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2013年全国高中数学联赛吉林赛区预赛


中 等

数 学

年 全 国 高 中 数 学 联赛 吉 林 赛 区 预 赛
中 图分 类 号

文 献 标 识码

:

文 章 编号

:





选 择题 每 小 题
<

br />分 共
,



)

点 所示 则



开始时 色子如图
,

摆放 朝 上 的 点 数
,



个 空 间 几 何体 的 三 视 图 如 图
(



最 后 翻 动 到 位 置 儿 现要 求 翻 动 次 数 最 少 则
,

该 几 何体 的 体 积 为

)

最后 色子 朝 上

点 数是

的概率为

(

)













(



)

视图



(



)

视图

俯视 图



填空 题 每小题
(

分 共
,



)

已 知 函数





,




上是减函数 则


的 最大 值 是
中 已知
,
`

已知 函数




在 三 棱锥

°

的 最 小 正周 期 为



则 直线



所 成角 的 余弦 值 为

已 知椭圆
已 知 函数

的 四 个顶 点 为

若菱形
则 其离 心 率 为

,

的 内切圆



`









恒成立





条件 充 分非 必 要 充 分必 要
(

半 径等 于酬 焦 距 的 设非 零 向 量



必要 非 充 分 既 不 充 分 也不 必 要
,



,





… 的

大值 为

(

若 函数 厂 ⑴ 图 像上任意 满 足 条件

,




,

对 于 数列

`

丄 若 存在
,

个数列

,

丄使

则 称 函 数 ⑷ 具有 性质
的是
( )



列 函 数 中 具有 性 质

,

均有



。 为



在 两 行 四 列 的 方格 棋 盘 上 沿 色 子 的 某 条 棱
翻 动 色子 相 对 面上 分别 标 有 点













的 弱 数列 则 实 数

的 取 值范 围 是











年第



已知

的 半径 为

,

为 圆周上
(



点 如
,

注意到
;

,



放置 的边 长 为

,

的 正方 形
)

实 线所 示 正 方形
,



;

的 顶点

重 合 沿 圆 周 顺 时 针 滚 动 经过 若 第


干次滚动 点

次 回到点


的位 置 则 点

:

走 过 的 路 径 的 长度 为













,











°

二、 “









、 、

不妨设

要使
,

幻在

,

上是 减函 数 结合 余弦 型
,

函数 图 像 知 必 有

解答题 共
(
)



)

分 已 知 正 数数 列
,



的前

项和 为




且满 足 乂



,

求数列







的通项公式

;






显然 在 的前


上 是 减 函 数 符合
,

求数列 是 否存 在 整 数

项和

;

所以 对任

使
分别 为

的 最大值为

意 的正整数

恒成立 且
,

请说 明 理 由







)

已知



三个 内

如图


,



为 原点





所 在直 线分 别

的对边 且
,


轴 和 轴 建 立 空 间 直角 坐 标 系

证明

成 等 差 数列
,

;

若 分
)
(



;

的最 大 值 证明
:





:







,







的最 大 值 最 小 值


分 求 方程
的 所 有 非 负 整 数解





广
, ,


,

,
, , ,

参 考 答 案


故交

肩会 叫
,

,






求夹

,

余弦 值 为

中 等 数 学





从而
由 题 设得





注意 到



::
,

±



于是






由 题设




,

知对 任 意 的 正 整 数


以 上 两 式相 减 得

士广










⑴当


,

即 即





时 题设成 立
,



,



于 是 二 次函 数
, ,

的 对 称轴 在

的左

(



(



端 此 时 题 设成 立 的 充 分必 要 条 件 是



士广 士

(



,



`


的 取值范 围 是
`





,


,

故 存在 整数



,



满 足题 目 要 求

由 题设 知



经过 的 路径 由 九段 圆 心 角 均 为
,


,





,



的劣 弧

,



组 成 其 中 六 段 劣 弧 所在 圆 的 半 径 为 所 在 圆 的 半 後为 在 度为

三 段劣 弧





所以 点
,

走 过 的 路径 的 长





由 题 设知




,

于是

,









)

(

年第





,

于是

,

当且 仅 当

从而

,

成 等差 数 列

时 上 式 等 号成 立
,

由 正 弦 定 理得

从而

,

的 最 小值 为


时 方程 变 为
,




, , ,




意 的解


(

,

,

为 满足 题

寻 知
,





⑵当
,

时 同理
,

,

(

,

'



为满足题意的解


时 令
,

,

则 原方 程 变 为 考虑 到

)





均 为 整数 从 而 判 别 式
, ,



,

其 中 锐角
,

:


`

为 奇 数 不妨 设
,

因为 角时


,

以 $ 所
,

,







的余


,

,

取最 大 值


















综上




,

故 注 也 可 用 导数 证 明




方面

,

所以

,

,

从而
,

,

,


,

此 时 方 程 的解 为
, ,

当 且 仅当

,

时 上 式等 号 成 立
,

综 上 方 程 的 所 有 非 负 整 数解 为 其中
为 任 意 非负 整 数
郭 民

从而



,

,

,

的 最 大值 为
,

方面

,

提供

)


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