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数学选修2-3第一章导学案


1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理学案——徐哲——20150410 学习目标: :①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理; ②会利用两个原理提示和解决一些简单的应用问题; 学习重点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 学习难点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 自主学习 1 分类加法计数原理 问题 1:用一个大写的英文字母或一

个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总 共能够编出多少种不同的号码?
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问题 2:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班, 汽车有 2 班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走 法? 思考:你能说说以上两个问题的特征吗? (2)归纳结论:分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方 案中有 共有 N ? m ? n 种不同的方法. 2 分步乘法计数原理 问题 3: 用前 6 个大写英文字母和 1—9 九个阿拉伯数字, 以 A1 , A2 ,…, B1 , B2 ,… 的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码? 用列举法可以列出所有可能的号码:

m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法. 那么完成这件事

思考:你能说说这个问题的特征吗? (2)归纳结论:分步乘法计数原理 类方案中有 件事共有 N

m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法. 那么完成这
? m ? n 种不同的方法.

完成一件事有两类不同方案,在第 1

合作探究 例 1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生知道到,A,B 两所大学各有一些 自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:
1

A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?

引申:若还有 C 大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、人力资源学.那么, 这名同学可能的专业选择共有多少种?

思考: 如果完成一件事有三类不同方案, 在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法, 在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法,在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法,那么 完成这件事共有多少种不同的方法?

如果完成一件事情有 n 类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么 应当如何计数呢? 一般归纳: 完成一件事情, 有 n 类办法, 在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法, 在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么 完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同的方法. 说明:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类, 各类的方法相互独立, 各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种 方法都可以单独完成这件事. 例 2.设某班有男生 30 名,女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班 级参加比赛,共有多少种不同的选法?

引申:如果完成一件事需要三个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,做第 3 步有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有多少 种不同的方法? 如果完成一件事情需要 n 个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应 当如何计数呢? 一般归纳: 完成一件事情, 需要分成 n 个步骤, 做第 1 步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共 有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同的方法.
2

说明:分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个 步骤相互依存, 完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成 后,才算完成这件事.

3.注意:分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干 类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何 一种方法都可以单独完成这件事, 是独立完成; 而分步乘法计数原理针对的是“分 步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步 都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成.

展示交流 例 3. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书, 第 2 层放有 3 本不同的文艺书, 第 3 层放 2 本不同的体育书. ①从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? ②从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法? ③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法?

反馈矫正:

例 4. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅,分别挂在左、右两边墙上的 指定位置,问共有多少种不同的挂法?

3

反馈矫正:

例 5.给程序模块命名,需要用 3 个字符,其中首字符要求用字母 A~G 或 U~Z , 后两个要求用数字 1~9.问最多可以给多少个程序命名? 提示:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第 1 步,选首字符;第 2 步,选中间字符;第 3 步,选最后一个字符.而首字符又可以分为两类.

反馈矫正:

例 6. 核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分 子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链, 长链中每一个位置上都由一种称为 碱基的化学成分所占据. 总共有 4 种不同的碱基,分别用 A,C,G,U 表示.在一个 RNA 分子中,各种 碱基能够以任意次序出现, 所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无 关.假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成,那么能有多少种不同的 RNA 分子?

反馈矫正:

例 7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态,而这也 是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有 O 或 1 两种 数字的记数法,即二进制.为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,
4

每个字符可以用一个或多个字节来表示, 其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位,每个字节由 8 个二进制位构成.问: (1)一个字节( 8 位)最多可以表示多少个不同的字符? (2)计算机汉字国标码(GB 码)包含了 6 763 个汉字,一个汉字为一个字 符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表示?

反馈矫正:

例 8.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知 道到底有多少条执行路径(即程序从开始到结束的路线) ,以便知道需要提供多 少个测试数据.一般地,一个程序模块由许多子模块组成.如图 1.1 一 4,它是 一个具有许多执行路径的程序模块.问:这个程序模块有多少条执行路径? 另外,为了减少测试时间,程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设 计一个测试方法,以减少测试次数吗?

图 1.1 一 4

反馈矫正:

例 9.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照 号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字, 并且 3 个字母必须合成一组
5

出现,3 个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?

反馈矫正:

拓展巩固 1. .书架上放有 3 本不同的数学书,5 本不同的语文书,6 本不同的英语书.
(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法? (2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法? (3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法?

