ( x)] 称为 复合函数,u 称为中间变量,它的取值范围是 g(x)的值域。 ①已知 f (x) 的定义域, f [? ( x)] 的定义域, 求 其实质是由 ? (x) 的取值范围求 x 的范围。 ②已知 f [? ( x)] 的定义域, f (x) 的定义域, 求 其实质是由 x 的取值范围求 ? (x) 的范围。

2 [例 38]已知 y ? f (x) 的定义域是 (0,] ,求下列各函数的定义域:
① y ? f (x ) ;
2

② y ? f ( 2x ?1) ;

③ y ? f ( x ? 2)

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(10) 函数的表示法: 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。优点:简明;给自变量求函数值。 图像法:用图像表示两个变量之间的对应关系。优点:直观形象,反应变化趋势。 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系。优点:不需计算就可看出函数值。 具体实例如:二次函数等;股市走势图; 列车时刻表;银行利率表。 [例 39]某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,?,一直分裂下去. ①用列表表示 1 个细胞分裂 1、2、3、4、5、6、7、8 次后,得到的细胞个数; ②用图像表示 1 个细胞分裂的次数 n(n?N+)与得到的细胞个数 y 之间的关系。

(11) 分段函数:有些函数在其定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围,对应关系也不 同, 这样的函数通常称为分段函数。 分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的 不同表达式,所以它的图像也由几部分构成。但是分段函数虽然由几部分构成,但它代表的 是一个函数。 求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类” ,即自变量的取值属于哪一段,就用哪 一段的解析式。 作分段函数的图像时,则应分段分别作出其图像,在作每一段图像时,无不管定义域的 限制,用虚线作出其图像,再用实线保留定义域内的一段图像即可。 [例 40]某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定: ⑴乘坐公共汽车 5 公里以内,票价 2 元; ⑵5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算) 。 已知两个相邻的公共汽车站间相距为 1 公里,如果沿途(包括起点站和终点站)设 20 个汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象。 设票价为 y,里程为 x,则根据题意,如果某空调汽车运行路线中设 20 个汽车站,那么 汽车行驶的里程约为 20 公里,所以自变量 x 的取值范围是 ?0,2? 。 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:

( ? 2, 0 ? x ? 5) ? 3, 5 ? x ? 10) ? ( y= ? ( ?4,10 ? x ? 15) ?5,15 ? x ? 20) ? (
根据这个函数解析式,可画出函数图象(如图) 像上面那样表示的函数称为分段函数 注意:1.表示函数的式式可以不止一个,对于分几 个式子表示的函数,不是几个函数而是一个分段函数 2.函数的图象不一定是一条式几条无限长的 平滑曲线,也可以是一些孤立的点,一些线段,曲线。 (12) 函数图像的作法:①描点法;②变换作图法(平移、对称、其它) [例 41]作出下列函数的图像:

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?( x ? 1) 2 , x ? 0) ( ①y?? ; 2 x, x ? 0) ( ?
② y ? x ? 2x ? 1 ;
2

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③y?

1? x2 x x2 ?1

(13) 用代入法和待定系数法求函数的解析式: ①代入法:如已知 f ( x) ? x 2 ? 1 ,求 f ( x ? x 2 ) 时有: f ( x ? x 2 ) ? ( x ? x 2 ) 2 ? 1 ; ②待定系数法:已知 f (x ) 的函数类型,要示 f (x ) 的解析式时,可根据类型设解析式,从 而确定其系数即可。 [例 42]已知 f (x ) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f (x ) 。

③换元法:已经函数 f [ g ( x)] 求 f (x ) 时,令 t ? g (x) ,再求 f (t ) ,然后用 x 代替 t 即可。 除上述方法以外,还有“拼凑法”“方程组法”等。 、 [例 43]求下列函数的解析式: 1.已知 f ( x) ? x 2 ? 2 x, f (2 x ? 1); 求 (代入法)

2.已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x, f (x ) ; 求 (换元法,拼凑法)

3.已知 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ? 2 ,求 f (x) 。 (方程组法)

1 x

[例 44]已知函数 f ? x ? ? ?

? x x ? 0,
2 ? x x ? 0,

试求 f { f [ f (?2)]}的值。

1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值 (1)如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y ? f (x) 的图象,根据图象说出 y ? f (x) 的单 调区间,及在每一单调区间上, y ? f (x) 是增函数还是减函数。 解:函数 y ? f (x) 的单调区间有 ?? 5,?2?, ?? 2,1?, ? ,3?, ?3,5? , 1

y

y
11

-5

-

0

5

x 5x

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其中 y ? f (x) 在区间 ?? 5,2? ,

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?1,3? 上是减函数,在区间 ?? 2,1?, ?3,5? 上是增函数。
注意:1 单调区间的书写 2 各单调区间之间的关系

(2)增函数与减函数的定义:一般地,设函数 f (x) 的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2 ,当 x1 ? x2 时,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数 f (x) 在区间 D 上是增函数;
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2 ,当 x1 ? x2 时,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数 f (x) 在区间 D 上是减函数。
根据函数的单调性的定义判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤: ①取值:在给定区间上任取两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ; ②作差变形:作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形; ③定号:判断上述差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号,若不能确定,则可分区间讨论; ④结论:根据差的符号,得出单调性的结论。 [例 45]求证:函数 f ( x ) ? ?

1 ? 1 在区间 (??,0) 上是单调增函数。 x

提示:按照上面所给步骤的格式进行证明。

[例 46]求证:函数 f ( x) ? x ? x 在 R 上是增函数。
3

[例 47] (1)已知函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,3] 上是减函数, 求实数 a 的取值范围;
2

(2)已知 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 的单调递减区间是 (??,3] , 求实数 a 的取值范围。
2

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[例 48]讨论函数 f ( x ) ?

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ax ? 1 1 (a ? ) 在 (?2,??) 上的单调性。 x?2 2

(3)复合函数的单调性: 设 y ? f (x) ,u ? g (x) , x ? [a, b] ,u ? [m, n] 都是单调函数,那么 y ? f [ g ( x)] 在区 间 [ a, b] 上也是单调函数。并且: ①若 y ? f (x) 是 [ m, n] 上增函数,则 y ? f [g (x )] 与定义在 [ a, b] 上的函数 u ? g (x) 单调性相同。 ②若 y ? f (x) 是[ m, n] 上减函数,则 y ? f [ g ( x)] 与定义在[ a, b] 上的函数 u ? g (x) 单调性相反。 即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函 数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正” ) [例 49]已知 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,试讨论函数 f (5 ? x 2 ) 的单调性。

(4)函数最大(小)值的定义: 一般的,设函数 y ? f (x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: ①对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ;②存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M 。 那么我们称 M 是函数 y ? f (x) 的最大值。 下图为函数 y ? f ( x), x ? [?4,7] 的图像,指出它的最大值、最小值及单调区间。 y 3 2 -1.5 1 -4 -3 -2 -1 O 1 -1 -2 2 3 4 5 6 7 x

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[例 50]求下列函数的最小值: 1. y ? x 2 ? 2 x 2. y ?

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1 , x ? [1,3] x

3. y ?

2x ? 1 ? x

[例 51] 函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在闭区间 [0, m ] 上有最大值 3,最小值 2,求 m 的取值范围。

? 2x ? 3 x ? 0 ? [例 52]函数 y ? ? x ? 3 0 ? x ? 1 的最大值是多少? ? ? x ?5 x ?1 ?

[例 53] 求 f ( x) ?

1 的最大值为。 1 ? x(1 ? x)

1.3.2 奇偶性 引:对于 f(x)=x、f(x)=x 、f(x)=x 、f(x)=x ,分别比较 f(x)与 f(-x)。 (1)偶函数:一般地,如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) , 那么函数 f (x) 就叫做偶函数。 奇函数:一般地,如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) , 那么函数 f (x) 就叫做奇函数。 (3)奇偶性:如果函数 f (x) 是奇函数或偶函数,那么就说明函数 f (x) 具有奇偶性。 (4) 正确理解函数奇偶性的定义。 定义是判断或讨论函数奇偶性的依据, 由定义知, x 是 若 定义域中的一个数值,那么- x 也必然在定义域中,因此,函数 y ? f (x) 是奇函数或偶函数 的一个必不可少的条件是:定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。换言之,所给函数的
14
2 3 4

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定义域若不关于原点对称,则这个函数必不具有奇偶性。 无奇偶性的函数是非奇非偶函数; 若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质, 则既是 奇函数,又是偶函数。 (5)两个奇偶函数四则运算的性质: ①两个奇函数的和仍为奇函数; ②两个偶函数的和仍为偶函数; ③两个奇函数的积是偶函数; ④两个偶函数的积是偶函数; ⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。 [例 54]判别下列函数的奇偶性: 1 3 x f(x)=|x+1|+|x-1|、f(x)= 2 、f(x)=x+ 、 f(x)= 、f(x)=x 2 ,x∈ [-2,3] x 1 ? x2 x 提示:函数奇偶性判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、比 商法判别 f(x)与 f(-x)的关系。 思考:f(x)=0 的奇偶性?

