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2012


2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一 选择题
1. 如果集合 A.B 同时满足 A

B ? ?1.2.3.4? A B ? ?1? , A ? ?1? , B ? ?1? 就称有序集对

。这里的有序集对 ? A, B ? 意指当 A ? B , ? A, B ? 和? B, A? 是不同的集 ? A, B? 为

“好集对” 对, 那么 “好集对” 一共有 ( ) 个。

A

64

B

8
)

C

6

D

2

?x 2.设函数 f ? x ? ? lg 10 ? 1 , 方程f ? ?2 x ? ? f ?1 ? 2 x ? 的解 为(

?

?

A.log2 ? lg 2? ?1

B .lg ? log2 10? ?1

C .lg ? lg 2? ?1

D. log2 ? log2 10? ?1

3.设 A ? 100101102 499500 是一个 1203 位的正整数,由从 100 到 500 的全体三位数按顺 序排列而成那么 A 除以 126 的余数是( )

A
4. 在 直 角

78

B

36

C

6

D

0
为 垂 足 . 项 为

ABC 中 ,

?C ? 90 , CD 为 斜 边 上 的 高 ,D
.
k

AD ? a, BD ? b, CD ? a ? b ? 1
uk ? a k ? a k ?1b ? a k ? 2b 2 ?







?uk ?





? ? ?1? b k , k ? 1, 2,3,

, 则( )

A. u2008 ? u2007 ? u2006 C. 2007 u2008 ? 2008u2007
顺序排成一个新的数列

B. u2008 ? u2007 ? u2006 D. 2008 u2008 ? 2007u2007
9 a5, ?
那 么 13

5.在正整数构成的数列 1.3.5.7……删去所有和 55 互质的项之后,把余下的各项按从小到大的

?an ?

, 易 见 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 7a ,4 ?

a2007 ? ____________

A. 9597
6.设

B. 5519

C. 2831

D. 2759
1+cos870 1-cos870
则 A: B ? ?

A ? 1 ? cos30 + 1+cos70 + 1+cos110 + B ? 1 ? cos30 + 1-cos70 + 1-cos110 +
A. 2- 2
2

?

B.

2+ 2
2

C.

2-1

D.

2+1

二.填空题
7.边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角三角形一共有______________种. 8.设 n ? 2007 ,且 n 为使得 an =

?

2- 2 ? i 2+ 2 取实数值的最小正整数,则对应此 n 的
第 1 页

?

n

an 为
9. 若 正 整 数 n 恰 好 有 4 个 正 约 数 , 则 称 n 为 奇 异 数 , 例 如 6,8,10 都 是 奇 异 数 . 那 么 在 27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个数中奇异数有_____________________个. 10. 平行六面体

A 出发的三条棱 AA1, AB, AD 的长度分别为 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1中 , 顶点

2,3,4,且两两夹角都为 60 那么这个平行六面体的四条对角线 AC1 , BD1 , DB1 , CA 1 的长度(按 顺序)分别为___________________
1 2 11.函数 f ? x ? , g ? x ? 的迭代的函数定义为 f ? ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ? ? x ? ? f

? f ? x ?? ,

f ? n? ? x ? ? f f ? n ?1? ? x ? , g ?1? ? x ? ? g ? x ? , g ? 2? ? x ? ? g ? g ? x ? ? ,
其中 n =2,3,4…

?

?

g ? n ? ? x ? ? g g ? n ?1? ? x ?

?

?

? f ?9? ? x ? ? g ? 6? ? y ? ? ? ?9? ? 6? 设 f ? x ? ? 2x ? 3, g ? x ? ? 3x ? 2 ,则方程组 ? f ? y ? ? g ? z ? 的解为_________________ ? ?9? ? 6? ? ? f ? z ? ? g ? x?
12.设平行四边形 ABCD 中, AB ? 4, AD ? 2, BD ? 2 3, 则平行四边形 ABCD 绕直线

AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________

三解答题
13.已知椭圆 ? :3x2 ? 4 y 2 ? 12 和点 Q ? q,0? , 直线 l过Q且与?交于A, B 两点(可以重合). 1)若 ?AOB 为钝角或平角( O 为原点),

q ? 4, 试确定 l 的斜率的取值范围.

2)设 A 关于长轴的对称点为 A , q ? 4, 试判断 A1和F , B 三点是否共 1 , F为椭圆的右焦点 线,并说明理由. 3)问题 2)中,若 q ? 4, 那么A 1, F , B 三点能否共线?请说明理由.

14.

数 列

?xn?

由 下 式 确 定 :

xn?1 ?

xn , n ? 1,2,3, 2 2 xn ?1

, x1 ? 1 , 试 求

l x g2 0整数部分 k ?? 0 7

l x g a 的最大整数,即 a 的整数部分.) ? (注 2 ?a 0 ?.表示不大于 0 7

15. 设给定的锐角 ABC 的三边长 a, b, c, 正实数x, y, z 满足
第 2 页

ayz bzx cxy ? ? ? p, 其中 p x y z

为给定的正实数 , 试求 s ? ? b ? c ? a? x2 ?? c ? a ? b ? y2 ?? a ? b ? c ? z2 的最大值,并求出当

s 取此最大值时, x, y, z 的取值.

2008 年安徽省高中数学联赛初赛试题
一、选择题 1. 若函数 y ? f ? x ? 的图象绕原点顺时针旋转

? 后,与函数 y ? g ? x ? 的图象重合,则( ) 2

(A) g ? x ? ? f ?1 ? ? x ? (B) g ? x ? ? f ?1 ? x ? (C) g ? x ? ? ? f ?1 ? ? x ? (D) g ? x ? ? ? f ?1 ? x ? 2.平面中,到两条相交直线的距离之和为 1 的点的轨迹为( ) (A)椭圆 (B)双曲线的一部分 (C)抛物线的一部分 3.下列 4 个数中与 cos1 ? cos 2 ? ? cos 2008 最接近的是( ) (A)-2008 (B)-1 (C)1 (D)2008 4.四面体的 6 个二面角中至多可能有( )个钝角。 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 5.
1 1 写成十进制循环小数的形式 ? 0.000498 2008 2008 625498 625

(D)矩形

, 其循环节的长度为( )

(A)30

(B)40

(C)50
2008

(D)60
? a2008 x2008 ,则 a0 , a1 ,
, a2008 中共有(

6.设多项式 ?1 ? x ?

