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2014版学海导航数学(理)总复习(第1轮)同步测控 第57讲 椭圆 Word版含答案]


第 57 讲 椭



1.一动点 P 到两定点 F1、F2 的距离之和为 2a (2a≥|F1F2|),则动点 P 的轨迹为( ) A.椭圆 B.线段 F1F2 C.不存在 D.椭圆或线段 F1F2 x2 y2 x2 y2 2.(2012· 上海卷)已知椭圆 C1: + =1,C2: + =1,则( ) 12 4 16 8 A.C1 与

C2 顶点相同 B.C1 与 C2 长轴长相同 C.C1 与 C2 短轴长相同 D.C1 与 C2 焦距相等 4 3.已知椭圆 C 的短轴长为 6,离心率为 ,则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距 5 离为( ) A.9 B.1 C.1 或 9 D.以上都不对 4.(2012· 大纲卷)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x=-4,则该椭圆的方程 为( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 16 12 16 8 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 8 4 12 4 2 x y2 3 5.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1、F2,b=4,椭圆的离心率为 ,过 F1 a b 5 的直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长为______. x2 y2 6.椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, 12 3 那么|PF1|是|PF2|的______倍. x2 y2 7.设 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C a b 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距; → → (2)如果AF2=2F2B,求椭圆 C 的方程.

x2 x02 8.已知椭圆 C: +y2=1 的两焦点为 F1,F2,点 P(x0,y0)满足 0< +y02<1,则|PF1| 2 2 +|PF2|的取值范围为__________. x2 y2 9.设 P 是椭圆 + =1 上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 cos ∠F1PF2 的最小值 9 4 是________. x2 y2 10.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点为 F1、 F2, 点 P 在椭圆 C 上, 且 PF1⊥F1F2, |PF1| a b

4 14 = ,|PF2|= . 3 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 且交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.

第 57 讲 1.D 2.D 3.C 4.C 5.20 6.7 7.解析:(1)设椭圆 C 的焦距为 2c. 由已知可得 F1 到直线 l 的距离为 3c=2 3, 故 c=2.所以椭圆 C 的焦距为 4. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知 y1<0,y2>0. 直线 l 的方程为 y= 3(x-2). ? ?y= 3(x-2) 联立,得方程组?x2 y2 , 2+ 2=1 ? ?a b 2 消去 x,得(3a +b2)y2+4 3b2y-3b4=0, - 3b2(2+2a) - 3b2(2-2a) 解得 y1= , y = . 2 3a2+b2 3a2+b2 → → 因为AF2=2F2B,所以-y1=2y2, 2 3b (2+2a) - 3b2(2-2a) 即 =2× ,得 a=3. 3a2+b2 3a2+b2 而 a2-b2=4,所以 b= 5. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5 x02 x2 8.[2,2 2) 解析:由于 0< +y02<1,所以点 P(x0,y0)在椭圆 +y2=1 内部,且不 2 2 能与原点重合.根据椭圆的定义和几何性质知,|PF1|+|PF2|<2a=2 2,且|PF1|+|PF2|取得 最小值时,点 P 落在线段 F1F2 上(原点除外),此时|PF1|+|PF2|=2,故|PF1|+|PF2|的取值范 围是[2,2 2). 1 9.- 解析:由余弦定理得, 9 PF12+PF22-F1F22 cos ∠F1PF2= 2PF1·PF2 (PF1+PF2)2-2PF1·PF2-F1F22 = 2PF1·PF2 8 = -1 PF1·PF2 8 = -1, PF1·(6-PF1) 结合二次函数的最值得,当 PF1=PF2=3 时, 1 cos ∠F1PF2 取得最小值- . 9 10.解析:方法 1:(1)因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|= |PF2|2-|PF1|2=2 5,故椭圆的半焦距 c= 5, x2 y2 从而 b2=a2-c2=4,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 9 4 (2)设 A,B 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆 心 M 的坐标为(-2,1),从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得(4 +9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称, x1+x2 18k2+9k 8 所以 =- =-2,解得 k= , 2 9 4+9k2 8 所以直线 l 的方程为 y= (x+2)+1,即 8x-9y+25=0.(经检验,符合题意). 9

方法 2:(1)同方法 1. (2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.所以圆心 M 的坐标为(-2,1) 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意,x1≠x2, x12 y12 且 + =1,① 9 4 x22 y22 + =1,② 9 4 (x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+y2) 由①②得 + =0.③ 9 4 y1-y2 8 因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+x2=-4,y1+y2=2,代入③得 = ,即直线 x1-x2 9 8 l 的斜率为 , 9 8 所以直线 l 的方程为 y-1= (x+2),即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题 9 意)


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