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2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编:K单元 概率



K 单元 概率



K1 随事件的概率 13.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的 运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________. 1 13. 3 [解析] 甲有 3 种选法,乙也有 3 种选法,所以他们共有 9 种不同的选法.若他

r />3 1 们选择同一种颜色,则有 3 种选法,所以其对应的概率 P= = . 9 3 13. [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为________. 2 13. 3 [解析] 2 本数学书记为数 1,数 2,3 本书共有(数 1 数 2 语),(数 1 语数 2),(数 2

数 1 语),(数 2 语数 1),(语数 1 数 2),(语数 2 数 1)6 种不同的排法,其中 2 本数学书相邻 4 2 的排法有 4 种,对应的概率为 P= = . 6 3 14.[2014· 浙江卷] 在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖.甲、乙两人各抽 取 1 张,两人都中奖的概率是________. 1 14. 3 [解析] 基本事件的总数为 3×2=6,甲、乙两人各抽取一张奖券,两人都中奖只

2 1 有 2 种情况,所以两人都中奖的概率 P= = . 6 3 19.[2014· 陕西卷] 某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车 辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1000 130 2000 100 3000 150 4000 120

(1)若每辆车的投保金额均为 2800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4000 元的样本车辆中,车主 是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4000 元的概率. 19. 解: (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元”, B 表示事件“赔付金额为 4000 元”, 以频率估计概率得 150 120 P(A)= =0.15,P(B)= =0.12. 1000 1000 由于投保金额为 2800 元,所以赔付金额大于投保金额的概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”,由已知,得样本车辆中车主为新 司机的有 0.1×1000=100(辆), 而赔付金额为 4000 元的车辆中, 车主为新司机的有 0.2×120 24 =24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率为 =0.24.由频率估计概 100 率得 P(C)=0.24.

16. 、[2014· 四川卷] 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片 除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字 依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. 16.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为: (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1, 3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3), (2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2, 2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种, 3 1 所以 P(A)= = . 27 9 1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B, 则事件 B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 3 8 所以 P(B)=1-P(B)=1- = . 27 9 8 因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 9 K2 古典概型 20. ,[2014· 福建卷] 根据世行 2013 年新标准,人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家; 人均 GDP 为 1035~4085 美元为中等偏下收入国家;人均 GDP 为 4085~12 616 美元为中等 偏上收入国家;人均 GDP 不低于 12 616 美元为高收入国家.某城市有 5 个行政区,各区人 口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表: 行政区 A B C D E 区人口占城市人口比例 25% 30% 15% 10% 20% 区人均 GDP(单位:美元) 8000 4000 6000 3000 10 000

(1)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准; (2)现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个,求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等 偏上收入国家标准的概率. 20.解:(1)设该城市人口总数为 a,则该城市人均 GDP 为 8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10 000×0.20a = a 6400(美元). 因为 6400∈[4085,12 616), 所以该城市人均 GDP 达到了中等偏上收入国家标准. (2)“从 5 个行政区中随机抽取 2 个”的所有的基本事件是: {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E}, {D,E},共 10 个.

设事件 M 为“抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准”, 则事件 M 包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共 3 个. 3 所以所求概率为 P(M)= . 10 12.[2014· 广东卷] 从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母,则取到字母 a 的概率 为________. 2 12. 5 [解析] 所有事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,

