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高中数学 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性


第3讲

函数的奇偶性与周期性

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2012· 苏北四市调研)若函数 f(x)= 解析 由题意,得 f(0)=0,所以 答案 -1 2.(2012· 无锡调研)设函数 f

(x)是奇函数且周期为 3,f(-1)=-1,则 f(2 011)= ________ 解析 因为 f(-x)=-f(x),f(x+3)=f(x),f(-1)=-1,所以 f(1)=1,f(2 011) =f(3×670+1)=f(1)=1. 答案 1 3. (2013· 苏锡常镇扬调研)已知奇函数 f(x)的图象关于直线 x=-2 对称, x∈[0,2] 当 时,f(x)=2x,则 f(-9)=________. 解析 由题意, f(-x)=-f(x), 得 f(x)=f(-4-x), 所以 f(-9)=f(-4+9)=f(5) =-f(-5)=-f(1)=-2. 答案 -2 4.(2012· 盐城市检测)设函数 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1, f(2)= 2a-3 ,则 a 的取值范围是________. a+1 2a-3 =f(2)=f(-1)=-f(1)< a+1 2 +m 为奇函数,则实数 m=________. 2 +1
x

2 +m=0,即 m=-1. 2 +1
0

解析 因为 f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),所以

2a-3 3a-2 2 -1,即 +1<0, <0,解得-1<a<3. a+1 a+1 2? ? 答案 ?-1,3? ? ?

5. (2013· 扬州市冲刺)已知函数 f(x)是奇函数, 且在[-1,1]上是单调增函数, f(- 又 1)=-1,则满足 f(x)≤t2+2at+1 对所有的 x∈[-1,1]及 a∈[-1,1]都成立的 t 的取值范围是________. 解析 由题意,f(x)max=f(1)=-f(-1)=1,所以 t2+2at+1≥1,即 t2+2at≥0 对 a∈[-1,1]恒成立, t=0 时, 显然成立; t≥0 时, t≥-2a 恒成立, t≥2; 由 得 t<0 时,由 t≤-2a 恒成立,得 t≤-2.综上,得 t≤-2 或 t=0 或 t≥2. 答案 (-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞) 6.(2013· 南通、无锡调研)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则 不等式 f?x?-f?-x? <0 的解集为________. x 因为 f(-x)=-f(x),所以由 ?x>0, f?x?-f?-x? 2f?x? = x <0,得 ? 或 x ?f?x?<0

解析

?x<0, ? ?f?x?>0. 因为 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0, 所以由 f(x)<f(1),得 0<x<1. 又 f(x)是奇函数,所以 f(-1)=-f(1)=0,且 f(x)在(-∞,0)上为增函数,所 以由 f(x)>f(-1),得-1<x<0. 综上所述,-1<x<0 或 0<x<1. 答案 (-1,0)∪(0,1) 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.设 f(x)=ex+ae-x(a∈R,x∈R). (1)讨论函数 g(x)=xf(x)的奇偶性; (2)若 g(x)是偶函数,解不等式 f(x2-2)≤f(x). 解 (1)a=1 时,f(x)=ex+e-x 是偶函数, 所以 g(x)=xf(x)是奇函数; a=-1 时,f(x)=ex-e-x 是奇函数, 所以 g(x)=xf(x)是偶函数. a≠± 1,由 f(x)既不是奇函数又不是偶函数, 得 g(x)=xf(x)是非奇非偶函数.

(2)当 g(x)是偶函数时,a=-1,f(x)=ex-e-x 是 R 上的单调递增函数,于是由 f(x2-2)≤f(x)得 x2-2≤x, 即 x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2. a 8.已知函数 f(x)=x2+ x (x≠0,a∈R). (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2(x≠0)为偶函数; 当 a≠0 时,f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)设 x2>x1≥2, a a 2 则 f(x1)-f(x2)=x2+x -x2-x 1
1 2

x1-x2 = x x [x1x2(x1+x2)-a], 1 2 由 x2>x1≥2,得 x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0,x1x2>0. 要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数, 只需 f(x1)-f(x2)<0, 即 x1x2(x1+x2)-a>0 恒成立,则 a≤16.

分层训练 B 级

创新能力提升

1 1.(2012· 深圳调研)给出四个函数:①f(x)=x+x;②g(x)=3x+3-x;③u(x)=x3; ④v(x)=sin x,其中满足条件:对任意实数 x 和任意正数 m,有 f(-x)+f(x) =0 及 f(x+m)>f(x)的函数为________. 解析 可知满足条件的函数是奇函数,且在 R 上单调递增,所以仅 u(x)=x3 符合题意. 答案 u(x)=x3 2.若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给 出下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数;②f(x)关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在[1,2]上是减函数;