? a0 ? a1 x ?

)个是偶数。

(A)127 (B)1003 二、填空题 7.化简多项式

(C)1005

(D)1881

k ?m

?C C
k n

n

m k

x k ?m ?1 ? x ?

n?k

?

8.函数 f ? x ? ?

3 ? 5sin x 的值域为 5 ? 4 cos x ? 3sin x

9.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 0, an ? 10.设非负数 a1 , a2 , 为

a1 ? an?1 , ? n ? 2 ? ,且具有最小正周期 2008,则 a1 ? 1 ? a1an?1

, a2008 的和等于 1,则 a1a2 ? a2a3 ?

? a2007 a2008 ? a2008 a1 的最大值

11.设点 A ?1,1? , B、 C 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上, 当直线 BC 的方程为
2 2

时, ABC

的面积最大。 12.平面点集 G ?

??i, j ? | i ? 1,2,

, n; j ? 1,2,

, n?,易知 G2 可被 1 个三角形覆盖(即各

第 3 页

点在某个三角形的边上) , G3 可被 2 个三角形覆盖,则覆盖 G2008 需要

个三角形。

三、解答题 13.将 6 个形状大小相同的小球(其中红色、黄色、蓝色各 2 个)随机放入 3 个盒子中,每 个盒子中恰好放 2 个小球,记? 为盒中小于颜色相同的盒子的个数,求? 的分布。 14.设 a1 ? 1, an ? ? nan ?1 ? , ? n ? 2 ? ,其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数。证明:无论 a1 取

?

?

何正整数时,不在数列 ?an ? 的素数只有有限多个。

15.设圆 O1 与圆 O2 相交于 A,B 两点,圆 O3 分别与圆 O1 ,圆 O2 外切于 C,D,直线 EF 分 别与圆 O1 ,圆 O2 相切于 E,F,直线 CE 与直线 DF 相交于 G,证明:A,B,G 三点共线。

2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? x 2 的值域是 2.函数 y ? .

x 的图象与 y ? e 的图象关于直线 x ? y ? 1 对称.

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 4.设椭圆

. .

x2 y2 ? ? 1 与双曲线 xy ? 1 相切,则 t ? t ?1 t ?1

5.设 z 是复数,则 | z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 的最小值等于
3 2

.

6.设 a , b , c 是实数,若方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个根构成公差为 1 的等差数列, 则 a , b , c 应满足的充分必要条件是 .

7. 设 O 是 ?ABC 的 内 心 , AB ? 5 , AC ? 6 , BC ? 7 , OP ? xOA ? yOB ? zOC ,

0 ? x, y, z ? 1 ,动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是 二、解答题(共 86 分) 9.(20 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?

. .

2 , n ? 2 .求 an 的通项公式. 1 ? an ?1

第 4 页

10.(22 分)求最小正整数 n 使得 n ? n ? 24 可被 2010 整除.
2

11.(22 分)已知 ?ABC 的三边长度各不相等, D , E , F 分别是 ? A , ? B , ?C 的平 分线与边 BC , CA , AB 的垂直平分线的交点.求证: ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积.

12. (22 分) 桌上放有 n 根火柴, 甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取, 第一次可取走至多 n ? 1 根火柴,此后每人每次至少取走 1 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最 后一根火柴者获胜.问:当 n ? 100 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛试题
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1 . 以 X 表 示 集 合 X 的 元 素 个 数 . 若 有 限 集 合 A, B, C 满 足 A ? B ? 20 ,

B ? C ? 30, C ? A ? 40 ,则 A ? B ? C 的最大可能值为

.

2.设 a 是正实数 . 若 f ( x) ? x 2 ? 6ax ? 10a 2 ? x 2 ? 2ax ? 5a 2 ,x ? R 的最小值 为 10,则 a ? .

3 .已知实系数多项式 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 满足 f (1) ? 2 , f (2) ? 4 ,
f (3) ? 6 ,则 f (0) ? f (4) 的所有可能值集合为

.

4








.

式 若 0 .
第5题

(5x ? 1) n ? a0 ? a1 x ? ? ? an x n,n ? 2
则n ? a2011 ? max(a0 , a1 ,?, an ) ,

1

1

5. 在如图所示的长方体 ABCD ? EFGH 中, 设P 是 矩形 EFGH 的中心,线段 AP 交平面 BDE 于点 Q . 若
AB ? 3


AD ? 2



AE ? 1





PQ ?

.
第6题

6. 平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的 外侧滚动,其扫过区域的面积为 .

7.设直角坐标平面上的点 ( x, y ) 与复数 x ? y i 一一对应. 若点 A, B 分别对应复数 , 则直线 AB 与 x 轴的交点对应复数 z, z ?1( z ? R ) (用 z 表示) .

第 5 页

8.设 n 是大于 4 的偶数. 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形,得到矩形 的概率为 .

二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分) 9.已知数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , a n ? 1 ? 公式.
a1 ? ? ? a n ? 2 (n ? 3) ,求 an 的通项 4

1 1 1 1 10. 已知正整数 a1 , a2 ,?, an 都是合数, 并且两两互素, 求证: ? ??? ? . a1 a 2 an 2

11.设 f ( x) ? ax3 ? bx ? c ( a, b, c 是实数) ,当 0 ? x ? 1 时, 0 ? f ( x) ? 1. 求 b 的 最大可能值.