d),(c,e),(d,e),共 10 个,其中含有字母 a 的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a, 4 2 e),共 4 个,所以所求事件的概率是 P= = . 10 5 5.[2014· 湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概率记 为 p1,点数之和大于 5 的概率记为 p2,点数之和为偶数的概率记为 p3,则( ) A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3 C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2 5.C [解析] 掷出两枚骰子,它们向上的点数的所有可能情况如下表: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 10 26 18 则 p1= ,p2= ,p3= .故 p1<p3<p2.故选 C. 36 36 36 17. 、[2014· 湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机 抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下: (a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a, b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b). 其中 a,a 分别表示甲组研发成功和失败;b,b 分别表示乙组研发成功和失败. (1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记 1 分,否则记 0 分.试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平. (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率. 17.解:(1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1, 10 2 其平均数为 x 甲= = , 15 3 2 2 2 2 1 2 2 方差为 s甲 = ??1-3? ×10+?0-3? ×5?= . 15?? ? ? ? ? 9 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 9 3 其平均数为 x 乙= = , 15 5 3 2 3 2 1 6 2 方差为 s乙 = ??1-5? ×9+?0-5? ×6?= . 15?? ? ? ? 25 ? 2 因为 x 甲>x 乙,s2 甲<s乙,所以甲组的研发水平优于乙组. (2)记 E={恰有一组研发成功}. 在所抽得的 15 个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b), (a,b),(a,b),(a,b),

7 共 7 个,故事件 E 发生的频率为 . 15 7 将频率视为概率,即得所求概率为 P(E)= . 15 4.[2014· 江苏卷] 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘 积为 6 的概率是________. 4. 1 [解析] 基本事件有(1,2),(1,3)(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共 6 种情况, 3

1 乘积为 6 的是(1,6)和(2,3),则所求事件的概率为 . 3 3.[2014· 江西卷] 掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 18 9 6 12 3.B [解析] 掷两颗均匀的骰子,一共有 36 种情况,点数之和为 5 的有(1,4),(2, 4 1 3),(3,2),(4,1),共 4 种,所以点数之和为 5 的概率为 = . 36 9 21. 、 、[2014· 江西卷] 将连续正整数 1,2,?,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数 123? n,F(n)为这个数的位数(如 n=12 时,此数为 123456789101112,共有 15 个数字,F(12)= 15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到 0 的概率. (1)求 p(100); (2)当 n≤2014 时,求 F(n)的表达式; (3)令 g(n)为这个数中数字 0 的个数,f(n)为这个数中数字 9 的个数,h(n)=f(n)-g(n),S ={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当 n∈S 时 p(n)的最大值. 21.解:(1)当 n=100 时,这个数中总共有 192 个数字,其中数字 0 的个数为 11,所以 11 恰好取到 0 的概率为 p(100)= . 192 n,1≤n≤9,

? ?2n-9,10≤n≤99, (2)F(n)=? 3n-108,100≤n≤999, ? ?4n-1107,1000≤n≤2014.

(3)当 n=b(1≤b≤9,b∈N*),g(n)=0; 当 n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k; 当 n=100 时,g(n)=11,即 g(n)= ?0,1≤n≤9,

? ?k,n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N, ? ?11,n=100.
同理有 f(n)= 0,1≤n≤8,

? ?k,n=10k+b-1,1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N ,b∈N, ?n-80,89≤n≤98, ? ?20,n=99,100.
*

由 h(n)=f(n)-g(n)=1,可知 n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 所以当 n≤100 时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}. 当 n=9 时,p(9)=0. g(90) 9 1 当 n=90 时,p(90)= = = . F(90) 171 19 g(n) k k k 当 n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)= = = ,由 y= 关于 k F(n) 2n-9 20k+9 20k+9

8 单调递增,故当 n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为 p(89)= . 169 8 1 1 又 < ,所以当 n∈S 时,p(n)的最大值为 . 169 19 19 18. 、[2014· 辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行 了抽样调查,调查结果如下表所示: 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 60 20 80 南方学生 10 10 20 北方学生 70 30 100 合计 (1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食 习惯方面有差异”; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. n(n11n22-n12n21)2 附:χ2= , n1+n2+n+1n+2 0.100 0.050 0.010 P(χ2≥k) k 2.706 3.841 6.635 18.解:(1)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 2 100×(60×10-20×10)2 100 2 n(n11n22-n12n21) χ = = = ≈4.762. 21 n1+n2+n+1n+2 70×30×80×20 由于 4.762>3.841, 所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习 惯方面有差异”. (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω ={(a1,a2, b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2, b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}, 其中 ai 表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj 表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3. Ω 由 10 个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则 A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3), (a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}. 7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= . 10 16. ,[2014· 山东卷] 海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检 测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些 商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 数量 A 50 B 150 C 100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相 同地区的概率. 16.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6 1 1 1 = ,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50× =1,150× 50 50 50+150+100 50 1 =3,100× =2. 50 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2. (2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这 2