[例 55]设 f(x)=ax +bx+5,已知 f(-7)=-17,求 f(7)的值。

7

[例 56]已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)-g(x)=

1 ,求 f(x)、g(x)。 x ?1

[例 57]已知函数 f(x),对任意实数 x、y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),试判别 f(x)的奇偶性。

[例 58]已知 f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为 4,那么 f(x)在[-7,-3]上是 数,且最 值是 。 [例 59]已知函数 f(x)=ax 2 +bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求函数值域。



(6)函数的奇偶性与单调性之间的关系: 一般地,若 f (x) 为奇函数,则 f (x) 在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性;若 f (x) 为 偶函数,则 f (x) 在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性。请大家试证明之。 [例 60]定义在 (?1,1) 上的奇函数 f (x) 在整个定义域上是减函数,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 , 求实数 a 的取值范围。

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? [例 61]已知函数 y ? f (x) 是偶函数,在 x ? (0, ?) 上递减,且 f ( x) ? 0 ,试问:

g ( x) ?

1 0) 在 (??, 上是增函数还是减函数,并证明之。 f ( x)

(7)奇函数、偶函数的图像的性质: 如果一个函数是奇函数,则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形(奇函 数的图像不一定过原点) ;反之,如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称 图形,则这个函数是奇函数。 由于奇函数的图像关于原点对称,那么我们可以得出结论:如果奇函数 f (x) 的定义域 为 R 时,那么必有 f (0) ? 0 ,这是一个非常重要的结论,在许多与函数的奇偶性有关的综 合题型中求解函数的一些性质时往往需要用到它。 如果一个函数是偶函数,则这个函数的图像是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,如 果一个函数的图像是以 y 轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数。 根据上面的性质,我们也可以学习到画函数图像的另一种方法:如果知道一个函数的奇 偶性, 我们只要把它的定义域分成关于原点对称的两个部分, 得出其中一个部分的函数图像 和性质就可以推出这个函数在另一部分上的图像和性质。 [例 62] y ? f (x) 是偶函数,图像与 x 轴有四个交点,则方程 f ( x) ? 0 所有实根之和是() A.4 B.2 C.1 D.0

[例 63]若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是( (A) (??,2) (B) (2,??) ) (C) (??,?2) ? (2,??) (D) (-2,2)

? [例 64]设奇函数 f ( x ) 在 (0, ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式
f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为( x


, , (A) (?1 0) ? (1 ? ?) ? , (C) (??, 1) ? (1 ? ?)
[例 65]设函数 f ( x) ?

? 1) (B) (??, 1) ? (0, , 1) (D) (?1 0) ? (0,


( x ? 1)( x ? a ) 为奇函数,则 a ? x

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[例 66]设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) =________________.

1 对称, 2

[例 67]已知定义域为 R 的函数 f (x) 在 (8,??) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为 偶函数,则( (A) f (6) ? f (7) ) (B) f (6) ? f (9) (C) f (7) ? f (9) (D) f (7) ? f (10)

第一章 知识与能力同步检测(A) 一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? , A ? ?2, 4,5? ,则 Cu A ? ( A. ? B. ) D. ?1,3,5,7? ) D. (-1,5]

?2, 4,6?

C. ?1,3,6,7?

2.已知集合 A ? x ?1 ? x ? 3 , B ? x 2 ? x ? 5 ,则A ? B ? ( A. ( 2, 3 ) B. [-1,5] 3.图中阴影部分表示的集合是( ) A. A ? CU B C. CU ( A ? B) 4.方程组 ? B. CU A ? B D. C. (-1,5) U A B

?

?

?

?

CU ( A ? B)


?x ? 2 y ? 3 的解集是( ?2 x ? y ? 11

A.

, ?51?

B. ?1 5? ,

C.

, ??51??

D.

5 ??1,??

5.已知集合 A ? x x ? 3k , k ? Z , B ? x x ? 6k , k ? Z , 则 A 与 B 之间的关系是( ) A. A ? B B. A ? B C. A ? B ) C. y ? ) C. [3, ?? ) D. ( ?? ,3] ) D. 5 D. A ? B

?

?

?

?

6.下列函数与 y=x 表示同一函数的是( A. y ?

? x?
2

2

B. y ?

3

x3

x2

D. y ?

x2 x

7.函数 y ? x ? 6x 的减区间是( A . ( ?? ,2] 8.函数 y ? B. [2, ?? )

4 在区间 ?3,6? 上是减函数,则 y 的最小值是( x?2
B. 3 C. -2
17

A. 1

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9.下列说法错误的是( ) A. y ? x4 ? x2 是偶函数 B. 偶函数的图象关于 y 轴轴对称 C. y ? x3 ? x 2 是奇函数 D. 奇函数的图象关于原点中心对称 10.函数 f(x)= A. ?

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x ?1 ? 4 ? x 的定义域是(
B . ?1, 4 ? C. ?1, 4?

) D. ( ?? ,1) ? [4, ?? ]

11.函数 f(x)= ? A. 1

,x ?0 ?2 x ,则 f (?2) =( ? x( x ? 1) , x ? 0
B .2 C. 3

) D. 4

12. 某部队练习发射炮弹, 炮弹的高度 h 与时间 t 的函数关系式是 h ?t ? ? ?4.9t 2 ?14.7t ?18 则炮弹在发射几秒后最高呢( A. 1.3 秒 B. 1.4 秒 选择题答案 1 2 3 4 5 ) C. 1.5 秒 D 1.6 秒

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.已知集合 A ? ?a, b, c,? ,则集合 A 的真子集的个数是 14.函数 y ?

2? x 的定义域是 x ?1
5 3

15.已知 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? 8, f ? ?2? ? 10 ,则 f ? 2 ? ? 16. 对于函数 f ( x) ,定义域为 D,若存在 x0 ? D 使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 ( x0 , x0 ) 为 f ( x) 的图象 上的不动点。由此,函数 f ( x) ?

9x ? 5 的图象上不动点的坐标为 x?3

三、解答题(每大题 12 分,共 48 分) 17.已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 。 (1)当 m=3 时,求集合 A ? B ; (2)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围。

?

?

?

?

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18.已知 f ( x) ? (m2 ?1) x2 ? (m ?1) x ? n ? 2 ,当 m, n 为何值时, f ( x ) 为奇函数。

19.已知函数 f ? x ? ? ?x2 ? 2x 。 (1)讨论 f ? x ? 在 [1, ??) 上的单调性并证明之; (2)当 x ? ? 2,5? 时,求 f ? x ? 的最值。

20. 已知函数 f ? x ? ? x ? (1)求实数 m 的值;

m , 且此函数图象过点(1,5) 。 x

(2)判断 f ? x ? 奇偶性; (3) 讨论函数 f ? x ? 在 [2, ??) 上的单调性?并证明你的结论。

19

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第一章 知识与能力同步检测(B) 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.设集合 A ? {1, 2},则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是( A.1 2.已知集合 M={x| A.? B.3 C.4 D.8 ) )

x ,N={y|y=3x2+1,x?R} ,则 M?N=( ? 0} ( x ? 1) 3
B.{x|x?1} C. {x|x?1}

D.{x| x?1 或 x?0}

3.下列各组中的两个集合 M 和 N,表示同一集合的是( ) A. M ? {? } , N ? {3.14159} B. M ? {2,3} , N ? {(2,3)} C. M ? {x | ?1 ? x ? 1, x ? N} , N ? {1} D. M ? {1, 3, ? } , N ? {? ,1,| ? 3 |} ) D. {x | 0 ? x ? 2}

4.若 A ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 2} ,则 A ? B ? ( A. {x | x ? 2} B.

{x | x ? 1}

C. {x |1 ? x ? 2}

5.设集合 M ? {x | ?1 ? x ? 2} , N ? {x | x ? k ? 0} ,若 M ? N ? ? ,则 k 的取值范围是( ) A. (??,2] B. [?1,??) C. (?1,??) D.[-1,2] )

6.已知 f ( x) ? ax 7 ? bx 5 ? cx 3 ? 2 ,且 f (?5) ? m, 则 f (5) ? f (?5) 的值为( A. 4 B. 0 C. 2m D. ? m ? 4

7.某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑,跑累了再走余下的路,设在途中花的时间为 t,离开家里的路程为 d,下面图形中,能反映该同学的行程的是( ) d d d d

t O O

t O

t O

t

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A. B. C. D. 8.定义集合 A、B 的一种运算: A ? B ? {x x ? x1 ? x2 , 其中x1 ? A, x2 ? B} ,若 A ? {1, 2,3} ,

B ? {1, 2} ,则 A ? B 中的所有元素数字之和为(
A.9 B. 14 C.18 D.21



9.已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3), 若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1 ? a, 则( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 )



D. f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不能确定

10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ? 密文(加密) ,接收方由密文 ? 明 文(解密) ,加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b, 2b ? c, 2c ? 3d , 4d . 如明文

1, 2, 3, 4对应密文 5, 7,18,16. 当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时,解密得到明文为( )
A. 7, 6,1, 4 选择题答案 1 2 B. 6, 4,1, 7 3 4 5 C. 4, 6,1, 7 6 7 8 D. 1, 6, 4, 7 9 10

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11.函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?
5 3

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f f ?5? ? _____ f ? x?

