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高考真题解答题专项训练:极坐标与参数方程.


高考真题解答题专项训练:极坐标与参数方程. 不等式选讲
1.已知动点 P ,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2cos t (β 为参数)上,对应参数分别为 t ? ? ? y ? 2sin t

与 t ? 2? (0< ? <2π ) ,M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离

d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

2.已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2cos ? ( ? 是参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正 ? y ? 3sin ?

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 :的极坐标方程是 ? =2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, (Ⅰ)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围.
2 2 2 2

? ). 3

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3. 选修 4-4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2 cos? ,( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

M 是曲线 C1 上的动点,点 P 满足 OP ? 2OM , (1)求点 P 的轨迹方程 C 2 ; (2)在以 D 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点的点 A,B 求 AB

?
3

与曲线 C1 , C 2 交于不同于原

? ?x ? ? x ? cos ?, ? 4. 已知曲线 C1:? ( ? 为参数) , 曲线 C2:? ? y ? sin ? ?y ? ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 t 2

(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ)若把 C1 , C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线
C1?,C2? .写出 C1?,C2? 的参数方程.C1? 与 C 2? 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点

的个数是否相同?说明你的理由.

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5. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos? , ? ? ? 4sin ? . (Ⅰ)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程.

6.选修 4—4:坐标系与参数方程。 已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2 :? ( ? 为参数) 。 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。

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7. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 ? = X= cos ? ?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参数) , ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨 迹的参数方程,并指出它是什么曲线。

8.已知函数 f(x)=|x-8|-|x-4|. (1)作出函数 y=f(x)的图象; (2)解不等式|x-8|-|x-4|>2.

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9. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与 原点的距离,y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

10. 设函数 ( x ) = 2 x ? 4 + 1。 (Ⅰ)画出函数 y= ( x ) 的图像: (Ⅱ)若不等式 ( x ) ≤ax 的解集非空,求 n 的取值范围

?

?

?

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11. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 . (Ⅰ)解不等式 f ( x) >2; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值.

12. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x, a ? 0 (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集;(2) 如果不等式 f ( x) ? 0 的解集为 x x ? ?1 ,求 a 的值。

?

?

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13.已知函数 f ( x ) = | x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x ) ≥3 的解集; (Ⅱ) 若 f ( x ) ≤ | x ? 4 | 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围.

14.设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ac ?

1 ; 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ?1 b c a

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15.(2014 年)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴学科 网正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 p=2cosθ, θ ? [0, ]。 (I)求 C 的参数方程; (II)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3 x+2 垂直, 根据(I)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标。
? 2

16.(2014 年)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x+ |+|x-a|(a>0)。 (I)证明:f(x)≥2; (II)若 f(3)<5,求 a 的取值范围。
1 a

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高考真题解答题专项训练:极坐标与参数方程. 不等式选讲
参考答案 【答案】(Ⅰ) ?

? x ? cos ? ? cos 2? ,( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? )(Ⅱ)过坐标原点 ? y ? sin ? ? sin 2?

【解析】(Ⅰ)由题意有, P(2cos ? , 2sin ? ) , Q(2cos 2? , 2sin 2? ) , 因此 M (cos ? ? cos 2? ,sin ? ? sin 2? ) ,

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? ,( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ). ? y ? sin ? ? sin 2?

(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离为

d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0 ? ? ? 2? ) ,
当 ? ? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点. 本题第(Ⅰ)问,由曲线 C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点 P 的坐标,求出答 案; 第(Ⅱ)问,由互化公式可得.对第(Ⅰ)问,极坐标与普通方程之间的互化,有一部分 学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错. 【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答 好本类题目的关键. 2.[32,52] 【解析】(Ⅰ)由已知可得 A(2 cos

, 2sin ) , B(2 cos( ? ), 2sin( ? )) , 3 3 3 2 3 2 ? ? ? 3? ? 3? C (2 cos( ? ? ), 2sin( ? ? )) , D(2 cos( ? ), 2sin( ? )) , 3 3 3 2 3 2

?

?

?

?

?

?