件商品构成的所有基本事件为: {A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1}, {B1,C2},{B2,B3}{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D 为“抽取的这 2 件商品来自相同地区”, 则事件 D 包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个. 4 4 所以 P(D)= ,即这 2 件商品来自相同地区的概率为 . 15 15 6.[2014· 陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的 距离小于该正方形边长的概率为( ) 1 A. 5 2 3 4 B. C. D. 5 5 5

6.B [解析] 由古典概型的特点可知从 5 个点中选取 2 个点的全部情况共有 10 种,其 中选取的 2 个点的 4 2 距离小于该正方形边长的情况共有 4 种,故所求概率为 P= = . 10 5 16. 、[2014· 四川卷] 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片 除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字 依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. 16.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为: (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1, 3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3), (2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2, 2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种, 3 1 所以 P(A)= = . 27 9 1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B, 则事件 B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 3 8 所以 P(B)=1-P(B)=1- = . 27 9 8 因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 9 15. 、[2014· 天津卷] 某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年 级情况如下表: 一年级 二年级 三年级 A B C 男同学 X Y Z 女同学 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件 M 发生的概率. 15.解:(1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A, C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},

{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共 15 种. (2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为{A, Y}, {A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种. 6 2 因此,事件 M 发生的概率 P(M)= = . 15 5 17. 、[2014· 重庆卷] 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图 13 所示.

图 13 (1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率. 17.解:(1)据直方图知组距为 10,由 (2a+3a+7a+6a+2a)×10=1, 1 解得 a= =0.005. 200 (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20=2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20=3. (3)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A1,A2,成绩落在[60,70)中的 3 人为 B1,B2,B3, 则从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个,即(A1,A2),(A1,B1),(A1, B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3). 其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件有 3 个,即(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3). 3 故所求概率为 P= . 10 K3 几何概型 13.[2014· 福建卷] 如图 15 所示,在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.

图 15 13.0.18 [解析] 设阴影部分的面积为 S.随机撒 1000 粒豆子,每粒豆子落在正方形内 任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即 S 落在阴影部分中的豆子数 180 ≈ = =0.18, 1 落在正方形中的豆子数 1000

所以可以估计阴影部分的面积为 0.18. 5.[2014· 湖南卷] 在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为( ) 4 3 A. B. 5 5 2 1 C. D. 5 5 1-(-2) 3 5.B [解析] 由几何概型概率计算公式可得 P= = . 3-(-2) 5 6. [2014· 辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图 11 所示的长方形 ABCD 中, 其中 AB=2, BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )

图 11 π π A. B. 2 4 π π C. D. 6 8 6.B [解析] 由题意 AB=2,BC=1,可知长方形 ABCD 的面积 S=2×1=2,以 AB π 2 π 1 为直径的半圆的面积 S1= ×π ×12= .故质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率 P= = 2 2 2 π . 4 15.[2014· 重庆卷] 某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~ 7:50 之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分 钟到校的概率为________.(用数字作答) 9 15. [解析] 设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y,(x,y)可以看成平面中的 32 15 47 15 47? ? 点.试验的全部结果所构成的区域为 Ω=?(x,y)| 2 ≤x≤ 6 , 2 ≤y≤ 6 ?,这是一个正方 ? ? 1 1 1 形区域,面积为 SΩ = × = .事件 A 表示小张比小王早到 5 分钟,所构成的区域为 A=(x, 3 3 9 1 15 47 15 47 1 1 1 1 y)x-y≥ , ≤x≤ , ≤y≤ ,即图中的阴影部分,面积为 SA= × × = .这是一 12 2 6 2 6 2 4 4 32 SA 9 个几何概型问题,所以 P(A)= = . SΩ 32