? ?

12.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 若 f (?2) ? 10 ,求 f (2) =__________ 13.设 g ( x) ? ?

? 2 x ? 3 ,x ? 0 1 ? ,则 g ( g ( )) ? __________ 2 2 ? x ? x,x ? 0 ?

14.设 f ( x) ?

? x? ?2? 2? x ,则 g ( x) ? f ? ? ? f ? ? 的定义域为_____________ 2? x ?2? ? x?

三、解答题(一共四大题,共 44 分) 15. (本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 (a,b为实数),x ? R, ( x) ? ? F

( x ? 0) ? f ( x) ? ? f ( x) ( x ? 0)

(1)若 f (?1) ? 0, 且函数 f ( x ) 的值域为 [0, ? ?) ,求 F (x ) 的表达式;

2 (2)在(1)的条件下,当 x ? [?2,] 时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的
取值范围; a (3)设 m ? n ? 0 ,m ? n ? 0, ? 0 且 f (x ) 为偶函数,判断 F (m ) + F (n) 能否大于零?

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16. (满分 11 分) 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f [ f ( x) ? x 2 ? x] ? f ( x) ? x 2 ? x 。 (1)若 f(2)=3,求 f(1) ;又若 f(0)=a,求 f(a) ; (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式。

17. (本小题满分 11 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 。

6 (1)在区间 [ ? 2, ] 上画出函数 f (x) 的图像;
(2)设集合 A ? x f ( x) ? 5 , B ? ( ? ?, 2 ] ? [ 0, ] ? [ 6, ? ) 。试判断集合 A 和 ? 4 ?

?

?

B 之间的关系,并给出证明;
(3)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? kx ? 3k 的图像位于 f (x) 图像的上方。

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18. (本小题满分 11 分)

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设 a 为实数,记函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a) 。 (1)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) ; (2)求 g(a) ;

1 (2)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a。 a

第二章 基本初等函数(I)
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算 (1) 什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢? 归纳:若 x ? a ,则 x 叫做 a 的平方根。同理,若 x ? a ,则 x 叫做 a 的立方根。
2 3

根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方 根为 ?2 ,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如―8 的立方根为―2;零的平方根、 立方根均为零。 (2) n 次方根的概念 n 次方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广,根式记号是平方根、立 方根记号的推广。
n n 次方根:一般地,若 x ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n∈N ,当 n


为偶数时,a 的 n 次方根中,正数用 n a 表示,如果是负数,用 ? n a 表示, n a 叫做根式. 当 n 为奇数时,a 的 n 次方根用符号 n a 表示,其中 n 称为根指数,a 为被开方数。
?n为奇数, a的n次方根有一个,为n a ? a为正数:? ?n为偶数, a的n次方根有两个,为 ? n a ?

?n为奇数, a的n次方根只有一个,为n a ? a为负数:? ?n为偶数, a的n次方根不存在. ?

零的 n 次方根为零,记为 n 0 ? 0
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小结:一个数到底有没有 n 次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还 要分清 n 为奇数和偶数两种情况。

(3) 根据 n 次方根的意义,可得: ( n a )n ? a ,它肯定成立。而 n an 表示 a 的 n 次方根,
n

但是等式 n an ? a 一定成立吗?如果不一定成立,那么 n an 等于什么? 若 n 为奇数, n an ? a ; 若 n 为偶数,
n

?a, a ? 0 a n ?| a |? ? ??a, a ? 0

3 如 3 (?3) ?

3

?27 ? ?3, 4 (?8) 4 ?| ?8 |? 8

小结:当 n 为偶数时, n an 化简得到结果先取绝对值,再根据绝对值算具体的值,这 样就避免出现错误。 (4) 初中时的整数指数幂,运算性质有:

an ? a ? a ? a ??? a, a0 ? 1 (a ? 0) ,00 无意义 ; am ? an ? am?n ; (am )n ? amn ;
(5) 分数指数幂: 观察以下式子,并总结出规律: a >0 ① ③
5

a?n ?

1 an

( a ? 0)

(an )m ? amn , (ab)n ? anbn

a ? (a ) ? a ? a
10 5 2 5 2

10 5


5

a ? (a ) ? a ? a
8 4 2 4 10

8 2

4

a ? (a ) ? a ? a
12 4 3 4 3

12 4

④ a

? (a ) ? a ? a
5

2 5

2

10 5

为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * )
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同。 即: a
? m n

m

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * )

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义。 说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的 一种新的写法,而不是 a ? a ? a ??? a (a ? 0) 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂 的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即: 1) a ? a ? a
r s r S r ?s
n m 1 m 1 m 1 m

(a ? 0, r, s ? Q)

2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q)
rs

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3) (a ? b)r ? ar br (Q ? 0, b ? 0, r ? Q) [例 1] 求下列各式的值 (1) (1)
3

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(?8)3

(2)

( ?10) 2

(3)

4

(3 ? ? ) 4

(4)

( a ? b) 2

[例 2] 求出下列各式的值

(1) 7 (?2) 7

(2) 3 (3a ? 3)3 ( a ? 1)

(3) (3a ? 3) 4
4

[例 3] 若 a 2 ? 2a ? 1 ? a ? 1, 求a的取值范围

[例 4] 计算 3 (?8) 3 ? 4 (3 ? 2) 4 ? 3 (2 ? 3) 3

1 (2n?1 )2 ? ( )2 n?1 2 [例 5] 计算: 的结果 n ?2 48
[例 6] 若 a3 ? 3,

a10 ? 384, 求a3 ? [(

a10 1 n?3 ) 7 ] 的值 a3

(6) 与分数指数幂有关的混合运算: 四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号的. 整数幂的 运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序。 [例 7] 计算下列各式(式中字母都是正数) (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b )
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

(2) (m n )

1 4

?

3 8 8

[例 8] 计算下列各式(1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25
? 2 9

(2)

a2 a. 3 a2

(a >0)

(3) ( 9) 3 ( 10 ) 2 ? 100
3 2
5

2

(4) 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2

[例 9] 计算: (1) 73 3 ? 33 24 ? 63

1 4 3 ? 3 3; 9

7 0 ?1 3 ? ? ?0.25 (2) 0.0081 ? [3 ? ( ) ] ? [81 ? (3 ) 3 ] 2 ? 10 ? 0.0273 ; 8 8
?
3 1 1

1 4

1

1

1

(3) a 2 ? a

3

?3

? (a ?5 ) 2 (a 2 )13 ;
25

?

?

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4 3 1 3

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(4)

a ? 8a b 4b ? 2 ab ? a
3 2 3 2 3

? (1 ? 23

b 3 ) a; a

(5) 23 ? 6 10 ? 4 3 ? 2 2 。

[例 10](1)已知 2 ? 2
x

?x

? a (常数) 8 x ? 8? x 的值; ,求
1 1

(2)已知 x ? y ? 12 xy ? 9, ? y ,求 , x

x2 ? y2 x ?y
1 2 1 2

的值。

(3)已知 x 2 ? x

1

?

1 2

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值;

?3

2.1.2 指数函数及其性质 (1) 指数函数的定义: 函数 y ? a ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R。
x

思考:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) y ? 2
x?2

(2) y ? (?2) (7) y ? x
x

x

(3) y ? ?2

x

(4) y ? ?
x

x

(5) y ? x

2

(6) y ? 4 x

2

(8) y ? (a ?1)

( a >1,且 a ? 2 )
x

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为 a >0, x 是任意一个实数时, a 是一个 确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R。

?当x ? 0时,a x等于0 ? 若a ? 0, ? x ?当x ? 0时,a 无意义 ?

1 1 若 a <0,如 y ? (?2) x , 先时,对于x= , x ? 等等,在实数范围内的函数值不存在。 6 8
若 a =1, y ? 1 ? 1, 是一个常量,没有研究的意义,只有满足 y ? a (a ? 0, 且a ? 1)
x x
1

的形式才能称为指数函数, a为常数,象y=2-3x ,y=2x , y ? x x , y ? 3x ?5 , y ? 3x ? 1等等,不 符合 y ? a x (a ? 0且a ? 1)的形式,所以不是指数函数 。 (2) 指数函数图象的研究: 先来研究 a >1 的情况。用描点法画出函数 y ? 2 的图象:
x

取点列表如下(请填写空白部分) :

x

?3.00

?2.00

?1.00

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

26

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y ? 2x
1 2

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1

2

4

y

y=2x

4 0 x

再研究,0< a <1 的情况,完成以下表格并绘出函数 y ? ( ) 的图象
x

1 2

x
1 y ? ( )x 2

?2.00 ?1.50 ?1.00 0.00 1.00 2.00
2
x

1

?1? y?? ? ?2?

y

0 x

(3) 指数函数图象的特征和性质: 图象特征 0< a <1 a >1 向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数性质

a >1
非奇非偶函数

0< a <1

函数的定义域为 R 函数的值域为 R
+

27

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函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 自左向右, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1

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a 0 =1
增函数 减函数

x >0, a x >1

x >0, a x <1

x <0, a x <1

x <0, a x >1

(4) 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在 [a, b]上, f (x)=a x ( a >0 且 a ≠1)值域是 [ f (a), f (b)]或[ f (b), f (a)]; (2)若 x ? 0, 则f (x)? 1; f (x)取遍所有正数当且仅当x ? R; (3)对于指数函数 f ( x) ? a x ( a >0 且 a ≠1) ,总有 f (1) ? a; (4)当 a >1 时,若 x1 < x2 ,则 f ( x1 ) < f ( x2 ) ;

[例 11] 已知指数函数 f ( x) ? a x ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π ) , 求 f (0), f (1), f (?3)的值.