12.设点 A(?1,0),B(1,0),C (2,0) , D 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支上, D ? A ,直 线 CD 交双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在 直线 x ?
1 上. 2

2012 年安徽高中数学竞赛初赛试题
第 6 页

第 7 页

第 8 页

2007 解



一、 选择题 1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D. 1.逐个元素考虑归属的选择. 元素 1 必须同时属于 A 和 B. 元素 2 必须至少属于 A、B 中之一个,但不能同时属于 A 和 B,有 2 种选择:属于 A 但 不属于 B,属于 B 但不属于 A. 同理,元素 3 和 4 也有 2 种选择. 但元素 2,3,4 不能同时不属于 A,也不能同时不属于 B. 所以 4 个元素满足条件的选择共有 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 种.换句话说, “好集对”一共有 6 个. 答:C. 2. 令 y ? lg(10? x ? 1) , 则 y ? 0 , 且 10
?x

? 1 ? 10 y , 10? x ? 10 y ? 1 ,

? x ? lg(10y ? 1) , x ? ? lg(10y ? 1) .从而 f ?1 ( x) ? ? lg(10x ? 1) .
令 2 ? t ,则题设方程为
x

f (?t ) ? f ?1 (t ) ,即

lg(10t ? 1) ? ? lg(10t ? 1) ,

故 解得

lg[(10t ? 1)(10t ? 1)] ? 0 , (10t ? 1)(10t ? 1) ? 1 , 102t ? 2 , 2t ? lg 2 ,
2x ? t ?

1 1 lg 2 . 从而 x ? log 2 ( lg 2) ? l o g 2) ? 1 . 答:A. 2(l g 2 2 3. 注意 126 ? 2 ? 7 ? 9 ,2,7 和 9 两两互质. 因为 A ? 0 (mod2), A? ( 1 ? 0 ? 0) ? ( 1? 0 ?1 ) ? ( 1 ? 0 ? 2) ??? (4 ? 9 ? 9) ? (5 ? 0 ? 0) ?100 ?1 0 1 ?1 0 2 ? ? ? 5 0 0? ( 100 ? 500) ? 401 ? 2 ? 1 2 0 3 0? 0 6 (mod9), A ? 6 (mod18). 所以 (1)

4


0


0

103 ? ?1
400 i ?0



103n ? (?1) n



mod7



,





i A ? ? (500 ? i) ? 103i ? ? (500 ? i ) ? (? 1 ) i ?0

? (500 ? 499) ? (498? 497) ? (496 ? 495) ? ? ? (102 ? 101 ) ? 100 ? 300 ? 6 ( mod7 ) .
(2) 由(1) , (2)两式以及 7 和 18 互质,知 A ? 6 (mod126). 答:C.

6 ( 10 6 ? 1 ) ( 10 6 n ? 1 ), 另 解 : 126 ? 2 ? 63 , 63999999 , 999999? 10 ? 1 ,

n ? 1,2,3,?

.





A ? 100? 101200 ? 101102 ?101194 ? 103104 ? 101188 ? ? ? 497498 ? 106 ? 499500 ? 100? ( 101200 ? 1 ) ? 101102 ? ( 101194 ? 1 ) ? 103104 ? ( 101188 ? 1 ) ? ? ? 497498 ? ( 106 ? 1 ) ?
第 9 页

( 100 ? 101102 ? 103104 ? ? ? 497498 ? 499500) ? 999999 B ? 100 ? ( 101102 ? 499500) ? 200 ? 2 ? 999999 B ? 100 ? 60060200 ? 999999 B ? 60060300 ? 999999 C ? 60360 , 其中 B,C 为整数.从而 A ? 63 D ? 60360 ? 63 E ? 6 ,其中 D,E 为整数.所以 A 除以 63 的
余数为 6.因为 A 是偶数,所以 A 除以 126 的余数也为 6. 答:C.
2 2 (a ? b) ? ab , 又 已 知 a ? b ? 1 , 故 ab ? 1 , 4. 易 见 CD ? AD ? BD , 即

a(a ? 1) ? 1 , a 2 ? a ? 1 ? 0 ; b(b ? 1) ? 1 , b 2 ? b ? 1 ? 0 .
k 显然 u k 是首项为 a ,公比为 q ? ?

b 的等比数列的前 k ? 1 项和.故 a

uk ?
从而

a k (1 ? q k ?1 ) a k ?1 ? (?b) k ?1 , ? 1? q a?b

k ? 1,2,3? .

u k ? u k ?1 ?
?

a k ?1 ? (?b) k ?1 a k ? 2 ? (?b) k ? 2 ? a?b a?b

1 [a k ? 2 ? a k ?1 ? (?b) k ? 2 ? (?b) k ?1 ] a?b 1 1 ? [a k ?1 (a ? 1) ? (?b) k ?1 (?b ? 1)] ? [a k ?1 ? a 2 ? (?b) k ?1 ? b 2 ] a?b a?b 1 ? [a k ?3 ? (?b) k ?3 ] ? u k ? 2 , k ? 1,2,3? . a?b
2 2 (a ? b) ? ab ,又已知 a ? b ? 1 ,故 ab ? 1 , 另解: 易见 CD ? AD ? BD ,即

故答案为 A.(易知其余答案均不成立)

2 (a ? b) ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 12 ? 4 ?1 ? 5 , a ? b ? 5 .解得

a?

5 ?1 , b? 2

5 ?1 . 2

k 显然 u k 是首项为 a ,公比为 q ? ?

b 的等比数列的前 k ? 1 项和,故 a

uk ?

a k (1 ? q k ?1 ) a k ?1 ? (?b) k ?1 ? 1? q a?b

?

1

1 ? 5 k ?1 1 ? 5 k ?1 [( ) ?( ) ] 2 2 5



k ? 1,2,3,? .
于是数列 ?u k ? 就是斐波那契数列 1,2,3,5,8,13,21,?, 它满足递推关系

uk ?2 ? uk ?1 ? uk ,

k ? 1,2,3,? .
第 10 页

所以答案为 A.

