当前位置:首页 >> 数学 >>

9.5 两个平面平行的判定与性质


京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com

9.5 两个平面平行的判定与性质(共 3 课时) 第一课时:两个平面平行的判定 第二课时:两个平面平行的性质 第三课时:两个平面平行的判定与性质的应用 1、 两个平面的位置关系

教学目的: (1)了解两个平面的位置关系,并能用图表示; (2)
掌握两个平面平行的判定定理

,会用定理解决一些基本问题; (3)加深对反证法和转化思想的理解。

内容分析:
1、本节主要内容是两个平面平行的判定定理及其应用。通过对本节的学习,培养学生的 类比能力,加深对反证法、转化和降维思想的理解。 2、本节重点是两个平面平行的判定定理,难点是判定定理的证明。 3、例题的教学,可类比平面几何中的结论“垂直与同一条直线的两条直线平行” ,猜出结 论,引导学生证明。根据证明过程总结出判断两个平面平行课转化为证明其中一个平面内 的两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行,这说明两平面平行转化为直线与平 面平行、直线与平面平行转化为直线与直线平行。

问 1:教室的两块黑板有无公共点?天花板所在平面与地面有 公共点吗? 问 2:教室的墙面与地面有无公共点? 问 3:两个平面有几种位置关系?如何定义?如何用图形表 示?如何用符号表示?

-1-

京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com

定义 平行

图形

字母表示









如 果 两 个画 两 个 平 面 平 面 没 有 平行时, 通常 公共点,那 把 表 示 这 两 么 这 两 个个 平 面 的 平 平 面 互 相行 四 边 形 的 平行 相邻两边分 别画成平行 的.

相交

2、两个平面平行的判定 2006 高考题: 1、 (2006 陕西)已知平面α
的结论是( ) A.平面 ABC 必平行于α C.平面 ABC 必不垂直于α 外不共线的三点 A,B,C 到α 的距离都相等,则正确 B.平面 ABC 必与α 相交 D.存在△ABC 的一条中位线平行于α 或在α 内

2、 2006 广东)给出以下四个命题: (
1 ○如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行。 2 ○如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 3 ○如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行。 4 ○如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1

-2-

京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com

两个平面平行的判定定理的引出: 问 1:如果两个平面平行,那么在其中一个平面内的所有直线 与另一个平面的位置关系如何? 问 2:反过来,如果一个平面内的所有直线都与另一个平面平 行,那么两个平面平行吗? 问 3: (1)如果一个平面内的有一条直线都与另一个平面平行, 那么两个平面平行吗? (2) 如果一个平面内的有两条直线都与另一个平面平行, 那么两个平面平行吗? (3)如果一个平面内的有无数条直线都与另一个平面平 行,那么两个平面平行吗? (4)如果一个平面内的有 一个平面平行,那么两个平面平行。 平行平面的判定定理:
面,那么这两个平面互相平行. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平



直线都与另

问 4: 平行平面的判定定理的符号表示如何写?
a ? ? , b ? ? , a ? b ? P , a // ? , b // ? ? ? // ?

?

P

b a

?

c

问 5:这个定理从正面证(用定义)比较困难, 所以考虑用什么方法?(反证法) 问 6:(1)如果平面 ? 和平面 ? 不平行,那么它们的位置关系怎样?
-3-

京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com

(2)如果平面 ? 和平面 ? 相交, 那么交线 c 和平面 ? 中的直线 a 与 b 各有怎样的位置关系? (3)相交直线 a 与 b 都与交线 c 平行,这合理吗?为什么?
证明:假设 ? ? ? ? c , ∵ a ? ? , a // ? , ∴ a // c ,同理 b // c . 即在平面 ? 内过点 P 有两条直线与 c 平行,与公理 4 矛盾, ∴假设不成立,∴ ? // ? .

问 7: (1)如果一个平面内有一条相交直线分别平行于另一个 平面内的一条相交直线,那么这两个平面互相平行吗? (2) 如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面内的两 条直线,那么这两个平面互相平行吗? (3) 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内 的两条相交直线,那么这两个平面互相平行.
推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这 两个平面互相平行. 推理模式:

a ? b ? P, a ? ? , b ? ? , a? ? b? ? P?, a? ? ? , b? ? ? , a // a?, b // b? ? ? // ? .

问 8:木工师傅用水准器在桌面上交叉放两次的方法来检查桌 面是否水平,依据是什么? 问 9:平面几何中“垂直于同一条直线的两条直线平行” ,这一
-4-

京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com

结论在空间成立吗?如果改为“垂直于同一条直线的两平面平 行” ,对吗? 例 1 证明:垂直于同一条直线的两平面平行
证法分析: (1)要证 ? ? ? ,只需在 ? 内找到两条相交直线使之平行于 ? ;
(2)在处理空间问题时,要得到直线,通常由“作平面,得交线”来解决; (3)过 AA 作两个平面 ? 、? 分别与 ? 、 ? 交于 a 、 a 和 b 、 b ,则 a 与 a 、 b 与 b 各
/

/

/

/

/

有何关系? (4) a 、 b 与 ? 有何关系?
/ /

证明: (略)
例 2 . 如 图 , E , F , G, H 别 为 正 方 体 AC1 的 棱 分
A1 D1 F E B1 H C1 G

A1 B1 A1 D1 B1 C1 D1 C1 , , , 的中点,
D C

求证 : (1) E , F , D, B 四 点共面; )平面 AEF // 平面 (2

A

B

BDHG.