[例 12]求下列函数的定义域: (1) y ? 2

4 x ?4

(2) y ? ( )

2 3

| x|

[例 13] 比较下列各题中的各值的大小 (1)1.7
2.5

与 1.7

3

(2) 0.8
x

?0.1

与 0.8

?0.2

(3) 1.7

0.3



0.9

3.1

[例 14]设 x ? 0 ,且 a ? b ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系是( b ? a ?1 a ? b ? 1 C. 1 ? b ? a D. 1 ? a ? b A. B.
x

) )

[例 15]若函数 y ? 2 ? x?1 ? m 的图象不经过第一象限,则 m 的取值范围是( A. m ? ?2 B. m ? ?2 C. m ? ?1 D. m ? ?1 x x [例 16]已知函数 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 的值域为 ?1,7? ,则 x 的范围是( ) A. ?2,4? B. (??,0)
x

C. (0,1) ? ?2,4?
x

D. ?? ?,0? ? ?1,2?
x

[例 17]如图为指数函数 (1) y ? a , (2) y ? b , (3) y ? c , (4) y ? d , a, b, c, d 与 1 的大小 则 关系为 ( ) y A. a ? b ? 1 ? c ? d B. b ? a ? 1 ? d ? c a b c d C. 1 ? a ? b ? c ? d D. a ? b ? 1 ? d ? c
x

[例 18]已知函数 f ( x ) ? a ?
x

x?2 (a ? 1) , x ?1
O

x

28

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求证:函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数。

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[例 19]要使函数 y ? 1 ? 2 x ? a ? 4 x 在 x ? ?? ?,1? 上 y ? 0 恒成立。求 a 的取值范围。

[例 20]已知 2

x2 ? x

?1? ?? ? ?4?

x ?2

, 求函数 y ? 2 x ? 2 ? x 的值域。

[例 21]设函数 f ( x) ? 2

x ?1 ? x?1

,求使 f ( x) ? 2 2 的 x 取值范围。

x x [例 22](2004 全国错误!未找到引用源。理)解方程 4 ? 1 ? 2 ? 11

(2004 全国错误!未找到引用源。文)解方程 4 ? 2
x

x?2

? 12 ? 0

2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算 (1) 对数的概念: 一般地, a ? N (a ? 0, 且a ? 1) , 若 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 x ? loga N ,
x

a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
如: 42 ? 16, 则2 ? log4 16 ,读作“2 是以 4 为底,16 的对数” ;

4 2 ? 2 ,则

1

1 1 ? log 4 2 ,读作“ 是以 4 为底 2 的对数” 。 2 2

(2) 对数式与指数式的互化: 在对数的概念中,要注意: 1)底数的限制 a >0,且 a ≠1 2) a x ? N ? loga N ? x 指数式 ? 对数式 幂底数← a →对数底数 指 数← x →对数 幂 ←N→真数 说明:对数式 log a N 可看作一个记号,表示底为 a ( a >0,且 a ≠1) ,幂为 N 的指数

29

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x

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或表示方程 a ? N ( a >0,且 a ≠1)的解. 也可以看作一种运算,即已知底为 a ( a >0, 且 a ≠1)幂为 N,求幂指数的运算. 因此,对数式 log a N 又可看幂运算的逆运算。 (3) 两类特殊的对数: ① 以 10 为底的对数称为常用对数, log10 N 常记为 lg N . ② 以无理数 e=2.71828?为底的对数称为自然对数, log e N 常记为 ln N .

以后解题时, 在没有指出对数的底的情况下, 都是指常用对数, 100 的对数等于 2, 如 即 lg100 ? 2 . (4) 对数的运算: 对数式可看作指数运算的逆运算,这样我们能从指数与对数的关系以及指数运算性质, 得出相应的对数运算性质。 如: am ? an ? am?n , 设M ? am , N ? an。 于是 MN ? a
m? n

, 由对数的定义得到

M ? am ? m ? loga M , N ? an ? n ? loga N , MN ? am?n ? m ? n ? loga MN
得: loga M ? loga N ? loga MN 即:同底对数相加,底数不变,真数相乘。 根据指数的性质按照以上的方法可以推出对数的其它性质: 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那么: 1) loga MN ? loga M ? loga N 2) log a

M ? log a M ? log a N N

3) loga M n ? n loga M 4) log a b ?

(n ? R)

log c b (换底公式,换的底 C 只要满足 C>0 且 C≠1 即可。 ) log c a
1 1 m (3) ( ) ? 5.73 64 3 (5) log10 0.01 ? ?2 (6) loge 10 ? 2.303
?6

[例 23] 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)5 =645 (4) log 1 16 ? ?4
2
4

(2) 2

?

[例 24] 求下列各式中 x 的值 (1) log 64 x ? ?

2 3

(2) log x 8 ? 6

(3) lg100 ? x

(4) ? ln e ? x
2

30

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1 2

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[例 25] 将下列指数式与对数式互化,有 x 的求出 x 的值 . (1) 5
?

?
x

1 5

(2) log

4 2

?x

(3) 3 ?
x

1 27

(4) ( ) ? 64

1 4

(5) lg 0.0001 ? x

(6) ln e ? x
5

归纳小结: ① ab ? N ? b ? loga N (a >0 且 a ≠1) 1 的对数是零,负数和零没有对数 ②对数的性质

l o ag ? a
a loga N ? N

1 a >0 且 a ≠1

[例 26](1)求 a

log a b?log b c?log c N

的值(a,b,c ? R+ , 且不等于 1,N>0)

(2)计算 3

log3 5

? 3

log3

1 5

的值

[例 27] 判断下列式子是否正确, a >0 且 a ≠1, x >0 且 a ≠1, x >0, x > y ,则有 (1) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (3) log a (2) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (4) loga xy ? loga x ? loga y (6) log a x ? ? log a

x ? log a x ? log a y y

(5) (loga x)n ? n loga x (7) n log a x ?

1 x

1 log a x n

[例 28] 用 loga x , log a y , loga z 表示出(1) (2)小题,并求出(3)(4)小题的值。 、

xy (1) log a z
a b

(2) loga

x2 y
3

z

(3) log2 (4 ? 2 )
7 5

(4) lg 5 100

[例 29]已知 3 ? 5 ? c ,且

1 1 ? ? 2 ,求 c 的值。 a b

[例 30] 设 x ? 1 , y ? 1 ,且 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 ,求 T ? x ? 4 y 的最小值。
2 2

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[例 31] 解方程 log4 ?3x ? 1? ? log4 ?x ? 1? ? log4 ?3 ? x ? 。

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[例 32] 若 a ?

ln 2 ln 3 ln 5 ,则( ,b ? ,c ? 2 3 5
(B)c<b<a

) (D)b<a<c

(A)a<b<c

(C)c<a<b

[例 33] 已知二次函数 f ( x) ? ?lg a ? ? x 2 ? 2 x ? 4 lg a 的最大值是 3,求 a 的值。

[例 34]如果方程 lg2x+(lg7+lg5)lgx+lg7· lg5=0 的两根为 α、β,求 α·β 的值。

[例 35] 求值或化简 ⑴ log2

7 1 ? log2 12 ? log2 42 ? 1; 48 2

1 lg 9 ? lg 240 2 (2) ?1 2 36 1 ? lg 27 ? lg 3 5 1?