5. ?an ? 可看成是在正整数数列 1,2,3,4,5,6,7,?中删去所有能被 2,5 或 11 整除的项之后, 把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理, 1, 2, 3, 4, ?, m 中不能被 2,5 或 11 整除的项的个数为

?m? ?m? ? m ? ? m ? ? m ? ? m ? ? m ? , xm ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 5 ? ?11? ? 55? ? 22? ?10? ?110? ?
其中 ?a ? 不表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分. 估 值 : 设

m m m m m m m 1 1 1 2007 ? x m ? m ? ? ? ? ? ? ? ? m ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) 2 5 11 55 22 10 1 2 5 1 11 1 4 10 4 11 ? m? ? ? ? m ,故 m ? 2007 ? ? 5519 . 2 5 11 11 4
又因为

0

? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? x5519 ? 5519? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? 11 ? ? ? ? 55 ? ? ? ? 22 ? ? ? ? 10 ? ? ? ? 110 ? ?
=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007, 并且 5519 不是 2,5,11 的倍数,从而知 a2007 ? 5519. 答:B.

又解:?an ? 可看成是在正整数数列 1,2,3,4,5,6,7,?中删去所有能被 2,5 或 11 整除的项之后,把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为 2,5,11 是质数,它们 的最小公倍数为 110.易见,-54,-53,?,0,1,2,3,?,55 中不能被 2,5,11 整除的 , ? 3, ? 7, ? 9; ? 13, ? 17, ? 19; ? 21, 数为 ? 1 ? 23, ? 27, ? 29; ? 31, ? 37, ? 39; ? 41, ? 43, ? 47, ? 49; ? 51, ? 53 ,共 40 个.(或由欧拉公 式,1,2,3,?,110 中不能被 2,5,11 整除的数的个数,等于 1,2,3,?,110 中与

110) ? 110 ? ( 1? ) ? ( 1? ) ? ( 1? 110 互质的数的个数,等于 ?(

1 2

1 5

1 ) ? 40 .) 11

显然 1,2,3,?中每连续 110 个整数,不能被 2,5,11 整除的数都有 40 个.所以,1, 2,3,?,110 ? 50 ? 5500 中,不能被 2,5,11 整除的数有 40 ? 50 ? 2000 个.大于 5500 中的数不能被 2,5,11 整除的,是 5500+1,5500+3,5500+7,5500+9,5500+13,5500+17, 5500+19,?.所以 5519 是第 2007 个不能被 2,5,11 整除的数,亦即所求的 a2007 ? 5519. 答:B . 6.显然

A 2

?

1 ? cos3? 1 ? cos7 ? 1 ? cos87? ? ??? 2 2 2

? cos1.5? ? cos3.5? ? cos5.5? ? ? ? cos43.5? ;

B 2

?

1 ? cos3? 1 ? cos7 ? 1 ? cos87? ? ??? 2 2 2
第 11 页

? sin 1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ? ? sin 43.5? .
注意到

2 cos? sin 1? ? sin(? ? 1? ) ? sin(? ? 1? ) , 2 sin ? sin 1? ? cos(? ? 1? ) ? cos(? ? 1? ) ,
所以

2 sin 1? ?

A 2

? (sin 2.5? ? sin 0.5? ) ? (sin 4.5? ? sin 2.5? ) ? (sin 6.5? ? sin 4.5? ) ? ?

? (sin 44.5? ? sin 42.5? ) ? sin 44.5? ? sin 0.5? ? 2 cos22.5? sin 22? ,

2 sin 1? ?

B 2

? (cos0.5? ? cos2.5? ) ? (cos2.5? ? cos4.5? ) ? (cos4.5? ? cos6.5? ) ? ?

? (cos42.5? ? cos44.5? ) ? cos0.5? ? cos44.5? ? 2 sin 22.5? sin 22? .


A : B ? (2 sin 1? ?

A 2

) : (2 sin 1? ?

B 2

) ? (2 cos 22.5? sin 22? ) : (2 sin 22.5? sin 22? ) ? cot 22.5?

? 2 ? 1.
另解:

答:D.

A 2

? cos1.50 ? cos3.50 ? cos5.50 ? ? ? ? cos43.50 ,

B 2

? sin 1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ? ? sin 43.5? ,

A 2

?i

B 2

? (cos1.5? ? i sin 1.5? ) ? (cos3.5? ? i sin 3.5? ) ? ? ? (cos43.5? ? i sin 43.5? )
21

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )? (cos2 ? ? i sin 2 ? ) k
k ?0

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )

1 ? (cos2 ? ? i sin 2 ? ) 22 1 ? (cos2 ? ? i sin 2 ? ) 1 ? (cos44? ? i sin 44? ) 1 ? (cos2 ? ? i sin 2? )

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )

第 12 页

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )

2 sin 2 22? ? 2i sin 22? cos22? 2 sin 2 1? ? 2i sin 1? cos1?

?

(cos1.5? ? i sin 1.5? )(?2i sin 22? )(cos22? ? i sin 22? ) (?2i sin 1? )(cos1? ? i sin 1? )

=

sin 22? (cos22.5? ? i sin 22.5? ) . sin 1?

因为

A B A sin 22? cos 22.5? B sin 22? sin 22.5? 和 是实数,所以 , , ? ? sin 1? sin 1? 2 2 2 2
cos 22.5 2 cos 22.5 1 ? cos 45 ? ? ? ? ? ? sin 22.5 2 sin 22.5 cos 22.5 sin 45?
? 2 ? ?

A: B ?

A 2

:

B 2

?

1?

2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 2

. 答:D. 二、 填空题(满分 54 分,每小题 9 分)

?A a ? b ? c ? 60, a ? b ? c, a, b, c 成等差数列, 7.解: 设△ABC 三边长 a, b, c 为整数,
2 2 2 为钝角,则必有 2b ? a ? c , b ? c ? a .