2 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少 种?

反思与收获:

1.2.1 排列学案——徐哲——20150410 学习目标: 知道排列数的意义, 记住排列数公式及推导方法, 从中体会“化归” 的数学思想,并能运用排列数公式进行计算。
6

学习重点:排列、排列数的概念 学习难点:排列数公式的推导 自主学习: 问题 1.从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动,其 中一名同学参加上午的活动, 一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法? 提示:解决这一问题可分两个步骤: 第 1 步,确定参加上午活动的同学,从 3 人中任选 人,有 种 方法;第 2 步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后, 参加下午活动的同学只能从余下的 人中去选,于是有 种方法. 根据分步乘法计数原理,在 3 名同学中选出 2 名,按照参加上午活动 在前,参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 × = 种
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问题 2.从 1,2,3,4 这 4 个数字中,每次取出 3 个排成一个三位数,共可得到 多少个不同的三位数? 提示:解决这个问题分三个步骤: 第一步先确定左边的数,在 4 个字母中任取 个,有 种方法; 第二步确定中间的数,从余下的 个数中取,有 种方法; 第三步确定右边的数,从余下的 个数中取,有 种方法 由分步计数原理共有: × × = 种不同的方法,用树型图排出,并 写出所有的排列 由此可写出所有的排法 结论:排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被 取元素各不相同)按照一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 .....
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素的一个排列 .... 说明: (1)排列的定义包括两个方面:① 取出元素,② 按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:① 元素完全相同,② 元素的排列顺序也相同
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排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个
m 数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示
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注意区别排列和排列数的不同: “一个排列”是指: 从 n 个不同元素中, 任取 m 个元素按照一定的顺序 排成一列,不是数; “ 排列数 ” 是指从 个不同元素中,任 n .....
m 取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数,是一个数 所以符号 An 只表示排列数,
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而不表示具体的排列 排列数公式 全排列:

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n 全排列数: An ? n(n ?1)(n ? 2)

2 ?1 ? n!(叫做 n 的阶乘) 规定 0! =1 .
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合作探究
4 5 18 13 例 1.用计算器计算: (1) A10 ; (2) A18 ; (3) A18 . ? A13

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m 推广: An ?

n An n! n! = ? n?m An?m (n ? m)! (n ? m)!

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3 2 2 例 2.解方程:3 Ax ? 2 Ax ?1 ? 6 Ax .

例 3.某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 个队参加,每队要与其余各队 在主、客场分别比赛一次,共进行多少场比赛?

展示交流: 例 4(1)从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少 种不同的送法? (2)从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同 的送法?

反馈矫正:

例 5. 用 0 到 9 这 10 个数字, 可以组成多少个没有重复数字的三位数?提示: 在本问题的。到 9 这 10 个数字中,因为。不能排在百位上,而其他数可以排 在任意位置上,因此。是一个特殊的元素.一般的,我们可以从特殊元素的排列 位置人手来考虑问题

反馈矫正:

反思与收获 1.2.2 组合学案——徐哲——20150410 班级 姓名 学习目标:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与 排列的联系与区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。 学习重点:组合的概念和组合数公式
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学习难点:组合的概念和组合数公式 自主学习 问题 1:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加上午的活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?
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问题 2:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同 的选法? 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴ 不同元素;⑵ “只取不排”——无序性;⑶ 相同组合:元素相同 组合数的概念:
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组合数公式

0 规定: C n ? 1.

合作探究 例 1.判断下列问题是组合还是排列 (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞 机票?有多少种不同的飞机票价? (2)高中部 11 个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? (3)从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务, 有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法? (4)10 个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10 个人互通电话一次,共多少个电话? 问题: (1)1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗?(2)什么样的两个组合就 叫相同的组合

4 例 2 计算: (1) C7 ;

7 (2) C10 ;

例 3. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过 比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是 11 人.问: (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出 11 名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多 少种方式做这件事情?
9

展示交流: 例 4. (1)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条? (2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条?

反馈矫正:

例 5.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中 任意抽出 3 件 . (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?

反馈矫正:

拓展巩固 1.4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组,问 组成方法共有多少种? 2.一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球, (1)从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?