2.2.2 对数函数及其性质 (1) 对数函数的定义: 一般地,我们把函数 y ? loga x ( a >0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞) 注意两点: ①根据对数与指数式的关系,知 y ? loga x 可化为 a ? x ,根据指数的概念,要使
y

a y ? x 有意义,必须规定 a >0 且 a ≠1。
②因为 y ? loga x 可化为 x ? a ,不管 y 取什么值,由指数函数的性质, a >0,所以
y
y

x ? (0, ??) 。
(2) 研究对数函数的图象: 根据下表用描点法画出函数 y ? log2 x 的图象,并在同一坐标系里按同样的方法画出

y ? log0.5 x 的图象。 1 1 x 2

2 1

4 2

6 2.58

8 3

12 3.58

16 4

y
y

-1

0

32

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y ? log0.5 x

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x

y ? log2 x
注意到: y ? log 1 x ? ? log 2 x ,若点 ( x, y)在y ? log2 x 的图象上,则点
2

( x, ? y)在y ? log 1 x 的图象上. 由于( x , ? y )与( x , ? y )关于 x 轴对称,因此,
2

y ? log 1 x 的图象与 y ? log2 x 的图象关于 x 轴对称。
2

所以,由此我们可以画出 y ? log 1 x 的图象。
2

进一步探究:选取底数 a ( a >0,且 a ≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内 作出相应的对数函数的图象。观察下面的图象,你能发现它们有哪些特征吗?
4 以下是用多媒体画出 y ? log4 x , y ? log3 x , y ? log 1 x 和 y ? log 1 x 的图象:

y ? log3 x
2

3

4

y ? log4 x

-5

0

5

y ? log 1 x y ? log 1 x
4 3

-2

(3) 对数函数性质:
-4 图象的特征 (1)图象都在 y 轴的右边

函数的性质 (1)定义域是(0,+∞) (2)1 的对数是 0
x (3)当 a >1 时, y ? loga 是增函数,当

(2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当 a >1 时,图象 逐渐上升,当 0< a <1 时,图象逐渐 下降。

0< a <1 时, y ? loga x 是减函数。

(4)当 a >1 时,函数图象在(1,0) (4)当 a >1 时, x >1,则 loga x >0 点右边的纵坐标都大于 0,在(1,0)
33

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点左边的纵坐标都小于 0. 当 0< a < 1 时,图象正好相反,在(1,0)点右 边的纵坐标都小于 0,在(1,0)点左 边的纵坐标都大于 0。

新浪微博@华西英才教育 0< x <1, loga x <0

当 0< a <1 时, x >1,则 loga x <0 0< x <1, loga x <0

[例 36] 求下列函数的定义域 (1) y ? log a x2 (2) y ? loga (4 ? x) ( a >0 且 a ≠1)

[例 37] 比较下列各组数中的两个值大小 (1) log2 3.4 , (3) loga 5.1,

log2 8.5

(2) log0.3 1.8 ,

log0.3 2.7

loga 5.9 ( a >0,且 a ≠1)

[例 38] 已知函数 y ? f (2x ) 的定义域为[-1,1],则函数 y ? f (log 2 x) 的定义域为 [例 39] 求函数 y ? 2 ? log 2 x( x ? 1) 的值域。 [例 40] 已知 log m 7 < logn 7 <0,按大小顺序排列 m, n, 0, 1 [例 41] 已知 0< a <1, b>1,
b

ab>1。比较 log a

1 1 , log a b, log b 的大小 b b

[例 42]已知 log54 27 = a ,54 =3,用 a, b表示 log108 81 的值

2.3 反函数
(1)指数函数与对数函数的进一步研究: 用列表描点法在同一个直角坐标点中画出 y ? 2x 与y ? log2 x 的函数图象:

y ? 2x

x

? ?

-3

-2

-1

0 1

1 2

2 4

3 8

? ?

y

1 8

1 4

1 2

y ? log2 x

x

? ? 图象如下:

-3

-2

-1

0 1

1 2

2 4

3 8

? ?

y

1 8
y

1 8

1 2

y ? 2x
2

34

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y ? log2 x
0 1 x

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在指数函数 y ? 2x 中, x 是自变量, y 是 x 的函数( x ? R, y ? R? ) ,而且其在 R 上 是单调递增函数。过 y 轴正半轴上任意一点作 x 轴的平行线,与 y ? 2x 的图象有且只有一 个交点。由指 数式与对数式关系, y ? 2x 得x ? log2 y , 即对于每一个 y ,在关系 式

x ? log2 y 的作用之下,都有唯一的确定的值 x 和它对应,所以,可以把 y 作为自变量, x
作为 y 的函数,我们说 x ? log2 y是y ? 2x ( x ? R)的反函数 。 从我们的列表中知道, y ? 2x 与x ? log2 y 是同一个函数图象。 (2)反函数的定义: 设 A、 分别为函数 y ? f (x) 的定义域和值域, B 如果由函数 y ? f (x) 所解得的 x ? g ( y ) 也是一个函数 (即对任意的 y ? B , 都有唯一的 x ? A 与之对应) 那么就称函数 x ? g ( y ) 是 , 函数 y ? f (x) 的反函数,记作 x ? f 成y? f
?1
?1

( y) ,其中 y 是自变题,x 是因变量,习惯上常改写

( x)(x ? B,y ? A) 。

由反函数的概念可知,同底的指数函数和对数函数互为反函数。 如 y ? a x (a ? 1且a >1)的反函数是 y ? log a x(a >0 且 a ? 1) 。 (3)反函数的性质: ①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 ②若函数 y ? f (x) 有反函数,且该函数上有一点(a,b),则(b,a)必在其反函数的图象 上,反之若(b,a)在反函数图象上,则(a,b)必在原函数图象上。 (4)当函数 y ? f (x) 存在反函数时,求反函数的程序是: ① 由 y ? f (x) 解出 x ? f ② 将x? f
?1 ?1

( y) ;

( y) 中的 x 与 y 互换位置,得 y ? f ?1 ( x) ;
35

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③ 由 y ? f (x) 的值域,确定 y ? f
?1

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( x) 的定义域。

④ 求出反函数以后切记:一定要标明反函数的定义域! [例 43] 求下列函数的反函数: (1) y ? 5x (3) f ( x) ? lg( x ? (2) y ? log0.5 x

x 2 ? 2 ) ? lg 2

(4) y ?

2x ?1 2x ?1

(5) y ? ?

? x 2, 1 ? x ? 0) ? (? ? x 2 ? 1, ? x ? 1) (0 ?

2.4 幂函数
(1)幂函数的定义: 一般地,形如 y ? x ( x ? R)的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量, ? 是常数.
?

如 y ? x , y ? x3 , y ? x
2

1

?

1 4

等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基

本初等函数。 (2)幂函数的图象: 用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图象。

总结如下表:

36

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y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限 单调增减性 定点 R 奇 单调递增 (1,1)

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1

y ? x2
R 奇 单调递增 (1,1)

y ? x3
R 奇 单调递增 (1,1)

y ? x2

1

y ? x3
R R 单调递增 (1,1)

y ? x ?1

?x | x ? 0?
非奇非偶 单调递增 (1,1)

?x | x ? 0?
奇 单调递减 (1,1)

(3)幂函数的性质: ①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) (原因: 1 ? 1 ) ;
x

②α>0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数; ③α<0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数; 在第一家限内,当 x 向原点靠近时,图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴,当 x 慢慢 地变大时,图象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴。 [例 44] 证明幂函数 f ( x) ?

x在[0, ??] 上是增函数。

[例 45] 利用函数的性质 ,判断下列两个值的大小
1 1

(1) 2 6 ,

36

(2) ( x ? 1) 2 ,

3

3

x2

( x ? 0)

(3) (a ? 4) 4 , 4
2

?

2

?

2 4

分析:利用幂函数的单调性来比较大小。
2 3

[例 46]画出 y ? x 的大致图象,并求出其定义域、奇偶性,并判断和证明其单调性。

[例 47]已知函数 f ( x) ? x ?2m

2

?m?3

(m ? Z ) 为偶函数,且 f (3) ? f (5) 。

(1) 求 m 的值,并确定 f (x) 的解析式 (2) 若 g ( x) ? loga [ f ( x) ? ax](a ? 0, a ? 1) ,是否存在实数 a,使得 g (x) 在区间[2,3] 上为增函数。

37

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学法指津数形结合思想的应用
1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解, 且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解 决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形” ,使复杂问题 简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数 学的规律性与灵活性的有机结合。 2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图 象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概 念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
2 如 ? ?? ? 等2 ( 1 4 式2 y) ( ) x

3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可 起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数” 。 4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值 域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途 径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其 优越,要注意培养这种思想意识,要争取“胸中有图,见数想图” ,以开拓自己的思维视野。 [例 48] 若关于 x 方程 x ? 2kx ? 3k ? 0 的两根都在-1 和 3 之间,求 k 的取值范围。
2

2 分析:令 f ( x) ? x ? 2kx ? 3k ,其图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 f ( x) ? 0 的解。

由 y ? f (x) 的图象可知,要使二根都在-1,3 之间,只需要 f(-1)>0,f(3)>0,f(-k)<0 同时成 立即可,解得-1<k<0。

[例 49] 解不等式 x ? 2 ? x

38

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?x ? 0 解:法一、常规解法: 原不等式等价于 ( I ) ? x ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 ? x 2 ?