易解得 60 ? a ? b ? c ? b ? (a ? c) ? b ? 2b ? 3b , b ? 20, a ? c ? 40; b ? a ? c
2 2

2

? (a ? c)(a ? c) ,即 202 ? 40(a ? c),10 ? a ? c .因此 50 ? (a ? c) ? (a ? c) ? 2a,25 ? a ,


a ? 26 .另外, b ? c ? a,60 ? a ? b ? c ? a ? a ? 2a, a ? 30, a ? 29 .易检验 (a, b, c)

? (26,20,14), (27,20,13), (28,20,12), (29,20,11) 都是钝角三角形.
8. 注意到 x ?

答:4.

2 ? 2 , y ? 2 ? 2 满足 x 2 ? y 2 ? (2 ? 2 ) ? (2 ? 2 ) ? 4 ,

x, y ? 0 , 故 可 令 x ? 2 cos ? , y ? 2 sin ? , 0 < ? <
-

? 2 . 从 而 4c o s ? ? 2 ? 2 , 2


2 ? 4 cos2 ? ? 2 , -

3? 2 3? ? 2 cos2 ? ? 1 ? cos ? cos2? , 故 ? ? 8 2 4

an ? (cos

3? 3? 3n? ? i sin ) n ? cos + 8 8 8

第 13 页

i sin

3n ? 3n? ? 0 ,当且仅当 n ? 8k , k ? Z. 满足此条件且 . an 取实数,当且仅当 sin 8 8 3x 2008 n ? 2007 的最小正整数 n 为 2008 ,此时 a n ? a 2008 ? cos ? ? cos 753? ? ?1. 8
9.易见奇异数有两类:第一类是质数的立方 p 3 ( p 是质数) ;第二类是两个不同质

答:-1.

数的乘积 p1 p 2 ( p1 , p2 为不同的质数).由定义可得

27 ? 33 是奇异数(第一类) ;
42 ? 2 ? 3 ? 7 不是奇异数; 69 ? 3 ? 23 是奇异数(第二类) ; 111 ? 3 ? 37 是奇异数(第二类) ;

125 ? 53 是奇异数(第一类) ;
137 是质数,不是奇异数;

343 ? 7 3 是奇异数(第一类) ;
(30 ? 1 ) (30 ? 1 ) ? 31 ? 29 是奇异数(第二类) 899 ? 900? 1 ? 302 ? 12 ? ; (60 ? 1 ) ? 61 ? 59 是奇异数(第二类) 3599? 3600? 1 ? 602 ? 12 ? (60 ? 1 ) ;
(第二类) . 7999? 8000? 1 ? 203 ? 13 ? (20 ? 1)(202 ? 20 ? 1) ? 19? 421是奇异数 答:8. 10. 解:将向量 AA 1 , AB , AD 分别记为 a , b , c . 则 a ? a ? 2 , b ? b ? 3 ,

c ? c ? 4 ,且易见

AC1 ? a ? b ? c ,
所以 AC1
2

A1C ? ?a ? b ? c ,
2 2 2

BD1 ? a ? b ? c ,

DB1 ? a ? b ? c .

? (a ? b ? c) 2 ? a ? b ? c ? 2(a ? b ? b ? c ? c ? a)

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca) cos600 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 2 =55,
故 AC1 ?

55 . 类似地,可算得, BD1 ? 19 , DB1 ? 15 , CA1 ? 27 =3 3 .

答: 55 , 19 , 15 ,3 3 . 11. 令 x ? 3 ? t , 易 见 x ? t ? 3 , f ( x) ? 2 x ? 3 ? 2(t ? 3) ? 3 ? 2t ? 3 ,

第 14 页

f ( 2) ( x) ? 2(2t ? 3) ? 3 ? 2 2 t ? 3,?, f ( n) ( x) ? 2 n t ? 3 ;令 y ? 1 ? s ,易见 y ? s ? 1 ,
g ( y) ? 3 y ? 2 ? 3(s ? 1) ? 2
? 3s ? 1


g ( 2) ( y) ? 3(3s ? 1) ? 2 ? 32 s ? 1,?



g ( n) ( y) ? 3n s ? 1 , n ? 1,2,3,? .因此,题设方程组可化为

?2 9 ( x ? 3) ? 3 ? 36 ( y ? 1) ? 1, (1) ? 9 6 ?2 ( y ? 3) ? 3 ? 3 ( z ? 1) ? 1, (2) ?2 9 ( z ? 3) ? 3 ? 36 ( x ? 1) ? 1.(3) ?
(1)-(2) , (2)-(3) , (3)-(1)得

?2 9 ( x ? y ) ? 36 ( y ? z ), (4) ? 9 6 ?2 ( y ? z ) ? 3 ( z ? x), (5) ?2 9 ( z ? x) ? 36 ( x ? y ).(6) ?
所 以

x? y ?

36 36 2 36 3 ( y ? z ) ? ( ) ( z ? x ) ? ( ) ( x ? y) 29 29 29

?

x? y ?0? y?z ?0

? x? y ? z.
代入(1)得

29 ( x ? 3) ? 3 ? 36 ( x ? 1) ? 1 , 512( x ? 3) ? 3 ? 729( x ? 1) ? 1 ,
512 x ? 1533 ? 729 x ? 728 , ?217 x ? 2261 , ? 31x ? 323 ,
答: x ? y ? z ? ?

x??
323 . 31

323 . 31

所以原方程组的解为 x ? y ? z ? ?