K4 互斥事件有一个发生的概率 K5 相互对立事件同时发生的概率 20. 、[2014· 全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)实验室计划购买 k 台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备

的人数大于 k”的概率小于 0.1,求 k 的最小值. 20.解:记 A1 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2. B 表示事件:甲需使用设备. C 表示事件:丁需使用设备. D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备. E 表示事件:同一工作日 4 人需使用设备. F 表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于 k. (1)因为 P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=Ci2×0.52,i=0,1,2, 所以 P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B· C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B· C) = P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31. (2)由(1)知,若 k=2,则 P(F)=0.31>0.1, P(E)=P(B· C· A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06. 若 k=3,则 P(F)=0.06<0.1, 所以 k 的最小值为 3. K6 离散型随机变量及其分布列 22.[2014· 江苏卷] 盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球,这些球 除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随 机变量 X 表示 x1,x2,x3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X). 22.解:(1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球,所以 P=
2 2 C2 6+3+1 5 4+C3+C2 = = . 2 C9 36 18

(2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4. C4 1 4 {X=4}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”,故 P(X=4)= 4= ; C9 126 {X=3}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球,或 3 个黄
1 3 1 C3 13 4C5+C3C6 20+6 球和 1 个其他颜色的球”,故 P(X=3)= = = ;于是 P(X=2)=1-P(X= 4 C9 126 63

13 1 11 3)-P(X=4)=1- - = . 63 126 14 所以随机变量 X 的概率分布如下表: X P 因此随机变量 X 的数学期望 11 13 1 20 E(X)=2× +3× +4× = . 14 63 126 9 K7 条件概率与事件的独立性 K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 20. 、[2014· 全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立. 2 11 14 3 13 63 4 1 126

(1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)实验室计划购买 k 台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备 的人数大于 k”的概率小于 0.1,求 k 的最小值. 20.解:记 A1 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2. B 表示事件:甲需使用设备. C 表示事件:丁需使用设备. D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备. E 表示事件:同一工作日 4 人需使用设备. F 表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于 k. (1)因为 P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=Ci2×0.52,i=0,1,2, 所以 P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B· C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B· C) = P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31. (2)由(1)知,若 k=2,则 P(F)=0.31>0.1, P(E)=P(B· C· A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06. 若 k=3,则 P(F)=0.06<0.1, 所以 k 的最小值为 3. K9 单元综合 2.[2014· 湖南雅礼中学月考] 已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25,圆 C 上任意 一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为( ) 1 A. 2 1 1 1 B. C. D. 4 3 6

2.D [解析] 因为圆心(0,0)到直线 l 的距离为 5,圆 C 的半径为 2 3,所以直线 l 与圆 C 相离.设 l0∥l 且圆心到 l0 的距离为 3,则满足题意的点 A 位于 l0,l 之间的弧上,结 1 合条件可求得该弧长为圆 C 周长的 ,由几何概型的概率计算公式可知选项 D 正确. 6 13.[2014· 福州期末] 在边长为 2 的正方形 ABCD 内随机取一点 M,则|AM|<1 的概率 为____________. 1 13. π 16 [解析] 由|AM|<1 知,点 M 在以 A 为圆心,1 为半径的四分之一圆内,故所求

1 π 4 1 概率为 2 = π . 2 16 3.[2014· 泰安模拟] 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数 a,从{2,3,4}中随机选取 一个数 b,则 b>a 的概率是( ) 4 A. 5 2 C. 5 3 B. 5 1 D. 5

3.C [解析] 从两个集合中各选一个数有 15 种选法,满足 b>a 的选法有(1,2),(1, 6 2 3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共有 6 种,所以 b>a 的概率是 = . 15 5 1.[2014· 长沙联考] 某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车