规律与结论: 1、 两个平面平行的判定方法有:

(1)定义-------用反证法证两个平面没有公共点; (2)判定定理----------证明一个平面内两相交直线平行于另一平面; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 (4)平行于同一平面的两平面平行。

3、 两个平面平行的性质 教学目的: (1)掌握两个平面平行的性质定理及应用; (2) 掌握两个平行平面间的距离概念,能运用两平行平面的判 定定理和性质定理进行推理和计算; (3)培养和提高学生
-5-

京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com

的类比、转化等辩证思维能力。 内容分析: 1、
本课重点是两个平面平行的性质及其应用,难点是两个平面平行的判

定与性质的联系与区别,突破难点的关键在于抓住“转化”这个中心,判 定是由“直线与直线平行”转化为“直线与平面平行”进而转化为“两平 面平行” ;而性质是由“两平面平行”转化为“直线与平面平行”进而转化 为“直线与直线平行” 。

2、

本小节教科书中的例 2 也是一个常用结论,因而授课时没有把它当作

一道例题,而是在归纳性质时一并把它归纳进去,从而使两平面平行的性 质更完整更有条理。

2006 高考题:
四川文) m 、n 是空间两条不同直线, ?、? 是空间两条不同平面, 下面有四个命题: ; ① m ? ? ,n ? ? , ? ? ? ? m ? n 

1、 (2006

② m ? n, ?

??,m ? ? ? n ??  ; ; ③ m ? n, ? ? ? , m ?? ? n ? ?   ; ③ m ? ? , m ? n, ? ? ? ? n ? ?  
其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号) 。

两个平面平行的性质定理的引出: 问 1:若 ?∥? , a ?? ,则 a 与 ? 有什么位置关系? 问 2: ?∥? ,a ?? ,b ? ? , a 与 b 有什么位置关系?何时 a 与 若 则
b 平行?

a 问 3: ?∥? , ? ? , a 与 ? 有什么位置关系? 若 则

平行平面的性质定理 1:如果两个平行平面同时与第三
个平面相交,那么它们的交线平行.
?
a

?

-6-

?

b

京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com

问 4:该性质定理的如何用符号表示?
? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b .

问 5:如何证线线平行?(定义法;公理四;线面垂直性质定理)
证明:∵ ? // ? , a ? ? , b ? ? ,∴ a , b 没有公共点, 又∵ a ? ? , b ? ? ,∴ a // b .

问 6:若 ? // ? , a ? ? ,则 a // ? 吗? 同理可得面面平行性质 2:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直
线平行于另一个平面. 推理模式: ? // ? , a ? ? ? a // ? .

问 7:上节“垂直于同一条直线的两个平面平行”中的条件
a 与结论对调, 是否还成立呢?即 “若 ? ? ? , ? ? , 是否有 a ? ? ?”

面面平行性质 3:如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,那么它也垂
直于另一个平面。

问 8:在平面几何中, “夹在两平行 直线间的平行线段相等” ,在空间此结 论能否得到引申?(夹在两平行平面间 的平行线段相等)

? ?

A

D

B

C

面面平行性质 4:夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.
已知: ? // ? , AB, CD 是夹在两个平行平面 ? , ? 间的平行线段, 求证: AB ? CD . 证明:∵ AB // CD ,∴ AB, CD 确定平面 AC ,
-7-

京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com

∴平面 AC ? ? ? AD ,平面 AC ? ? ? BC , ∴ AD // BC ,四边形 ABCD 是平行四边形.∴ AB ? CD .

问 9:和两条异面直线都垂直相交的直线叫做什么?和两个平 行平面同时垂直的直线可以叫做什么?你能定义什么叫两个平 行平面的公垂线段吗?什么叫平行平面间的距离?
1、两个平行平面的公垂线:和两个平行平面同时垂直的直线。它夹在这两个平行平面间 的部分,叫做这两个平行平面的公垂线段。 2、 平行平面间的距离:两个平行平面的公垂线段的长度叫做平行平面间的距离。

问 10:若 ? ? ? ,则直线 a 与平面 ? 、 ? 所成角相等吗?
讲解范例: 例1
王新敞
奎屯 新疆

已知直线 a 、 b 异面,平面 ? 过 a 且平行于 b ,平面 ? 过 b 且平行于 a ,

求证: ? ∥ ? 分析:线面平行 ? 线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行 证明:过 a 作平面 ? ,使 ? ? ? ? a' ∵ a ∥ ? , a ? ? , ? ? ? ? a' ,∴ a ∥ a ' 又∵ a ' ? ? , a ? β α

a

b

? ,∴ a ' ∥ ? 且 b ∥ ?