323 . 31

12.以 VT ?l 表示平面图形 T 绕直线 l 所得旋转体体积. 记直线 AC 为 l ,作 BM , DN ? l ,交 l 于 E , F ,分别交 CD , AB 于 M , N .过 O 作

PQ ? l ,分别交 AB, CD 于 P, Q .由于 O 是 BD 的中点,所以 P, Q 分别是 BN , DM 的中
点.由对称性,易见所求旋转体体积为

V ? V平行四边形ABCD?l ? 2(V?ADN ?l ? V平行四边形NPQD ?l ) .
由于 AB ? 4,BD ? 2 3,AD ? 2 ,易见 ?ADB ? 90 ,?DBA ? 30 ,
? ?

AO ? AD2 ? DO2 ? 4 ? 3 ? 7 , AC ? 2 7 . 显 然 ?DAC ? ?DC A ? ?C AB ,
DF ? FN .


DF ?

2S ?ADO AD ? DO 2 3 2 ? ? ? 21 AO AO 7 7
第 15 页



AF ? AD2 ? DF 2 ? 4 ?

12 16 4 .从而由圆锥体积公式得 ? ? 7 7 7

1 ? 12 4 16? 16 V?ADN ?l ? V?ADF ?l ? ? ? ? DF 2 ? AF ? ? ? ? ? 7? . 3 3 7 7 7 7 49


CF ? AC ? AF ? 2 7 ?

4 7

?

14 ? 4 7

?

10 7



CO ? AO ? 7



CF : CO ? DF : QO ,

QO ?

CO ? DF 2 10 1 ? 7? 21 ? ? 21 .从而由圆锥体积公式得 CF 7 7 5

1 1 V平行四边形 NPQD ?l ? V梯形FOQD ?l ? V?CDF ?l ? V?CQO ?l ? ? ? DF 2 ? CF ? ? ? QO 2 ? CO 3 3

?

? 12 10
3 7 ( ? 7

?

21 40 7 1000? 343 657 ? 7 ) ? 7? ( ? ) ? 7? ? ? 7? .从而 25 49 25 1225 1225

V ? 2(

16 657 16 657 1057 302 7? . 7? ? 7? ) ? 2 7? ( ? ) ? 2 7? ? ? 49 1225 49 1225 1225 175 302 7? : 175
2 2

答:所求体积为

13.解:I)可设 l : x ? my ? 4 ,与 ? 联立得 (3m ? 4) y ? 24my ? 36 ? 0 . 这是

y 的 一 元 二 次 方 程 , 由 判 别 式 ? ? 0 解 得 m 2 ? 4 . 记 A(x1 , y1) , B(x2 , y 2) ,则

y1 ? y 2 ?

? 24 m 36 , y1 y 2 ? . 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

由题设条件, OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y 2 ? 0 ,

36 ? 24 m ? 4m ? ? 16 ? 0 , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4 25 1 2 3 2 2 2 2 2 即 9(m ? 1) ? 24m ? 4(3m ? 4) ? 0 .得 ? 3m ? 25 ? 0 , m ? , ( ) ? , 3 m 25
2 得 (m ? 1) y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 , 即 (m ? 1) ?
2

?

3 3 ?m? . 5 5
故 l 的斜率的取值范围为 (?

3 3 , ). 5 5
第 16 页

因为 F(1,0),所以 FA , FB ? ,从而 (x1 ? 1,? y1) (x2 ? 1, y2) 1 ?

( x1 ? 1) y2 ? ( x2 ? 1)(? y1 ) ? (my1 ? 3) y2 ? (my2 ? 3) y1
? 2my 1 y 2 ? 3( y1 ? y 2 ) ? 2m ? 36 ? 24 m ? 3? ? 0. 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

? FA 1 与 F、B 三点共线. 1 与 FB 共线, 即 A
III)假设 q ? 4 ,过 Q(q,0) 的直线与 ? 交于 A、B,且 A 关于长轴的对称点为 A1 ,如 果 A1 、F、B 三点共线.我们另取点 P(4,0) .设直线 AP 与 ? 交于 B1 ,那么如 II)的证明, A1 、 F、B 三点必共线.故 B 与 B1 重合,从而直线 AB 和 AB1 重合,就是 AQ 与 AP 重合.所以 P 与 Q 重合, q ? 4 ,与假设矛盾.这就是说, q ? 4 时,三点 A1 、F、B 不能共线.

2x ? 1 1 1 14.解: ? n ? 2 xn ? , xn?1 xn xn
1 x
2006
2 n ?1

2

1 1 2 ? 4 xn ? 4 ? 2 , 2 xn?1 xn

?

1 2 ? 4( xn ? 1) , n ? 1,2,3? . 2 xn



?( x
n ?1

1
2 n ?1

?

1 xn

) ? 4 ? ( xn ? 1) ,亦即 2
2 n ?1

2006

1
2 x2007
2006 n ?1

?

2006 1 2 ? 4 xn ?8024, ? 2 x1 n ?1

由 x1 ? 1 得

1 x
2 2007

? 4 ? xn ?8025.
2

(*)

由于

xn?1 1 ? ? 1 , n ? 1,2,3,?, 且显然 xn ? 0 ,故 ?xn ? 是递减数列,且 2 xn 2 xn ? 1 x2 ?
x2 1 3 ? , x3 ? ? ? , 2 2 x1 ? 1 3 2 x 2 ? 1 2 ? 1 11 9
2

x1

1 3

2006



?x
n ?1

2 n

2006 1 1 2006 3 1 9 2 ? 1 ? ( ) 2 ? ? xn ? 1 ? ? ? ( ) 2 ? 1 ? ? ? 2004? 151, 3 9 n?3 11 9 121 n ?3

由(*)式得

8025?

1 x
2 2007

? 4 ? 151? 8025? 8629



1 1 1 1 2 2 ? x 2007 ? , lg ? lg x 2007 ? lg , 8629 8025 8629 8025
第 17 页

3 ? lg 8629? 2 lg x2007 ? ? lg 8025, ? 4 ? 2 lg x2007 ? ?3 , ? 2 ? lg x 2007 ? ? , 2

? k ? ?lg x2007 ? ? ?2 .
15.证明:因为△ABC 是锐角三角形,其三边 a, b, c 满足 a, b, c ? 0 ,以及

b ? c ? b, c ? a ? b, a ? b ? c, b 2 ? c 2 ? a 2 , c 2 ? a 2 ? b 2 , a 2 ? b 2 ? c 2 .
因此,由平均不等式可知

(b 2 ? c 2 ? a 2 ) x 2 ? (c 2 ? a 2 ? b 2 ) y 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) z 2

?

