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全国高中数学联赛初赛(模拟)附答案


全国高中数学联赛初赛(模拟) 一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? 1.函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4 ? y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为 4 A. y ? sin x B. y ? cos x C. y ? sin x ? 2 D. y ?

cos x ? 4 2.如果二次方程 x2 ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 1 的最小值是 b( a ? b ) D. 8 个 3.设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ? A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个 5.设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an?2 ? 16an?1 ? 63an , n ?N*, 则 a2005 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖都是 单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼 色方法有 A. 308 个 B. 30 ? 257 个 C. 30 ? 207 个 D. 30 ? 217 个 二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? 7.设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2 向量 OB ? . 8.设无穷数列 {an } 的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 9.函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ( x ? R) 的最小值是 . . 10.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、 F 、 G 分别是棱 AA1 、 C1D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 . 11.由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样 的 5 位数共有 . 12. 已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x 2 ? y 2 ), x, y ? R}, N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ?1| ? 1, x, y ?R}. 若 M . N ? ? , 则 a 的取值范围是 三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13.已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设 ? ? , 试求 (用 ? 表示). BN MN A N B M D C 14.求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 , 当 ,

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