?x ? 0 或 ( II ) ? ?x ? 2 ? 0

解( I ) ,得0 ? x ? 2;解( II ) ,得 ? 2 ? x ? 0

综上可知,原不等式的解集为{x|?2 ? x ? 0或0 ? x ? 2} ? {x|?2 ? x ? 2}
法二、数形结合解法:

令y1 ? x ? 2,y2 ? x,则不等式 x ? 2 ? x的解,就是使y1 ? x ? 2的图象

在y2 ? x的上方的那段对应的横坐标, 而x B 可由 x ? 2 ? x,解得,x B ? 2,x A ? ?2,

故不等式的解集为{x|?2 ? x ? 2}。
[例 50] 已 程根 知 a x个 0 则的 ? 方实 a ? 1 , | ? |a l o g 数 为 ( )
| x |

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 1 个或 2 个或 3 个
|x |

分析:判断方程的根的个数就是判断图象y ? a 与y ?|log a x| 的交点个数,画 出两个函数图象知只有两个交点,故方程有 2 个实根。 数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法,特 别是在解决选择、填空题时有奇特功效,复习中要以熟 练技能、方法为目标,加强这方面的训练,以提高解题 能力和速度。

[例 51]方程 l x? i x g sn 的实根的个数为( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个

) D. 4 个 )

[例 52]函数 y a| y x a ?| 与 x ??的图象恰有两个公共点,则实数 a 的取值范围是( A. ( , ) B. (? ,) 1 ?? 1 1 C. (??, ? 1] ?[1, ? ?)

D. (??, ? 1) ?(1, ? ?) )

[例 53]若不等式 x a x( ?) ( ? ? a 0的解集为 {x| m ? x ? n},且| m ? n| ? 2a, 则 a 为 A. 1 B. 2 C. 3
2

D. 4 )

( ,) x 1 l a 恒成立,则 a 的取值范围为( ) o [例 54]若 x?1 2 时,不等式 ( ? ? gx
A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2] D. [1,2]

?() ? 2 在 , ? x 2的图象 [例 55]定义在 R 上的函数 y f x (? ) 上为增函数,且函数 y f( ? )
39

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的对称轴为 x? ,则( 0 A. f( 1? () ? f3 )
2

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) B. f( )?f( ) C. f( 1 f( 3 D. f( )? () 0 3 ?? ? ) ) 2 f3

[例 56]若 f( )? ?x c 1、?) x x b? 对任意实数 t,都有 f 2t f 2t,则 f() f( 3、 ( ??( ? ) )

f (4) 由小到大依次为___________。
[例 57]若关于 x 的方程 x ? |x 5 m 4 | ? 有四个不相等的实根,求实数 m 的取值范围。 ?
2

[例 58]求函数 y x 2 2 x 6 1 ? ?? x ? ? ? 的最小值。 x3
2 2

[例 59]若方程 l?3 )l3在 g ? m x 0 上有唯一解,求 m 的取值范围。 ( x x ?? , ? g )[ 3 ( ]
2

第二章 知识与能力同步检测(A) 一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( ) A. y ?

x2

B. y ?

x2 x ax ?1 ax ?1

C. y ? a )

loga x

(a ? 0且a ? 1)

D. y ? loga a x

2.下列函数中是奇函数的有几个( 错误!未找到引用源。 y ?

错误!未找到引用源。 y ?

lg(1 ? x 2 ) x ?3 ?3

错误!未找到引

用源。 y ? A. 1

x x

错误!未找到引用源。 y ? log a B. 2 C. 3

1? x 1? x
D. 4

40

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3.函数 y ? 3x 与 y ? ?3? x 的图象关于下列那种图形对称( A. x 轴 4.已知 x ? x
?1

B. y 轴
3 2 3 ? 2

C.直线 y ? x

D.原点中心对称

? 3 ,则 x ? x 值为( ) A. 3 3 B. 2 5 C. 4 5 5.函数 y ? log 1 (3 x ? 2) 的定义域是( )
2

D. ?4 5

2 2 C. [ ,1] 3 3 6 0.7 6.三个数 0.7 , , 0.7 6 的大小关系为( ) 6 log
A. [1, ??) B. ( , ??) A. 0.76 ? log0.7 6 ? 60.7 C. log0.7 6 ? 60.7 ? 0.76 D. log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7 )

D. ( ,1]

2 3

B. 0.76 ? 60.7 ? log0.7 6

7.若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( A. 3 ln x B. 3ln x ? 4 C. 3e
x

D. 3e ? 4
x

8.函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a,2a] 上最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值为(

)

A.

2 4

B.

2 2

C.

1 4


D.

1 2

9.已知 f ( x 6 ) ? log2 x ,那么 f (8) 等于( A.

4 3

B. 8 )

C. 18

D.

1 2

10.函数 y ? lg x (

A.是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递增 C.是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递增

B.是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递减 D.是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递减 )

11.函数 f ( x) ? loga x ?1 在 (0,1) 上递减,那么 f ( x ) 在 (1, ??) 上( A.递增且无最大值 B.递减且无最小值 C.递增且有最大值

D.递减且有最小值 )

12.若函数 y ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图象过两点 (?1, 0) 和 (0,1) ,则( A. a ? 2, b ? 2 选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B. a ? 2, b ? 2 C. a ? 2, b ? 1

D. a ? 2, b ? 2

12

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二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 计算: (log 2 5) ? 4 log 2 5 ? 4 ? log 2
2

1 = 5

。 。 ;y? 。 。

14. 已知 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 log x ( y x ) 的值是 15. 设 A ? 1, y,lg ? xy ? , B ? 0, x , y ,且 A ? B ,则 x ? 16. 已知 log14 7 ? a,log14 5 ? b, 则用 a , b 表示 log35 28 ? 三、解答题(每大题 12 分,共 48 分) 17. (1)已知 a x ?

?

?

?

?

6 ? 5 (a ? 0), 求

a 3 x ? a ?3 x 的值。 a x ? a ?x

(2)计算 1 ? lg 0.001 ? lg

2

1 ? 4 lg 3 ? 4 ? lg 6 ? lg 0.02 的值。 3

18. 已知函数 f ( x) ?

1 1? x ? log 2 ,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性单调性。 x 1? x

19.比较下列各组数值的大小: (1) 1.7
3 .3

和 0 .8

2 .1



(2) 3.3

0.7

和 3 .4

0 .8


x x

(3)

3 , log 8 27, log 9 25 。 2

20. 解方程: (1) 9

?x

? 2 ? 31? x ? 27

(2) 6 ? 4 ? 9
x

第二章 知识与能力同步检测(B) 一、选择题(每小题 3 分,共 33 分) 1.函数 f ( x) ? a ? loga ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a ,则 a 的值为( )
x

1 1 B. C. 2 D. 4 4 2 2.已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A. (0,1) B.(1,2) C.(0,2) D. [2,+?)
A.

)

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3.对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式① log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ) ③a
1? a

1 a

② log a (1 ? a ) ? log a (1 ? )

1 a

?a

1?

1 a

④a

1? a

?a

1?

1 a

其中成立的是( D.②与④ )



A.①与③

B.①与④

C.②与③

4.设函数 f ( x ) ? f ( ) lg x ? 1 ,则 f (10) 的值为( A. 1 B. ?1 C. 10 D.

1 x

1 10

5.定义在 R 上的任意函数 f ( x ) 都可以表示成一个奇函数 g ( x) 与一个偶函数 h( x) 之和, 如果 f ( x) ? lg(10x ? 1), x ? R ,那么( A. g ( x) ? x , h( x) ? lg(10x ? 10? x ? 1) C. g ( x ) ? 6.若 a ?
x x , h( x) ? lg(10 x ? 1) ? 2 2

) B. g ( x) ?

lg(10x ? 1) ? x lg(10 x ? 1) ? x , h( x ) ? 2 2

lg(10 x ? 1) ? x x D. g ( x ) ? ? , h( x) ? 2 2

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则( ) 2 3 5 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c 1 x 2 2 5 2 x 7.若 y ? x , y ? ( ) , y ? 4 x , y ? x ? 1, y ? ( x ? 1) , y ? x, y ? a (a ? 1) 上述函数是幂函 2
数的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个
2

D. 3 个 )
2

8.若 a ? 0, b ? 0, ab ? 1 , log 1 a ? ln 2 ,则 loga b 与 log 1 a 的关系是( A. log a b ? log 1 a
2

B. log a b ? log 1 a
2

C. log a b ? log 1 a
2

D. log a b ? log 1 a
2

9.某林场第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20% ,则第四年造林( A. 14400 亩 B. 172800 亩 C. 17280 亩 D. 20736 亩 10.方程 lg x ? x ? 0 根的个数为( D. 0 11.若 x1 是方程 lg x ? x ? 3 的解, x2 是 10 ? x ? 3 的解,则 x1 ? x 2 的值为(
x





A.无穷多错误!未指定书签。

B.3

C.1



A.

3 错误!未指定书签。 2
2 3 4

B.

2 3

C. 3

D.