1 2 y2 z2 1 z 2 x2 1 x2 y2 (b ? c 2 ? a 2 ) x 2 ( 2 ? 2 ) ? (c 2 ? a 2 ? b 2 ) y 2 ( 2 ? 2 ) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) z 2 ( 2 ? 2 ) 2 2 2 z y x z y x

ayz bzx cxy 2 a2 y 2 z 2 b2 z 2 x2 c2 x2 y 2 ?( ? ? ) ? 2(bcx2 ? cay2 ? abz2 ) , ? ? ? 2 2 2 x y z x y z
从 而

[(b ? c) 2 ? a 2 ]x 2 ? [(c ? a) 2 ? b 2 ] y 2 ? [(a ? b) 2 ? c 2 ]z 2 ? (
亦即

ayz bzx cxy 2 ? ? ) ? P2 , x y z

(a ? b ? c)S ? P 2 , S ?

P2 . a?b?c
P .因此所求的 S 的最大值为 a?b?c

2 2 2 上式取等式当且仅当 x ? y ? z ,亦即 x ? y ? z ?

P P2 ,当 S 取最大值时, x ? y ? z ? . a?b?c a?b?c
A B o l Q x A B o A1 F l Q x C1 B C D B1 D1 A A A1 D F N Q O P M E B

C

y

(第 13 题答图)

y

(第 10 题答图)

(第 12

题答图)

2008 参考答案(网友解答,不排除有错)
4 1 10, 10] 9.错题 10. 11. x ? 3 y ? 2 ? 0 12.1338 5 4 8 2 1 , P ?? ? 1? ? , P ?? ? 2 ? ? 0, P ?? ? 3? ? 13. P ?? ? 0 ? ? 15 5 15
m 1D 2D 3B 4A(B)5C 6D 7. Cn 8. (?

第 18 页

14. 思 路:先用反 证法证明存 在 N ,使 aN ? N ? 1 ;接 着用数学归 纳法证 n ? N 时 , 最后 证 n ? N 时,an ? an?1 ? an ? 1 , 这样即一切自然数 m(m ? aN ) 都 n ? 2 ? an ? n ? 1 ; 在数列 ?an ? 中,结论正确。

15. 利用根轴概念,只需证明$C,D,E,F 四点共圆,以 A(或 B)为中心进行反演 不难得证!

2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 参考答案及评分标准
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.答案: ? 4 ? 2 5,8? .

?

?

提示:因 0 ? x ? 4 ,设 x ? 2 ? 2 cos ? ( 0 ? ? ? ? ) ,
第 19 页

则 y ? 4cos ? ? 2sin ? ? 4 ? 2 5 cos(? ? ? ) ? 4(其中 cos ? ? 为锐角) ,

2 1 ,sin ? ? ,? 5 5

所以当 ? ? 0 时, ymax ? 8 ,当 ? ? ? ? ? 时, ymin ? 4 ? 2 5 ,故 y ? ? 4 ? 2 5,8? .

?

?

2. 答案: 1 ? ln(1 ? x) 提示:因两函数图象关于直线 x ? y ? 1 对称,所以 x ? y ? 1 , y ? 1 ? x , ∴1 ? x ? e 3. 答案: ?
1? y

,解得 y ? 1 ? ln(1 ? x) .

1 3

提示:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,所以 任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角

? 的 两 倍 . ∵ tan ? ? 2 , ∴ cos 2 ? ?
1 2 cos 2 ? ? 2 co ? s ? ?1? . 3
4. 答案: 5

1 1 ? ,则 2 1 ? tan ? 3

提示:由椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 知, t ? 1 , t ?1 t ?1

设其参数方程为 ?

? ? x ? t ? 1cos ? ? ? y ? t ? 1sin ?

( ? 为 参 数 ) 代 入 双 曲 线 方 程 xy ? 1 , 得

sin? 2?

2 t 2 ?1

.

因两曲线相切,∴

2 t ?1
2

? 1 ,故 t ? 5 .

5. 答案: 1 ? 3 提 示 :在 复平 面 上, 设 A(?1, 0) , B(1, 0) , C (0,1) , 则 当 Z 为 ?ABC 的 费 马 点时 ,

| z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 取得最小值,最小值为1 ?

3 2 3 2 3 ? ? ? 1? 3 . 3 3 3

6. 答案: b ?

a2 a3 a ? . ?1 且 c ? 27 3 3
第 20 页

提示:设三个根为 ? ? 1 , ? , ? ? 1 ,则 x3 ? ax2 ? bx ? c ? ( x ? ? ? 1)( x ? ? )( x ? ? ? 1) , 右 边 展 开 与 左 边 比 较 得 ? a ? 3? , b ? (? ?1)? ? ? (? ? 1) ? (? ? 1)(? ?1) ? 3? 2 ?1 ,

? a2 b ? ?1 ? ? 3 消去 ? 得 ? , 这就是所求 ?c ? (? ? 1)? (? ? 1) , 3 ?c ? a ? a ? 27 3 ?
的充要条件. 7. 答案: 12 6 提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点 P 在图中 的三个平形四边形及其内部运动, 所以动点 P 的轨迹所覆盖 的平面区域的面积等于等于 ?ABC 面积的 2 倍,即 12 6 .

8. 答案:

6 7

3 提示:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有 C8 个三角形,其中直角三角形有
3 12 ? C4 6 ? . 3 C8 7

3 个,所求“构成直角三角形”的概率是 12 ? C4

二、解答题(共 86 分) 9. 解:特征根法. 又 an ? 2 ?