即 A(1, 3 ),B(- 3 ,1) ,C(―1,― 3 ) ,D( 3 ,-1) , (Ⅱ)设 P(2cos ? ,3sin ? ) ,令 S = | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | ,
2 2 2 2

则 S = 16cos ∵ 0 ? sin 3.
2

2

? ? 36sin 2 ? ? 16 = 32 ? 20sin 2 ? ,

? ? 1 ,∴ S 的取值范围是[32,52]

答案第 1 页,总 8 页

曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8 sin ? ,它们与射线 ? ?

?
3

交于 A 、 B 两点的极径分别是

?1 ? 4 sin

?
3

? 2 3 , ? 2 ? 8 sin

?
3

? 4 3 ,因此, AB ? ?1 ? ? 2 ? 2 3

点评:本题考查坐标系与参数方程的有关内容,求解时既可以化成直角坐标方程求解,也可 以直接求解(关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系) 【解析】略 4. (Ⅰ) C2 与 C1 只有一个公共点

(Ⅱ) C1 与 C2 公共点个数相同
2 2

【解析】 (Ⅰ) C1 是圆, C2 是直线. C1 的普通方程为 x ? y ? 1,圆心 C1 (0, 0) ,

半径 r ? 1 . C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .因为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的 距离为 1 ,所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为

? ? x ? cos ?, ?x ? ? ? ? ? C1 : ? ( ? 为参数) ; C2 : ? 1 y ? sin ? ? ?y ? ? 2 ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 t 4
1 2 ,联立消元得 x? 2 2

化 为 普 通 方 程 为 : C1? : x2 ? 4 y 2 ? 1 , C 2? : y ?

2 x2 ? 2 2 x ? 1 ? 0 , 其判别式 ? ? (2 2)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 , 所以压缩后的直线 C 2? 与椭
圆 C1? 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同.
答案第 2 页,总 8 页

5. (Ⅰ) x2 ? y 2 ? 4x ? 0 为⊙O1 的直角坐标方程. x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 为⊙O2 的直角坐标方程。 (Ⅱ)⊙O1,⊙O2 交于点(0,0)和 (2, ? 2) . 过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ?x . 【解析】解: 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. (Ⅰ) x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4cos? 得

? 2 ? 4? cos ? ,
所以 x2 ? y 2 ? 4 x . 即 x2 ? y 2 ? 4x ? 0 为⊙O1 的直角坐标方程. 同理 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 为⊙O2 的直角坐标方程.
2 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 0, (Ⅱ)由 ? 2 2 ? ?x ? y ? 4 y ? 0

……6 分

解得

? x1 ? 0, ? ? y1 ? 0;

? x2 ? 2, ? ? y2 ? ?2.
……10 分

即⊙O1,⊙O2 交于点(0,0)和 (2, ? 2) . 过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ?x . 6. (Ⅰ) C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半 轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (Ⅱ) d 取得最小值 【解析】

8 5 . 5

x2 y 2 ? ? 1. (Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 : 64 9
2 2

C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆.
C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
(Ⅱ)当 t ?

? 3 时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ), 故M ( ?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ). 2 2
5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C3的距离d ?
从而当 cos ? ?

4 3 8 5 ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 . 5 5 5

答案第 3 页,总 8 页

7.P 点是圆心为 ( , 0) ,半径为

1 4

1 的圆 4

【解析】 (I)当 ?

?

?
3

时,C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) ,C2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

联立方程组

?

y ? 3( x ?1), 1 3 ,( ,? ) x ? x2 ? y 2 ?1, 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0)

2

2

(II)C1 的普通方程为 x sin ?

? y cos ? ? sin ? ? 0 .

A 点坐标为 (sin 2 a, ? cos a sin a) ,故当 a 变化时,P 点轨迹的参数方程为
sin 2 a ? x? 1 2 ? y ?? 1 sin a cos a ? 2

( a 为参数)

2 2 P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) ? y ?

1 4

1 16

故 P 点是圆心为 ( , 0) ,半径为

1 4

1 的圆 4

8. (1)

(2)不等式的解集为(-∞,5) 【解析】(1)f(x)= ? ?? 2 x ? 12,
?? 4, ? ?4, x ? 4, 4 ? x ? 8, x ? 8,

图象如下:

答案第 4 页,总 8 页

(2)不等式|x-8|-|x-4|>2,即 f(x)>2. 由-2x+12=2,得 x=5. 由函数 f(x)图象可知,原不等式的解集为(-∞,5). 9. (Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |,0 ? x ? 30. (Ⅱ) x ? [9, 23]. 【解析】 (Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |,0 ? x ? 30. (Ⅱ)依题意,x 满足

4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |? 70, {0 ? x ? 30.
解不等式组,其解集为【9,23】 所以 10.

x ? [9, 23].