1 3
8 9 10 11

选择题答案 1 5 6 7

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二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

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12.若函数 y ? log2 ax2 ? 2x ? 1 的定义域为 R ,则 a 的范围为__________。
2 2

? 若函数 y ? log ?ax
2 log 2 3

? ? 2x ? 1? 的值域为 R ,则 a 的范围为__________。

13.求值: 27 3 ? 2

1 ? log 2 ? 2lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) ? __________。 8
x

14.若函数 f ( x ) ? 1 ?

m 是奇函数,则 m 为__________。 a ?1

15.方程

1 ? 3? x ? 3 的解是__________。 1 ? 3x

三、解答题(一共四大题,共 51 分) 16. (本小题满分 10 分)解方程: (1) log4 (3 ? x) ? log0.25 (3 ? x) ? log4 (1 ? x) ? log0.25 (2 x ? 1) (2) 10
(lg x )2

? xlg x ? 20

17. (满分 9 分) 求函数 y ? ( ) ? ( ) ? 1 在 x ?? ?3, 2? 上的值域。
x x

1 4

1 2

18. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 1 ? log x 3 , g ( x) ? 2log x 2 ,试比较 f ( x ) 与 g ( x) 的大小。

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19. (本小题满分 10 分) 已知 f ? x ? ? x ?

1? ? 1 ? ? ? x ? 0 ? ,⑴判断 f ? x ? 的奇偶性; ⑵证明 f ? x ? ? 0 x ? 2 ?1 2 ?

20. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? loga (a ? a x ) (a ? 1) ,求 f ( x ) 的定义域和值域

第三章 函数的应用
3.1 函数与方程

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(1) 函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点。注意以下几点:
① 函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零。 ② 函数的零点也就是函数 y ? f ( x)(x ? D) 的图象与 x 轴的交点的横坐标。 ③ 一般我们只讨论函数的实数零点。 ④ 求零点就是求方程 f ( x) ? 0 的实数根。

(2) 函数零点与方程的根的关系: 接下来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象。
2 1 ○方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2x ? 3
2

2 2 ○方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2x ? 1
2

2 3 ○方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

根据函数零点的定义可知:函数 f (x) 的零点,就是方程 f ( x) ? 0 的根,因此判断一个 函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 f ( x) ? 0 是否有实数根,有几个实数根。即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点 求函数 y ? f (x) 的零点:
1 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法) 对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起来,

并利用函数的性质找出零点。

(3) 函数零点具有的性质: 对于任意函数 y ? f (x) ,只要它的图象是连续不间断的,则有:

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1 ○当它通过零点时(不是二重零点) ,函数值变号。 2 ○在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。

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注意:若方程 f ( x) ? 0 ,如 x ? 2 x ? 1 ? 0 有二重实数根,可称函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1有
2

二阶零点。 (4) 函数零点的判断: 如果函数 y ? f (x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 , 那么函数 y ? f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点, 即存在 x0 ? (a, b) 使得 f ( x0 ) ? 0 , 这个 x0 也就 是方程 f ( x) ? 0 的根。 但是要注意:如果函数 y ? f (x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的曲线,且 x0 是函数 在这个区间上的一个零点,但是不一定有 f (a) ? f (b) ? 0 。 [例 1] 若函数 y ? f (x) 在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程 f ( x) ? 0 在区 间(-2,2)上仅有一个实数根 0,则 f (?1) ? f (1) 的值( A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 )

D.无法判断

(5) 二分法: 所谓二分法,就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐 步逼近零点,进而得到零点近似值的方法。 用二分法求函数零点近似值时,最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区 间中点的函数值等列在一个表格中,这样可以更清楚地发现零点所在的区间。 二分法解题步骤: 给定精度 ? ,用二分法求函数 f (x) 的零点近似值的步骤如下: 1.确定区间 [ a , b ] ,验证 f (a ) · f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; 2.求区间 (a , b) 的中点 x1 ; 3.计算 f ( x1 ) :
1 ○ 若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; 2 ○ 若 f (a ) · f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; 3 ○ 若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ;

4.判断是否达到精度 ? ;
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即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4. [例 2] 求函数 f ( x) ? x 3 ? x ? 2x ? 2 的一个正数零点(精确到 0.1 ) 。 分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象,确定函数零点大致所 在的区间,然后利用二分法逐步计算解答。解: (略) 。 注意:
1 ○ 第一步确定零点所在的大致区间 (a , b) ,可利用函数性质,也可借助计算机或计

算器,但尽量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度,通常可确定一个长度为 1 的区间; 2 ○ 建议列表样式如下: 零点所在区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] 中点函数值 区间长度 1 0.5 0.25

f (1.5) >0 f (1.25) <0 f (1.375) <0

如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小于精度时,即为计算的最后一步.

[例 3] 用二分法求方程 x ? x ? 3x ? 3 ? 0 的无理根(精确到 0.01) 。
5 3 2

解析:由于 x 5 ? x 3 ? 3x 2 ? 3 ? ( x 2 ? 1)(x 3 ? 3) ,所以原方程有两个有理根 1 和-1,而其无
3 理根是方程 x ? 3 ? 0 的根,令 g ( x) ? x ? 3 ,以下用二分法求 g (x) 的近似零点。
3

由于 g (1) ? ?2 ? 0, g (2) ? 5 ? 0, 故可取[1,2]作为计算的初始区间,列表如下: 区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] [1.375,1.5] [1.4375,1.5] [1.4375,1.46875] [1.4375,1.45312] [1.4375,1.45031] [1.4375,1.4439] 由于区间[1.4375,1.4439]的长度 1.4439-1.4375=0.0064<0.01,所以这个区间的两个端点均可 作为函数 g (x) 零点的近似值,取其近似值为 1.44,因此原方程的无理根是 1.44。 [例 4]用二分法求函数 f ( x) ? 3 ?
x

中点 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.46875 1.45312 1.45031 1.4439

中点函数值 0.375 -1.047 -0.4004 -0.0295 0.1684 0.06835 0.05064 0.0103

x ?1 在区间[0,1]内的零点的近似值(精确到 0.01) 。 x ?1
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[例 5] 借助计算器或计算机用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1 ) 。
x

[例 6] 利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: (1) ? x ? 3x ? 5 ? 0 ;
2

(2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ;

(3) x ? 4 x ? 4 ;
2

(4) 5 x ? 2 x ? 3x ? 5 。
2 2

[例 7] 利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f ( x) ? ? x ? 3x ? 5 ;
3

(2) f ( x) ? 2 x ln(x ? 2) ? 3 ;

(3) f ( x) ? e

x ?1

? 4x ? 4 ;

(4) f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x

4 3 2 [例 8] 已知 f ( x) ? 2 x ? 7 x ? 17x ? 58x ? 24,请探究方程 f ( x) ? 0 的根。如果方程有

根,指出每个根所在的区间(区间长度不超过 1)

[例 9] 用二分法求 3 3 的近似值(精确到 0.01 ) 。

3.2 函数模型及其应用
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3.2.1 几类不同增长的函数模型 (1) 数学模型为一次函数的问题: 一次函数也是最常见的一种函数模型,在初中就已经接触过。 [例 10]某人开汽车以 60Km/h 的速度从 A 地到 150Km 远的 B 地, B 地停留 1h, 在 再以 50Km/h 的速度返回 A 地。把汽车离开 A 地的距离 x(Km)表示为时间 t(h)(从 A 地出发时开 始)的函数,并画出函数图象;再把车速 v(Km/h)表示为时间 t(h)的函数,并画出函 数图象。

(2) 数学模型为二次函数的问题: 二次函数为生活中最常见的一种数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小值) ,故 常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。 [例 11]渔场中鱼群最大养殖量为 m 吨。为保证鱼群生长空间,实际养殖量不能达到最大养 殖量。 已知鱼群年增长量 y 吨和实际养殖量 x 吨与空闲率的乘积成正比, 比例系数为 k(k>0)。 i)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ii)求鱼群年增长量的最大值; iii)当鱼群的年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围。

[例 12]某公司生产一种产品每年投入固定成本 0.5 万元,此外每生产 100 件这种产品还需要 增加投资 0.25 万元。经预测知,市场对这种产品的年需求量为 500 件,且当地出售 这种产品的数量为 t(单位:百件)时,销售所得的收入约为 5t ?

1 2 t (万元) 。 2

i)若该公司的产产量为 x(单位:百件) (x>0)时,试把该公司生产并销售这种产品 是的年利润表示为当年产量 x 的函数; ii)当该公司的年产量多大时,当年所得利润最大? iii)当该公司这种产品年产量多大时,当年不会亏本?( 86.25 ? 9.3 )

(3) 数学模型为指数函数的问题:

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x 一般地,形如 y ? a(a ? 0,a ? 1 的函数叫做指数函数,而在生产、生活实际中,以 )

函数 y ? k ? a x ? b 作为模型的应用问题很常见。 [例 13] 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若初时含杂质 2%, 每过滤一次可使杂质含量减少

1 ,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求? 3

(已知: lg 2 ? 0.3010 lg 3 ? 0.4771 ) ,

[例 14]某城市现有人口总数为 100 万人,如果年增长率为 1.2%,试解答下面问题: i)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; ii)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人) ; iii)计算大约多少年以后该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年) 。

(4) 数学模型为对数函数的问题: 形如 y ? loga x(a ? 0,a ? 1) 的函数叫做对数函数, a ? 1 时,此函数为增函数;

0 ? a ? 1 时,此函数为减函数。虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多,但我
们知道,对数运算实际是求指数的运算,因此在指数函数模型中,也常用对数计算。 [例 15]在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度 v(m/s)和燃料的质量 M(kg)、火箭(除 燃料外)的质量为 m(kg)的关系 v ? 2000 ln(1 ? 倍时,火箭的最大速度可达 12km/s?