又 a 、 b 异面,∴ a ' 与 b 必相交,∴ ? ∥ ? .

例 2.若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? . 证明:在平面 ? 内取两条相交直线 a , b , 分别过 a , b 作平面 ? , ? ,使它们分别与平面 ? 交于两相交直线 a?, b? , ∵ ? // ? ,∴ a // a?, b // b? , 又∵ ? // ? ,同理在平面 ? 内存在两相交直线 a??, b?? ,
-8-

a
?

b

?
?
b??

a? b?
a??

京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com

使得 a? // a??, b? // b?? , ∴ a // a??, b // b?? , ∴ ? // ? . 例 3.正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面互相垂直,点 M,N 分别在对角线 AC 和 BF 上, 且 AM=FN 求证:MN∥平面 BEC 分析:证线面平行?线线平行,需找出面 BEC 中与 MN 平行的直线 证法(一) :作 NK∥AB 交 BE 于 K,作 MH∥AB 交 BC 于 H ∴MH∥NK ∵ABCD 与 ABEF 是两个有公共边 AB 的正方形 ∴它们是全等正方形 E F ∵AM=FN ∴CM=BN N 又∠HCM=∠KBN,∠HMC=∠KNB K ∴△HCM≌△KBN ∴MH=NK ∴MHKN 是平行四边形 ∴MN∥HK A B P H ∵HK?平面 BEC MN?平面 BEC M ∴MN∥平面 BEC 证法(二) :分析:利用面面平行?线面平行 C 过 N 作 NP∥BE,连 MP,∵NP∥AF ∴FN/FB=AP/AB ∴AM=FN,AC=BF ∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC ∴MP∥BC ∴平面 MNP∥平面 BCE ∴MN∥平面 BCE
王新敞
奎屯 新疆

规律与结论:

1、两个平面平行的性质: (1) 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. (2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. (3)如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面。 (4)夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.
-9-

京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com

2 两个平面平行的性质的应用: (1)证明线面平行; (2)证明线线平行。 3、
两条直线 平行于同一条直线 平行于同一条平面 垂直于同一条直线 垂直于同一条平面 直线与平面 两个平面

- 10 -


相关文章:
两个平面平行的判定和性质(一)
两个平面平行的判定和性质(一)_数学_高中教育_教育专区。两个平面平行的判定和...投影片两张 第一张:(记作§ 9.5.1 A) 第二张:(记作§ 9.5.1 B) ...
两个平面平行的判定与性质 典型例题解析(三)
两个平面平行的判定与性质 典型例题解析(三)_高二数学_数学_高中教育_教育专区...解:①不正确.如图 9-5-1(1) ,直线 a 与平面α 和平面β 都平行,α∩...
高一数学两个平面平行的判定与性质
9.5 两个平面平行的判定与性质(共 3 课时) 第一课时:两个平面平行的判定 第二课时:两个平面平行的性质 第三课时:两个平面平行的判定与性质的应用 1、 两...
两个平面的判定和性质
两个平面的判定和性质( 9.5 ? 1A ) 1.命题: (1)如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (2)如果一个平面内有无数条直线平行...
平面与平面平行的判定与性质测试题
平面与平面平行的判定与性质测试题_数学_高中教育_教育专区。必修2专题平面与...【课时 37 答案】 1.D 9. 2.D 3. D 4.B 5.C 6.2 个 7.平行或...
两个平面平行的判定与性质典型习题解析(二)
5财富值 两个平面平行的判定和性质... 2页 2财富值 直线与平面垂直的判定与...△A′B′C′∽△ABC, AB BC AC 3 ∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9. ...
立体几何5---两平面的平行的判定和性质
根据判定定理 2 证明, 只需连接 A1C 即可,此法还可以求出这两个平行平面的...性质定理的意识,在立体几何证明中 非常重要. 典型例题九例 9 如图所示,平面 ?...
2.2平面与平面平行的判定与性质试题及答案
2.2平面平面平行的判定与性质试题及答案_数学_...个平面与 b,c 均平行. 5. 已知平面α ∥平面β...无论 P、Q 如何运动都共面 二、填空题 9.已知...
平面与平面平行的判定和性质练习
平面与平面平行的判定和性质练习_高二数学_数学_高中...5.给出下列命题:①若一个平面内有两条直线平行于...练习一——立体几何之平行关系 9、如图,在正方体 ...
线面、面面平行的判定与性质
(线面平行→线线平行) (5)面面平行的性质定理:两个平面平行,其中一个平面内...【珠海市 2015 届高三 9 月摸底考试】如图的多面体中,四边形 ABB1 A 1 都...
更多相关标签: