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10-11工科数分第一学期期末试题解答


2010-2011-第一学期 一.1. 2. 3. 4.
1 3

工科数学分析期末试题解答(2010.1)

y ??? ? y ?? ? y ? ? y ? 0
1 f ?(2) 2

? 4

5. ? 二.

1? x x 3e 2 x
a?b

?3

…………………(1 分) ………………….(3 分) …………………(5 分) …………………(6 分) …………………(8 分)

y? ? 3ax2 ? 2bx
y ?? ? 6ax ? 2b
6a ? 2b ? 0

解得

a??

3 9 ,b ? 2 2

三.

由题意

? f ( x)dx ?

sin x ? C1 x sin x xc o s ?s i n x x f ( x) ? ( ? C1 )? ? 2 x x

…………………..(2 分) …………………..(4 分) ……………………(5 分) ………………….(7 分) ………….(8 分)

? xf ?( x)dx ? ? x d f( x)
? xf ( x) ? ? f ( x)dx

?

x cos x ? sin x sin x 2 sin x ? ? C ? cos x ? ?C x x x dy dy ?s i n ? y ?0 dx dx

四.

1?

………………….(3 分) …………………..(4 分)

dy 1 ? dx 1 ? sin y
dy ? cos y ? d2y dx ? dx 2 (1 ? sin y ) 2

……………(6 分)

? cos y ? ?

1 ? cos y 1 ? sin y ? 2 (1 ? sin y ) (1 ? sin y ) 3

……………(8 分)

五.

?

??

1

?? 1 1 arctan xdx ? ? ? arctan xd 2 1 x x

……………….(1 分) ……………….(3 分) ……………….(5 分) ………………..(7 分)

?? 1 1 ? arctanx ? ? dx 1 x x(1 ? x 2 ) 1

??

?

?

?? 1 x ?? ( ? )dx 4 1 x 1? x2

1 x2 ? ? ln 4 2 1? x2
?

?

??

1

?
4

?

1 ln 2 2

………………..(9 分)

六.

方程化为

dy 2 ? y ?1 dx x
2 ? ? dx x ? dx (C ? ? e? x dx) 2

……………….(1 分) ……………….(3 分)

y?e ?

? x 2 (C ? ?

1 dx ) x2

1 ? x 2 (C ? ) ? Cx 2 ? x x

……………….(5 分) ………………..(7 分)

V (C ) ? ? ? (Cx 2 ? x)2 dx
0

1

1 1 1 ? ?( C2 ? C ? ) ………………..(8 分) 5 2 3 2 1 V ?(C ) ? ? ( C ? ) ..................……(9 分) 5 2 5 V ?(C ) ? 0 , 得 C ? 令 ..................……(10 分) 4 2 5 由于 V ??(C ) ? ? ? 0 ,故 C ? 是极小值点也是最小值点, 5 4 5 所求解为 y ? x 2 ? x .................……(11 分) 4

七.
dP ? ?g (1 ? x)2 ydx
O

……..(2 分) …..(3 分)

y x

? 4?g (1 ? x) 1 ? x 2 dx
1 ?1

P ? ? 4?g (1 ? x) 1 ? x 2 dx ..(5 分) ? 8?g ? 1 ? x 2 dx
?1 1

……..(6 分)

? 2?g? ? 2 0 0?0 ( N ) ……(8 分) g

八.

r2 ? r ? 2 ? 0

……………….(1 分) ……………….(3 分) ……………….(5 分) ………………..(7 分)

r1 ? 1, r2 ? ?2

y ? C1e x ? C2 e ?2 x


y* ? x( Ax ? B)e x
y*? ? ( Ax2 ? 2 Ax ? Bx ? B)e x y*?? ? ( Ax2 ? 4 Ax ? Bx ? 2 A ? 2B)e x

代入方程得 解得
A?

6 A ? 1 , 2 A ? 3B ? ?1

………………..(9 分) ………………..(10 分)

1 4 , B?? 9 6

y* ? (

x2 4 ? x )e x 6 9
x ?2 x

通解为

y ? C1e ? C 2 e

x2 4 ? ( ? x )e x 6 9

……………..(11 分)

九.

f ? ma
a? dv dv dx dv ? ?v dt dx dt dx

……………………..(1 分) ……………………..(3 分)



v

dv ? ? sin x dx

………………….....(4 分) ………………….....(5 分) ………………….....(6 分) …………………..(7 分)

v x ?0 ? 2
vdv ? ? sin xdx

1 2 v ? cos x ? C 2

由初值得

C ?1

v 2 ? 2(cosx ? 1)

…………………….(8 分)

十. 设

f ( x) ? ln x ? f ?( x) ? 1 1 ? x e

x 1 x2 ? e dx e ?0

…………………….(1 分) …………………….(2 分)



f ?( x) ? 0 , 得

x?e

…………………….(3 分) …………………….(4 分) …………………….(6 分) …………………….(7 分)

f (x) 在 (0, e) 和 (e,??) 单调
x ?0 ?

lim f ( x) ? ?? , lim f ( x) ? ??
x ? ??

f (e) ? ? e x dx ? 0
2

1

0

故 f (x) 在 (0, e) 和 (e,??) 内各有一不同实根, 所以方程在 (0,??) 内有两个不同实根。 …………………….(9 分)

十一.



x ?t ? u , 得
F ( x) ? ? ( x ? 2u) f (u)du
0 x

…………………….(1 分) …………………….(2 分) …………(4 分)

? x ? f (u)du ? 2? uf (u)du
0 0

x

x

F ?( x) ? ? f (u)du ? xf ( x)
0

x

? ?(f (u) ? f ( x))du
0

x

因为 f (x) 单调增加,故 F ?( x) ? 0 ,所以 F (x) 单调减少

……(6 分)

F (? x) ? ? (? x ? 2u) f (u)du
0

?x

…………………….(7 分)

令 t ? ?u ,得

F (? x) ? ?? (? x ? 2t ) f (?t )dt
0

x

…………………….(8 分)

? ?? ( x ? 2t ) f (t )dt
0

x

? ?? ( x ? 2u ) f (u )du ? ? F (x)
0

x

故 F (x) 是奇函数

……………….(10 分)


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