M ) 。当燃料质量是火箭质量的多少 m

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(5) 比较函数模型的增长趋势: [例 16] 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案?

[例 17]南方 A 市欲将一批容易变质的水果运往 B 市销售,共有飞机、火车、汽车三种运输 方式,现只可选择其中一种,这三种运输方式的主要参数如下表所示: 运输工具 飞机 火车 汽车 途中速度 (千米/时) 途中费用(元/千米) 装卸费用(元) 装卸时间(h) 200 100 50 16 4 8 1000 2000 1000 2 4 2

这批水果在运输(包括装卸)过程的损耗为 200 元/小时,设 A、B 两市间距离为 s 千米。 i)如果用 W1,W2,W3 分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗) , 求出 W1,W2,W3 与 x 间的函数关系式。 ii)应采用哪种运输方式,才能使运输时的总支出费用最少?

[例 18]某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件。为了 估计以后每个月的产量, 以这三个月的产品数量为依据, 用一个函数来模拟该产品的 月产量 y 与月份 x 的关系。模拟函数可以选择二次函数或函数 y ? a ? b x ? c (其中

a, b, c 为常数) ,已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,试问用以上哪个函数作为模
拟函数较好?说明理由。

[例 19] 某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在 销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y (单位:万元)随销售利 润 x(单位: 万元) 的增加而增加但奖金不超过 5 万元, 同时奖金不超过利润的 25%。 现有三个奖励模型: y ? 0.25x

y ? l o g x ?1 7

y ? 1.002x .

问:其中哪个模型能符合公司的要求?

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3.2.2 函数模型的应用实例 (1)已知函数模型求解: [例 20]通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描 述问题所用的时间。讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生 的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明,用

f (x) 表示学生掌握和接受概念的能力, x 表示提出和讲授概念的时间(单位:分) ,
可有以下的公式:

?? 0.1x 2 ? 2.6 x ? 43, ? x ? 10), (0 ? f ( x) ? ?59, (10 ? x ? 16), ?? 3x ? 107 , (16 ? x ? 30)。 ?
问开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间?

(2)已知表格或图形求函数模型及解: [例 21]我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目 的。某市用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费。若每月用水量不超过最 低限量 a(m ) 只付基本费 8 元和每户定额损耗费 c 元;若用水量超过最低限量
3

a(m3 ) ,除了付以上的基本费和损耗费外,超过部分每 m 3 付 b 元的超额费。已知
每户每月的定额损耗费不超过 5 元。 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示: 月份 1 2 3 根据以上数据求 a,b,c。 用水量(立方米) 9 15 22 水费(元) 9 19 33

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(3)由已知条件建立数学模型: [例 22] 某商店将每件进价为 180 元的西服按每件 280 元销售时,每天只卖出 10 件,若每件 售价降低 m 元,当 m=20 时,其日销售量就增加 15 件,而当 m∈(0,20)时,其日销 售却毫无增加,为了获得最大利润,每件售价定为多少元?

(4)增减比率问题的求解: 增长率和降低率是生活中最常见的问题之一,要理解变化率的真正含义,从而正确找出 变化前后两个量之间的关系。 若某厂去年年底产值为 a 万元,以后计划每年按年增长率 p%增长,则 n 年后的年产值 y 为多少呢?我们先看特例: 经过 1 年后其年产值为 a(1 ? p%) ; 经过 2 年后其年产值为 a(1 ? p%) ? a(1 ? p%) p% ? a(1 ? p%) ;
2

经过 3 年后其年产值为 a(1 ? p%) ;
3

归纳到一般有,经过 n 年后其年产值为 y ? a(1 ? p%) ;
n

类似地有下降率的计算公式为 y ? a(1 ? p%) ;
n

储蓄中复利计算公式为 y ? a(1 ? r ) 。复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息
n

和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息,其实质是指数函数的应用。 [例 23] 按复利计算利率的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,设本利和为 y,存期为 x, 写出本利和 y 随着存期 x 变化的函数式。如果存入本金 1000 元,每期利率 2.25%, 试计算 5 期后的本利和是多少?

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第三章 知识与能力同步检测 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1 . 设 f ?x ? ? 3 x ? 3x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内 近 似 解 的 过 程 中 得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间(
A. (1,1.25)
x

) D.不能确定 ) D. (0, ??)

B. (1.25,1.5)

C. (1.5, 2)

2.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是( A. (1, ??) B. (0,1) C. (0, 2)

3.拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f(m)=1.06( 0.5 ? [m] ? 1 )给她出,其中 m>0, [m]是大于或等于的最小整数。 如[4]=4、 [2.7]=3,[3.8]=4,则从甲地到乙地通话时间 5.5 分钟的电话费为 A.3.71 B.3.97 C.4.24 D.4.77 4.函数 f ( x) ? x ? x ? 3 的实数解落在的区间是(
5

) C. [2,3] D. [3, 4]

A. [0,1]

B. [1, 2]

5.若函数 f ( x ) 唯一的一个零点同时在区间 (0,16) 、 (0,8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内, 那么下列命题中正确的是( ) B.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 或 (1, 2) 内有零点 D.函数 f ( x ) 在区间 (1,16) 内无零点

A.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点 C.函数 f ( x ) 在区间 ? 2,16? 内无零点

6.北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》 ,在这个节目中曾经有这样一个抢答题:小 蜥蜴体长 15cm,体重 15g,问:当小蜥蜴长到体长为 20cm 时,它的体重大约是( A.20g B.25g C.35g t v 1.99 1.5 D.40g 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01 )

7.今有一组实验数据如右:现准备用下列函数中的 一个近似的表示这些数据满足的规律,其中最接 近的一个是: A. V ? log2 t B. V ? log 1 t
2

C. V ?

t 2 ?1 2

D. V ? 2t ? 2

8.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利
2 润 y 万元与营运年数 x ( x ? N ) 的关系为 y ? ? x ? 12x ? 25 ,则每辆客车营运多少年

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使其营运年平均利润最大. A.2 B.4 C.5 D.6

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9. 《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表: 个人所得税率表——(工资、薪金所得适用) 级别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 全月应纳税所得额 不超过 500 元部分 超过 500 元至 2000 元部分 超过 2000 元至 5000 元部分 超过 5000 元至 20000 元部分 超过 20000 元至 40000 元部分 超过 40000 元至 60000 元部分 超过 60000 元至 80000 元部分 超过 80000 元至 100000 元部分 超过 100000 元部分 税率 5 10 15 20 25 30 35 40 45

“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去 800 元后的余额,某人一月份交纳 税款 26.78 元,则他的当月工资、薪金所得介于( A.800~900 元 B.900~1200 元 ) D.1500~2800 元

C.1200~1500 元

10.容器中有浓度为 m%的溶液 a 升,现从中倒出 b 升后用水加满,再倒出 b 升后用水加 满,这样进行了 10 次后溶液的浓度为( A. ( ) ·m% 选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ) D. (1- ) ·m%
9

b a

10

B.

b b (1- )10 ·m% C. ( ) 9 ·m% a a

b a

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 11. 一个高中研究性学习小组对本地区 2000 年至 2002 年快餐公司发展情况进行了调查, 制成了 该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图) , 根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒。

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12. 1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的年平均增长率为 x % , 2005 年底世界人口 为 y 亿,那么 y 与 x 的函数关系式为 . 13. 用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,
3

那么下一个有根的区间是



三、解答题(每大题 12 分,共 48 分) 14.建造一个容积为 8 立方米,深为 2 米的无盖长方体蓄水池,池壁的造价为每平方米 100 元, 池底的造价为每平方米 300 元,把总造价 y (元)表示为底面一边长 x (米)的函数。

15. 某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆汽车的月租金为 3000 元时,可全部租出。当每辆 车的月租金每增加 50 元时,未租出的车辆会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元。 (1) 当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2) 当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

16.某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为 200 平 方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间池壁造价 为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元。 (池壁的厚 度忽略不计,且池无盖) (1)写出总造价 y (元)与污水处理池长 x (米)的函数关 系式,并指出定义域。 (2)求污水处理池的长和宽各为多少时, 污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价?

17. 某电器公司生产 A 种型号的家庭电脑, 1996 年平均每台电脑的成本 5000 元,并以纯利润 2% 标定出厂价. 1997 年开始,公司更新设备、加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成 本逐年降低. 2000 年平均每台电脑出厂价仅是 1996 年出厂价的 80% ,但却实现了纯利润

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50% 的高效率. ① 2000 年的每台电脑成本; ②以 1996 年的生产成本为基数,用“二分法”求 1996 年至 2000 年生产成本平均每年降 低的百分率(精确到 0.01 )

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