不超过 1 小时收费 6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时按 1 小时计算).现 有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过 4 小时. 1 5 (1)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 ,停车费多于 14 元的概率为 ,求 3 12 甲的停车费为 6 元的概率; (2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和 为 28 元的概率. 1.解:(1)设“一次停车不超过 1 小时”为事件 A,“一次停车 1 到 2 小时”为事件 B, “一次停车 2 到 3 小时”为事件 C,“一次停车 3 到 4 小时”为事件 D. 1 5 由已知得 P(B)= ,P(C+D)= . 3 12 又事件 A,B,C,D 互斥, 1 5 1 所以 P(A)=1- - = , 3 12 4 1 所以甲的停车费为 6 元的概率为 . 4 (2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 3 个.而“停车费之和为 28 元”的事件有(1,3),(2,2),(3,1),共 3 个,所以所求概率为 . 16 3.[2014· 常德期末] 空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标,空气质量的好坏由 空气质量指数确定,空气质量指数越高,代表空气污染越严重: 空气质 量指数 空气质 量类别 0~35 优 35~75 良 75~115 轻度 污染 115~150 中度 污染 150~250 重度 污染 ≥250 严重 污染

对某市空气质量指数进行一个月(30 天)的监测,所得的条形统计图如图 J17?1 所示:

图 J17?1 (1)估计该市一个月内空气受到污染的概率(若空气质量指数大于或等于 75, 则空气受到 污染); (2)在空气质量类别为“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中用分层抽样的方 法抽取一个容量为 6 的样本, 若在这 6 个数据中任取 2 个数据, 求这 2 个数据所对应的空气 质量类别不都是轻度污染的概率.

12 4 2 18 3 3.解:(1)空气受到污染的概率 P= + + = = . 30 30 30 30 5 (2)易知用分层抽样的方法从“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中抽取的个 数分别为 2,3,1. 设它们的数据依次为 a1,a2,b1,b2,b3,c1,则抽取 2 个数据的所有基本事件为(a1, a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c1),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c1),(b1,b2), (b1,b3),(b1,c1),(b2,b3),(b2,c1),(b3,c1),共 15 种. 设“这两天的空气质量类别不都是轻度污染”为事件 A,则 A 中的基本事件数为 12, 12 4 4 所以 P(A)= = ,即这两天的空气质量类别不都是轻度污染的概率为 . 15 5 5 4.[2014· 衡阳模拟] 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)的工人 300 名,25 周岁以下的工 人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取 了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,并将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50, 60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].加以统计,得到如图 J17?2 所示的频率分 布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名,求至少抽到一名 25 周 岁以下的工人的概率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件作出 2×2 列联表,并判断是否有 90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”?

图 J17?2 附表: P(K2≥k) k 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10. 828

4.解:(1)由已知得,样本中 25 周岁以上的工人有 60 名,25 周岁以下的工人有 40 名, 所以样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上的工人有 60×0.05=3(名), 记为 A1,A2,A3; 25 周岁以下的工人有 40×0.05=2(名),记为 B1,B2. 从中随机抽取 2 名工人,所有可能的结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1, B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共 10 种. 其中,至少抽到一名 25 周岁以下的工人的可能的结果为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1), 7 (A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共 7 种.故所求概率 P= . 10 (2)由频率分布直方图可知, 在抽取的 100 名工人中, 25 周岁以上的生产能手有 60×0.25 =15(名),25 周岁以下的生产能手有 40×0.375=15(名),据此可得 2×2 列联表如下:

生产能手 25 周岁以上 25 周岁以下 合计
2

非生产能手 45 25 70

合计 60 40 100

15 15 30

所以 K2=

n(ad-bc) = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

100×(15×25-15×45)2 25 = ≈1.79. 14 60×40×30×70 因为 1.79<2.706,所以没有 90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关” .


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