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2.2.1综合法和分析法公开课


复习
推 理
合情推理
归纳 (特殊到一般)

演绎推理

类比 三段论 (特殊到特殊) (一般到特殊)

数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理. 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程.

2.2.1 综合法和分析法

问题:

在《数学 5( 必修 )》中,我们如何证明基本不等式 a?b ab ≤ (a ? 0, b ? 0)? 指出其中的证明方法的特点. 2

证法1:要证 ab ≤ a ? b 2 只要证 2 ab ≤ a ? b 只要证 0 ≤ a ? 2 ab ? b

证法2:对于正数a,b, 有
? ( a?
2 b ) ≥0

? a ? b ? 2 ab ≥ 0 ? a ? b ≥ 2 ab a?b ? ≥ 2 ab

只要证 0 ≤ ( a ? b )
因为最后一个不等式成 立,故结论成立。

2

分析法 目的性强,易于探索!

综合法

表达简洁!

探索求知 1.综合法 ——由因导果

从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运

算法则,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证
明的结论成立. (又称顺推证法) 注:用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3



Qn

Q

特点:由因导果(浮想联翩,尝试前进!)

探索求知 2.分析法 ——执果索因 从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直 至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条 件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法.

(又称倒推证法)
注:用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:
Q P1 P1 P2 P2 P3



得到一个明显 成立的条件

特点:执果索因(执果索因,妙在转化!)

例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0

所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+b2 ≥2bc,b>0

所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

例2.在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、 c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证 △ABC为等边三角形.

证明:

由A,B,C成等差数列,有

2B=A+C.

① ②

因为A,B,C为△ABC的内角,所以 A+B+C=180°. π B = . ③ 由①②,得 3 由a,b,c成等比数列,有 b 2 ? ac. ④ 由余弦定理及③,可得 b 再由④,得
2 2 2 2

a

2

? a ? c - 2ac cos B ? a ? c - ac. 2 ? c - ac ? ac,
2



(a - c)2 ? 0.

因此

a=c.
3

A=C. ⑤ 从而 π 由 ② ③ ⑤ ,得 A = B = C = .
所以△ABC为等边三角形.

解:

变式:已知 ? , ? ? k? ?

?

2 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan ? 2 sin ? cos ? ? sin ? ,求证: = 2 1 ? tan ? 2(1 ? tan 2 ? ) 2 因为(sin 2θ + cos 2θ) - 2sinθcosθ = 1, 证明:
所以将(1)(2)代入,可得 4sin 2α - 2sin 2β = 1. 1 - tan 2α 1 - tan 2β 另一方面要证 = , 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
2

( k ? z ),且 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ,



2 sin β sin α 1 12 2 1 cos β 2 2 2 2 cos α 即证 = , 即证 cos α sin α = (cos β sin β), 2 2 sin α sin β 2 1+ 2(1 + ) 2 2 cos α cos β

1 即证 1 - 2sin α = (1 - 2sin 2β), 即证 4sin 2α - 2sin 2β = 1. 2 由于上式与③相同,于是问题得证.
2


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