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2014山东高考文科数学21题探究(刘红升)


2014 山东高考数学文科 21 题探究 胶州市实验中学 刘红升 2014.6.13 2014 年山东高考数学个人感觉“四平八稳,平淡无奇” 。下面研究文科 22 题。在平面直角坐标系 xOy 中,椭

x2 y 2 3 4 10 圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 y ? x 被椭圆 C 截得的线段长为 .(I)求椭圆 C 的方程; a b 2 5
(II)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点). 点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明存在常数 ? 使得 k1 ? ? k2 ,并求出 ? 的值; (ii)求 ?OMN 面积的最大值.

x2 ? y2 ? 1 ; 解析: (I)椭圆 C 的方程: 4
(II) (i) (法一)标准答案,略。 (II) (i) (法二)方程法(不联立) 。设 A( x1 , y1 )、D( x2 , y2 ) ,
2 x12 x2 y ?y x ?x y ?y 1 2 2 因为 ? y1 ? 1, ? y2 ? 1, ? (作差)k AD ? 1 2 ? ? 1 2 , k BD ? 1 2 ? k AD ? k BD ? ? , 4 4 x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) x1 ? x2 4

又 k AD ? k AB ? ?1 , ? k BD ?

k AB y y y ? 1 ;?设lBD : y ? y1 ? 1 ( x ? x1 )得:M (3x1 ,0) ? k AM ? ? 1 4 4 x1 4 x1 2 x1

1 1 ? k BD ? ? k AM ,? ? ? ? 2 2
(II) (i) (法三)椭圆化圆。

x? ?

x ? , y ? ? y, 则 椭 圆 C可 化 为 圆 : x ? 2 ? y ? 2 ? 1 .由题知: k AB ? k AD ? ?1 ? k ? AB ? k AD ? ?4 2

? ? ? ? k1 ? k ? AB ? ?1 ,? k1 ? k AD ? ?1, ? k AB ? 4k1 ? ? ?? ? k2

y? y? B B ? ,设直线 B?D? : y ? y? ? ? ? 4k1 ( x ? x? B ? B ) ? M ( ?3 xB ,0) ? x? 4 x B B

y? 1 1 1 B ? ? k1 ? ? ? k2 ? ? k1 ? ? k2 ? ? ? ? ? ?2k1 2 x? 2 2 2 B

A’ D’

(II) (ii) (法二, (法一如参考答案) )由(i)可求的:

3 1 9 9 9 ? ? y? O?M ? O?N ? ? x? ( x? 2 B ? y ? 2 B ) ? B ) ? S ?OMN ? B yB ? 4 2 8 16 16 9 ? OMN ? ? S ?OMN ? 2 S ? 8 N ?(0,

M’ N’ B’

10 年山东高考自主命题来,解析几何命题数据如下: 定值问题共计 21 次:2005 理科 22(2) 、2005 文科 22(2) 、2006 理科 21(2) 、2007 理科 22(2) 、2007 文科 22(2) 、 2008 理科 22(3) 、2009 文科 22(2) 、2009 理科 22(2) 、2010 理科 21(2)与(3) 、2010 文科 22 题(2)与(3) 、 2011 理科 22(1) (3) 、2011 文科 22(2) (3) 、2012 理科 21(2) 、2013 文科 22(2) 、2013 理科 22(3) 、2014 理 科 21(2) 、2014 文科 21(2) ;其中直线过定点问题 7 次,定圆问题 3 次,求点问题 3 次,求定值 7 次,判定三角 形形状 1 次。 最值问题共计 11 次:2006 文科 21(2) 、2008 文科 22(3) 、2009 理科 22(3) 、2009 文科 22(3) 、2011 理科 22(2) 、 2011 文科 22(1) 、2012 理科 22(3) 、2012 文科 22(2) 、2013 理科 22(2) 、2014 理科 21(3) 、2014 文科 21(3) ; 其中三角形面积问题 5---7 次(含一次四边形面积最值,另 2011 理科 22 与 2013 文科 22 尽管未求面积最值但是以 三角形面积为条件) ,长度问题 5 次,向量数量积 1 次。


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