⑤f(2)=f(0). 其中正确的序号是________. 解析 ∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x)=-f(x+1)=f(x+1+1)=f(x+2), ∴f(x)是周期为 2 的函数,①正确. 又∵f(x+2)=f(x)=f(-x),∴f(x)=f(2-x), ∴y=f(x)的图象关于 x=1 对称,②正确. 又∵f(x)为偶函数且在[-1,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,1]上是减函数.又∵对称轴为 x=1, ∴f(x)在[1,2]上为增函数,f(2)=f(0),故③④错误,⑤正确. 答案 ①②⑤ ? π π? ?π? 3.(2013· 南通调研三)已知函数 f(x)=x2-cos x,x∈?-2,2?,则满足 f(x0)>f?3?的 ? ? ? ? x0 的取值范围为________. π? ? 解析 f′(x)=2x+sin x,在区间?0,2?内 f′(x)>0, ? ? π? ? ?π? ?π π? ∴f(x)在区间?0,2?内单调递增,此时由 f(x0)>f?3?得 x0∈?3,2?,易证 f(x)是偶 ? ? ? ? ? ? π? ? π 函数,∴x0∈?-2,-3?也符合题意. ? ? 答案
? ? π ? π π π ?x?- ≤x<- 或 <x≤ 2 3 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

? 3? ? 3? 4. 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f?x+2?=-f(x), 且函数 y=f?x-4?为 ? ? ? ? 奇函数,给出以下四个命题:①函数 f(x)是周期函数;②函数 f(x)的图象关于 ? 3 ? 点?-4,0?对称;③函数 f(x)为 R 上的偶函数;④函数 f(x)为 R 上的单调函 ? ? 数.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). ? 3? ? 3? 解析 ①由 f?x+2?=-f(x),得 f(x+3)=-f?x+2?=f(x),所以①正确.②由 ? ? ? ? ? 3? ?3 ? y=f ?x-4? 为奇函数,得 f(x)图象关于点 ?4,0? 对称,所以②不正确.③由 ? ? ? ? 3? 3? 3? ? ? 3? ? ? 3? ? f?-x-4?=-f?x-4?, f(x)=-f?-x-2?, f?x+2?=-f(x), 得 又 所以 f?-x-2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 3? =f?x+2?,所以 f(x)是偶函数,③正确.由③正确知④不正确. ? ? 答案 ①③ 1+ax2 5.(2012· 盐城市检测)已知函数 f(x)= (a≠0)是奇函数,并且函数 f(x)的图 x+b 象经过点(1,3). (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的值域. 解 (1)因为函数 f(x)= 1+ax2 是奇函数, x+b 1+a?-x?2 1+ax2 =- . -x+b x+b

所以 f(-x)=-f(x).所以

因为 a≠0,所以-x+b=-x-b,所以 b=0. 又函数 f(x)的图象经过点(1,3),所以 f(1)=3. 1+a 所以 =3.因为 b=0,故 a=2. 1+b 1+2x2 1 (2)由(1)知 f(x)= x =2x+x (x≠0). 1 当 x>0 时,2x+ x≥2 当 x<0 时,(-2x)+ 1 所以 2x+ x≤-2 2. 当且仅当-2x= 1 2 ,即 x=- 2 时取等号. -x 1 1 2 2x·=2 2,当且仅当 2x=x,即 x= 2 时取等号. x 1 ?-2x?· =2 2. -x

1 ≥2 -x

综上可知,函数 f(x)的值域为(-∞,-2 2]∪[2 2,+∞). 6.(2012· 启东重点中学调研)设 f(x)=loga 1)(ax+1)](a>1,且 m≠1). (1)求 m 的值; (2)求 g(x)的定义域; 3? ? 5 (3)若 g(x)在?-2,-2?上恒正,求 a 的取值范围. ? ? 1-mx 为奇函数,g(x)=f(x)+loga[(x- x-1

解 (1)f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x), loga ∴ 1-mx 1+mx -x-1 =-loga =loga , x-1 -x-1 1+mx

1-mx -x-1 2 = ,x -1=(mx)2-1, x-1 1+mx

∴(m2-1)x2=0,又 m≠1,∴m=-1. x+1 (2)由(1)得,f(x)=loga , x-1 x+1 g(x)=loga +loga[(x-1)· (ax+1)], x-1 ??x-1??ax+1?>0, x 必须满足? ??x+1??x-1?>0. 又 a>1,∴x<-1 或 x>1, ∴g(x)的定义域为{x|x<-1 或 x>1}. 3? ? 5 (3)∵a>1,g(x)在?-2,-2?上恒正, ? ? ∴ (x + 1)(ax + 1) > 1 ? ax + 1 < 3? ? 5 ?-2,-2?, ? ? 1 1 ∴- ≤- 3 =2,∴a>2, x+1 ? ? ?-2?+1 ? ? ∴a 的取值范围是(2,+∞). 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资 源见《创新设计· 高考总复习》光盘中内容. 1 x 1 ? ax < - ?a>- ,∵x∈ x+1 x+1 x+1


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