? ??, ?2? ? ? ?

1 ? , ?? ? ?2 ?

【解析】 ( Ⅰ ) 由 于 f? x ? =

?

?2 x ? 5, x ??? 2 x ? 3, x ? 2. 则 函 数 y ? f? x? 的 图 像 如 图 所 示 。

答案第 5 页,总 8 页

……5 分 (Ⅱ)由函数 y ? f? x? 与函数 y ? ax 的图像可知,当且仅当 a ? ?2 时,函数 y ? f? x? 与函数

y ? ax 的 图 像 有 交 点 。 故 不 等 式 f? x? ? a x的 解 集 非 空 时 , a 的 取 值 范 围 为

? ??, ?2? ? ? ?

1 ? , ?? ? 。 ?2 ?
……10 分

5 11.(Ⅰ) | 2 x ? 1| ? | x ? 4 |? 2 的解集为 (??, ?7) ( , ??) . 3

(Ⅱ)最小值 ?

9 2

【解析】解: (Ⅰ)令 y ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 | ,则
? ?? x ? 5, ? ? y ? ? 3x ? 3, ? ? x ? 5, ? ? 1 x? ? , 2 1 ? ? x ? 4, 2 x …4.

……3 分

5 作出函数 y ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 | 的图像,它与直线 y ? 2 的交点为 (?7, 2) 和 ( , 2) . 3
5 所以 | 2 x ? 1| ? | x ? 4 |? 2 的解集为 (??, ?7) ( , ??) . 3

……6 分

1 (Ⅱ)由函数 y ? | 2 x ? 1| ? | x ? 4 | 的图像可知,当 x ? ? 时, y ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 | 取得最小 2 9 值? . 2

……10 分

12.

答案第 6 页,总 8 页

因为, a ? 0 所以,该不等式的解集是 ? x x ? ? ? ,再由题设条件得 ?

? ?

a? 2?

a ? ?1,? a ? 2 2

13.1。{ x | x ≤1 或 x ≥8}

2。[-3,0]

? ?2 x ? 5, x ? 2 ? 2 ? x ? 3, 【解析】(Ⅰ)当 a ? ?3 时, f ( x ) = ?1, ? 2 x ? 5, x ? 3 ?
当 x ≤2 时,由 f ( x ) ≥3 得 ?2 x ? 5 ? 3 ,解得 x ≤1; 当 2< x <3 时, f ( x ) ≥3,无解; 当 x ≥3 时,由 f ( x ) ≥3 得 2 x ? 5 ≥3,解得 x ≥8, ∴ f ( x ) ≥3 的解集为{ x | x ≤1 或 x ≥8}; (Ⅱ) f ( x ) ≤ | x ? 4 | ? | x ? 4 | ? | x ? 2 |?| x ? a | , 当 x ∈[1,2]时, | x ? a |?| x ? 4 | ? | x ? 2 | = 4 ? x ? x ? 2 =2, ∴ ?2 ? a ? x ? 2 ? a ,有条件得 ?2 ? a ? 1 且 2 ? a ? 2 ,即 ?3 ? a ? 0 , 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0] 【答案】见解析
2 2 2 2 2 2 【解析】(Ⅰ)由 a ? b ? 2ab , c ? b ? 2bc , a ? c ? 2ac 得:

a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ,由题设得 (a ? b ? c)2 ? 1,即 a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 1 ,所以
答案第 7 页,总 8 页

1 3(ab ? bc ? ca) ? 1 ,即 ab ? bc ? ca ? . 3
(Ⅱ)因为

a2 b2 c2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c , b c a

所以

a 2 b2 c 2 a 2 b2 c2 ? ? ? (a ? b ? c) ? 2(a ? b ? c) ,即 ? ? ? a ? b ? c , b c a b c a

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. 所以 b c a

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