反思与收获: 1.3.1 二项式定理学案——徐哲——20150410 班级 姓名 学习目标:记住二项式定理和二项展开式的通项公式 学习重点:二项式定理及通项公式的记住及运用
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学习难点:二项式定理及通项公式的记住及运用 自主学习:
2 2 2 0 2 1 2 2 ⑴ (a ? b) ? a ? 2ab ? b ? C2 a ? C2ab ? C2 b ;

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3 3 2 2 3 0 3 1 2 2 2 3 3 ⑵ (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b ? C3 a ? C3a b ? C3 ab ? C3 b
4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 ⑶ (a ? b) ? C4 a ? C4a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b .

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n 0 n 1 n 二项式定理: (a ? b) ? Cn a ? Cna b ?
n

r n ?r r ? Cn a b ?

n n ? Cn b (n ? N ? )

⑴ (a ? b) 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:
a n , a n b ,…, a n?r br ,…, bn ,

⑵展开式各项的系数:
0 0 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a n 的系数是 Cn ; 1 1 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn 种, a n b 的系数是 Cn ,……, r r 恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a n?r br 的系数是 Cn ,……, n n 有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, bn 的系数是 Cn , 0 n 1 n ∴(a ? b)n ? Cn a ? Cn a b? r n ?r r ? Cn a b ? n n ? Cn b (n ? N ? ) ,

这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b)n 的二项展开
r 式,⑶ 它有 n ? 1 项,各项的系数 Cn (r ? 0,1,

n) 叫二项式系数,

r n?r r r n ?r r ⑷Cn a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn a b . 1 ⑸ 特例: (1 ? x)n ? 1 ? Cn x? r r ? Cn x ?

? xn

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合作探究
1 例 1.展开 (1 ? ) 4 . x

例 2.求 ( x ? a)12 的展开式中的倒数第 4 项

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展示交流: 例 3.展开 (2 x ?
1 6 ) . x

反馈矫正:

例 4.求(1) (2a ? 3b)6 , (2) (3b ? 2a)6 的展开式中的第 3 项.

反馈矫正:

拓展巩固
x 3 9 x 3 9 ) 的展开式常数项; ) 的展开式的中间两项 1. (1)求 ( ? (2)求 ( ? 3 3 x x
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1 2. (1)求 (1 ?2 x (2)求 ( x ? )9 的展开式中 x3 的 ) 7 的展开式的第 4 项的系数; x 系数及二项式系数
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反思与收获: 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案——徐哲——20150410 班级 学习目标:记住二项式系数的四个性质。
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姓名

学习重点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 自主学习 1 二项式系数表(杨辉三角)
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(a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 …时,二项式系数表,表中每
行两端都是 1 ,除1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2.二项式系数的性质:
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0 1 2 n r ,Cn ,Cn ,…,Cn .Cn 可以看成以 r 为自 (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn

变量的函数 f (r ) 定义域是 {0,1, 2,

, n} ,性质:

(1) .与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 图象的对称轴 . (2) . n ?1 当k ? 时, 二项式系数逐渐增大. 由对称性知它的后半部分是逐渐减小的, 2 且在中间取得最大值; 当 n 是偶数时, 取得最大值;当 n 是奇数时, 取得最大值. (3)各二项式系数和: 合作探究: 例 1.在 (a ? b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和
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例 2.已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? (1) a1 ? a2 ?

? a7 x7 ,求:

? a7 ;

(2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; (3) | a0 | ? | a1 | ?

? | a7 | .

展示交流: 例 3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10 展开式中 x3 的系数

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反馈矫正:

例 4.在(x2+3x+2)5 的展开式中,求 x 的系数

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反馈矫正:

拓展巩固 1.若对于任意实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1 (x ? 2) ? a 2 (x ? 2) 2 ? a 3(x ? 2) 3 ,则 a2 的值 为( ) A. 3 B. 6
n

C. 9

D. 12 )

2? ? 2. 如果 ? 3x 2 ? 3 ? x ? ?
A.3
2

的展开式中含有非零常数项, 则正整数 n 的最小值为 ( B.5
8

C.6

D.10 . (用数字作答)

1? ? 5. (1 ? 2 x ) ? x ? ? 的展开式中常数项为 x? ?
5 1 ? ? 6. 若 ? x 2 ? ? 的二项展开式中 x 2 的系数为 , 则a ? 2 ax ? ?
6

(用数字作答) .

反思与收获:

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