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数学归纳法练习题


数学归纳法练习题
一、选择题 1. 用数学归纳法证明 1 ? a ? a ? ? ? a
2 n ?1

?

1 ? a n?1 (n ? N * , a ? 1) ,在验证 n ? 1 成立时,左边所得的项为( ) 1? a
2

A. 1

B. 1+ a

>
C. 1 ? a ? a

D. 1 ? a ? a ? a
2

3

2. 用数学归纳法证明 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

(n ? N * ) ,则从 k 到 k+1 时,左边所要添加的项是( )
A.

1 2k ? 1

B.

1 1 ? 2k ? 2 2k ? 4

C. ?

1 2k ? 1

D.

1 1 ? 2k ? 1 2k ? 2

n n 3. 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, x ? y 能被 x ? y 整除”第二步的归纳假设应写成( ) * A. 假设 n ? 2k ? 1(k ? N ) 正确,再推 n ? 2k ? 3 正确; * B. 假设 n ? 2k ? 1(k ? N ) 正确,再推 n ? 2k ? 1 正确; * C. 假设 n ? k (k ? N ) 正确,再推 n ? k ? 1 正确;

D. 假设 n ? k (k ? 1) 正确,再推 n ? k ? 2 正确. 二、填空题 4. 数列 ?an ? 中, a1 ?

a 1 , an?1 ? n ,则数列的前 5 项为 2 an ? 1
5n?1

, 猜想它的通项公式是

5. 猜想 1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, ??的第 n 个式子为 6. 用数学归纳法证明 “当 n ? N 时,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
* 2 3

是 31 的倍数” 时, n ? 1 时的原式是

,从 k 到

k ? 1 时需添加的项是

三、解答题
n?2 2 n ?1 7. 求证:对于整数 n ? 0 时, 11 ? 12 能被 133 整除.

8. 若 n ? N ,求证: cos
*

?
2

cos

?
2
2

cos

?
2
3

? cos

?
2
n

?

sin ? 2 sin
n

?
2n

.

* 9. 若 n ? N ,且 n ? 2 ,求证:

1 1 1 13 ? ?? ? ? . n ?1 n ? 2 2n 24

10. 数列 ?an ? 满足 Sn ? 2n ? an, n ? N ,先计算前 4 项后,猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明.
*

11. 是否存在自然数 m ,使得 f (n) ? (2n ? 7) ? 3n ? 9 对于任意 n ? N 都能被 m 整除,若存在,求出 m ;若不存在,请说明
*

理由. 12. 正数数列 ?an ? 中, Sn ?
*

1 1 (an ? ) .⑴ 求 a1、a2、a3 ;⑵ 猜想 an 的表达式并证明. 2 an

13. 设 n ? N ,试比较 3n 和(n ? 1)! 的大小.

【答案】 一、选择题 1. C 2. D 二、填空题 4.

3. B

1 1 1 1 1 , , , , . 2 3 4 5 6

an ?

1 * (n? N ) n ?1

5. 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ? ? (?1) 6. 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 , 三、解答题(略解)
2 3 4

n?1

n2 ? (?1)n?1 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n)

25k ? 25k ?1 ? 25k ?2 ? 25k ?3 ? 25 k ?4 .

2 7. ① n ? 0 时,原式= 11 ? 12 ? 133 能被 133 整除;
k ?2 2 k ?1 ② 设 n ? k 时, 11 ? 12 能被 133 整除

n ? k ? 1 时,原式= 11k ?3 ? 122k ?3 ? 11(11k ?2 ? 122k ?1 ) ? 11?122k ?1 ? 122k ?3
= 11(11
k ?2

? 122k ?1 ) ? 122k ?1 ?133 能被 133 整除.

8. ① n ? 1 时,左= cos

?
2

, 右=

sin ? 2sin

?
2

? cos

?
2

,左=右

② 设 n ? k 时, cos

?
2

cos

?
2
2

cos

?
2
3

? cos

?
2
k

?

sin ? 2k sin

?
2k

n ? k ? 1 时, (cos

?
2

cos

?
2
2

cos

?
2
3

? cos

?
2
k

) ? cos

?
2
k ?1

?

sin ? 2k sin

?
2k

? cos

?
2k ?1

=

sin ? 2k ?1 sin

?
2
k ?1

cos

?
2
k ?1

? cos

?
2
k ?1

?

sin ? 2k ?1 sin

?
2k ?1

9. ① n ? 2 时,左=

1 1 7 13 ? ? ? 3 4 12 24 1 1 1 13 ? ??? ? ② 设 n ? k 时, k ?1 k ? 2 2k 24 1 1 1 1 n ? k ? 1 时, 左= ??? ? ? k?2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ??? ) ? ? ? =( k ?1 k ? 2 2k k ? 1 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 13 ? ? ? ? ? 0 ,∴左> ∵? . k ? 1 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 1 2 k ? 2 24 3 7 15 2n ? 1 , a3 ? , a4 ? .猜想 an ? n?1 2 4 8 2

10. 计算得: a1 ? 1, a2 ?

① n ? 1 时,计算得 a1 ? 1 ,结论成立;

2k ? 1 ② 设 n ? k 时, ak ? k ?1 , 2



n ? k ? 1 时, ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? [2(k ? 1) ? ak ?1 ] ? (2k ? ak ) ?

2k ?1 ? 1 ? ak ?1 2k ?1

∴ ak ?1 ?

2k ?1 ? 1 . 2k

11. f (1) ? 36, f (2) ? 108, f (3) ? 360 .猜想 m 的值应为其最大公约数 36. ① n ? 1 显然正确.
k ② 设 n ? k 正确即 f (k ) ? (2k ? 7) ? 3 ? 9 能被 36 整除. 则 n ? k ? 1 时 ,

f (k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 7] ? 3k ?1 ? 9 ? 3[(2k ? 7) ? 3k ? 9] ? 27 ? 2 ? 3k ?1 ? 9 ? 3[(2k ? 7) ? 3k ? 9] ? 18(3k ?1 ? 1) 能被 36 整除.
12. ⑴ a1 ? 1 , ⑵ 猜想:

a2 ? 2 ? 1 , a3 ? 3 ? 2 an ? n ? n ? 1

① n ? 1 显然正确. ② 设 n ? k 正确即

an ? k ? k ? 1 则 n ? k ? 1 时

1 1 1 ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? [(ak ?1 ? ) ? ( k ? k ?1 ? )] 2 ak ?1 k ? k ?1
2 ? ak ?1 ? 2 kak ?1 ? 1 ? 0 ,解得(取正值) ak ?1 ? k ? 1 ? k .

13.

3=31>(1+1)!=2, 9=32>(2+1)!=6, 27=33>(3+1)!=24, 81=34<(4+1)!=120, ?? 猜想: n ? 1, 2,3 时, 3n ? (n ? 1)!; 当 n ? 4 时, 3n ? (n ? 1)! ① n ? 4 时, 显然成立; 则 n ? k ?1 时 (∵ k ? 4,? 3 ? k ? 2 )

② 设 n ? k 时,结论成立, 即 3k ? (k ? 1)!

3k ?1 ? 3k ? 3 ? (k ? 1)!? 3 ? (k ? 1)!? (k ? 2) ? (k ? 2)!
即 3
k ?1

? (k ? 1 ? 1)!


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