4 ? 2an ?1 1 ? an?1 , an ? 1 ? ,????(10 分) 1 ? an ?1 1 ? an?1 ? (?2) n ,于是 an ?

得 分)

an ? 2 a ?2 a ?2 ? (?2) ? n?1 ? (?2) 2 n?2 ? an ? 1 an?1 ? 1 an?2 ? 1

(?2) n ? 2 .?(20 (?2) n ? 1

?n2 ? n ? 24 ? 0 mod 2 ?n 2 ? n ? 0 mod 3 ? 2 ? ?n ? n ? 24 ? 0 mod 3 10. 解: 2010 | n2 ? n ? 24 ? ? ? ?n 2 ? n ? 1mod 5 ??(10 2 ?n ? n ? 24 ? 0 mod 5 ?n 2 ? n ? 43mod 67 ? ?n2 ? n ? 24 ? 0 mod 67 ?
分) 又 n ? n ? 0 mod 3 ? n ? 0 或 2 mod 3 , n ? n ? 1mod5 ? n ? 2mod5 ,
2 2

n2 ? n ? 43mod 67 ? n ? 10 或 56 mod 67 ,故所求最小正整数 n ? 77 .????(22
分)
第 21 页

11. 证明:由题设可证 A , B C , D , E , F 六点共圆. ????(10 分) 不 妨 设 圆 半 径 为 1 , 则 有 S ?ABC ?

1 ( s iA n ? 2 B ?s i C n 2, 2

s i n 2

)

S?DEF ?

1 (sin A ? sin B ? sin C ) . 2 由于 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C 1 1 1 ? (sin 2 A ? sin 2 B) ? (sin 2 B ? sin 2C ) ? (sin 2C ? sin 2 A) 2 2 2

? sin( A ? B)sin( A ? B) ? sin( B ? C)sin( B ? C) ? sin(C ? A)sin(C ? A) ? sin( A ? B) ? sin( B ? C ) ? sin(C ? A) ? sin A ? sin B ? sin C
∴ ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积. ????(22 分) 12. 解: 把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为:n1 ,n2 ,n3 , ?, 不难发现其前 4 项分别为 2,3,5,8. (1) ?ni ? 满足 ni ?1 ? ni ? ni ?1 ; (2)当 n ? ni 时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ?1 ; (3)当 ni ? n ? ni ?1 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目 ? ni . ??????????????(10 分) 设 k ? n ? ni ( i ? 4 ) ,注意到 ni ? 2 ? 当1 ? k ? 当 下面我们用数学归纳法证明:

ni ? ni ?1 . 2

ni 时,甲第一次时可取 k 根火柴,剩余 ni ? 2k 根火柴,乙无法获胜. 2

ni ? k ? ni ?1 时, ni ?2 ? k ? ni ?1 ,根据归纳假设,甲可以取到第 k 根火柴,并且甲此 2

时所取的火柴数目 ? ni ? 2 ,剩余 ni ? 2ni ?2 根火柴,乙无法获胜. 当 k ? ni ?1 时,设甲第一次时取走 m 根火柴,若 m ? k ,则乙可取走所有剩小的火柴; 若m ? k , 则根据归纳假设, 乙总可以取到第 k 根火柴, 并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ? 2 , 剩余 ni ? 2ni ?2 根火柴,甲无法获胜. 综上可知, ni ?1 ? ni ? ni ?1 . 因为 100 不在数列 ?ni ? ,所以当 n ? 100 时,甲有获胜策略. ????(22 分)

2011 解答
1. 10. 2. 2. 3. {32}. 4. 2413.
第 22 页

5.

17 . 4

6.

6ar ? 4 π r 2 .

7.

z?z . 1 ? zz a1 ?

8.

3 . (n ? 1)(n ? 3)

9. an ? 1 ?

? an ? 2 a ? an ?1 ? n ? 2 4 4

? an ?

an?1 1 ? a ? ? ? an?1 ? n?2 ? ? 2 2? 2 ?

?

1 2n?1
n 2 n ?1

? 2 n ?1 a n ? 2 n ? 2 a n ?1 ? 1 ? ? ? n ? a n ?

.

2 10.设 ak 的最小素因子 p k ,因为 ak 不是素数,所以 ak ? pk . 于是

?a ?? p
k ?1 k k ?1

n

1

n

1
2 k

? ?

1 n 1 ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2

1 n 1 ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2 ? 1 1 1 1 ? ? ? 2 4n 2

? f (0) ? c ? ? 11.由 ? f (1) ? a ? b ? c ? a b 1 ? ? f ( 3) ? 3 3 ? 3 ?c

可知

2b ? 3 3 f (

1 3

) ? f (1) ? (3 3 ? 1) f (0) ? 3 3

f ( x) ? 3 23 ( x ? x 3 ) 满足题设, b 的最大可能值为 3 2 3 .
12.设 D( x1 , y1 ),E( x2 , y2 ),P( x, y) ,直线 CD 的方程 y ? k ( x ? 2) ,则

x2 ? k 2 ( x ? 2)2 ? 1 ,所以
x1 ? x2 ? ?4k 2 1 ? 4k 2 5 , x x ? ? ? ?1 ? ( x1 ? x2 ) , ① 1 2 2 2 1? k 1? k 4

y1 y ( x ? 1) ? y ? 2 ( x ? 1) , x1 ? 1 x2 ? 1

所以
y2 y ? 1 x ? 1 x1 ? 1 x? 2 ? y2 y ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 2 x1 ? 2 ? x2 ? 1 x1 ? 1 2 x1 x2 ? 3x1 ? x2 ? 。 x2 ? 2 x1 ? 2 3x2 ? x1 ? 4 ? x2 ? 1 x1 ? 1
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把①代入上式,得 x ?

1 . 2

2012 年安徽高中数学竞赛初赛试题

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