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高中数学选修2-1


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原命题 若 p则 q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p

选修2-1第一章 常用逻辑用语
1.2充分条件与必要条件

学生活动 判断下列命题的真假. (1)若x=y,则 x2=y2 (2)若ab = 0,则a = 0 (3)若x2 >1,则x<1 (4)若x=1或x=2,则 x2 -3x+2=0 问题1:条件和结论有什么关系? 真 假 假 真

问题1:说明条件和结论有什么关系?
?

( 1) x= y

?a = 0; ? (3)x2>1 ?x<1 ;
? (2)ab = 0 ? (4)x=1或x=2
2 2

?

x2=y2 ; x2=y2

? x= y
x2>1

a=0
x<1

?ab = 0
?

?x -3x+2=0 ; x -3x+2=0 ? x= 1或 x= 2

新课概念 :定义
一、充分条件与必要条件 ?一般地, “若p,则q” 为真命题, ?是指由p经过推理能推出q,

?也就是说,如果p成立,那么q一定成立.
?即:只要有p就能充分地保证q的成立, ?这时我们说p可推出q,

记作:p ? q

我们就说p是q的充分条件;q是p必要条件.

理解概念
充分性:条件是充分的,也就是说条件是 充足的,条件是足够的,条件是足以保证结论 成立的。 你能举例说明吗?生活中有吗?

若张三是高中生,则张三是中学生。
必要性:必要就是必须,必不可少。 你能举例说明吗?生活中有吗?

从集合角度理解:

p

q,相当于p

q ,即

p

q 或 p、q

例如:集合P=? x x ? 3? , Q ? ? x x ? 0?,P ? Q, 若x ? P, 则x ? Q

二、充要条件 一般地,如果既有p?q ,又有q?p 就记作 p ? q.

此时 , 我们说 , 那么 p 是 q 的充分必要条件 , 简 称充要条件. 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充 要条件. 即:如果p ? q,那么p 与 q互为充要条件.

一般地,

若p?q ,但 q ?? p,则称p是q的充分但不必 要条件; 若p??q,但q ? p,则称p是q的必要但不充 分条件;
若p??q,且q ?? p,则称p是q的既不充分也 不必要条件.

数学运用 例题1.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些 命题p是q的充分条件? (1)若x=1,则x2-4x+3=0;

(2)若f(x)=x,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(3)若x为无理数,则x2为无理数. 如(1)中“x=1” ? “x2-4x+3=0”,所以“x =1” 是 “x2-4x+3=0”的充分条件,但不可 反推,故“x=1” 是 “x2-4x+3=0”的充分非 必要条件.

点拨:事实上就是判断“p ? q”是否为真命题。

例题2.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些 命题 q是p的必要条件?
(1)若x=y,则x2=y2; (2)若两三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若a>b,则ac>bc. 点拨:还是判断“p ? q”是否为真命题。

例题3.填空题,试用适当的词语填空 充分不必要 条件 (1)x=y是x2=y2的_____________ 必要不充分 (2)ab = 0是a = 0 的________________ 条件 既不充分又不必要 条件 (3)x2>1是x<1的__________________ 充要 条件 (4)x=1或x=2是x2-3x+2=0的_____

数学运用
例题4:指出下列各组命题中,p是q的什么 条件: (1) p:x-1=0;q:(x-1)(x+2)=0. (1)充分不必要条件 (2) p:两条直线平行;q:内错角相等. (2)充要条件 (3) p:a>b;q:a2>b2 (3)既不充分又不必要条件 (4) p:四边形的四条边相等; q:四边形是正四边形. (4)必要不充分条件

课内活动 运用本节课所讲的知识填空

①“a和b都是偶数”是“a+b为偶数”的__条件; ②“x>5”是“x>3”的 条件; ③“x≠3”是“|x|≠3”的 条件; ④“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被 5整除”的 条件; ⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全 等”的 条件; (1)充分非必要 (2)充分非必要 答案: (3)必要非充分 (4)充分非必要
(5)必要非充分



圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

已知:如图,在⊙O中,弦AB、CD交于P,且AB、 CD不是直径.求证:弦AB、CD不被P平分.

证明: 假设弦AB 、CD被P平分, ∵P点一定不是圆心O,连接OP, 根据垂径定理的推论,有 OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点P有两条直线与OP都垂直, 这与垂线性质矛盾, ∴弦AB、CD不被P平分。

二、概念理解
注意下列说法: 1.若p是q的充分条件,那么q是p的必要条件; 这时p?q成立(是真命题)

?q ? ?p也成立
2.若p是q的必要条件,那么q是p的充分条件; 这时q ? p成立(是真命题)

?p ? ?q也成立

比较下列说法:

? 这时p?q成立 ??1? p是q的充分条件; ? q ? p 2 p 成立的一个充分条件是 q . ? ? ? ? ? ?? 3? p是q的必要条件; q ? p ? ? ?? 4 ? q成立的一个必要条件是p. q ? p ? ?? 5 ? p是q的充要条件; ? 6 q 成立的充要条件是 p . ? ? ? ?

判断p是q的什么条件的步骤
① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。

判断的常用技巧
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

三、问题再现
B )条件? 1.x>2是“x>3”的(
A.充分非必要条件;B.必要非充分条件;

C.充要条件;D.既非充分也非必要条件.
2.下列哪个条件是x>5成立的必要条件?( A)

A.x>1;
C.x<5;

B.x>8;
D.x<6.

点评:若“x>a”是“x>b”的充分条件,则 a≥b.
“大于一个较大的数则必大于一个较小的数”

比较下列说法:
(1)下列哪个条件是x>5成立的必要条件?( A )

A.x>1;
C.x<5;

B.x>8;
D.x<6.

(2)下列哪个条件是x>5成立的充分条件?( B )
A.x>1; B.x>8;

C.x<5;
A.x>1;

D.x<6.
B.x>8;

(3) x>5成立的必要条件是?( A)

三、问题再现
2.判断下列说法哪些是正确的?
(1)x=2是x2-3x+2=0的必要条件;

(2) x=2的一个必要条件是x2-3x+2=0 ;
(3) x2-3x+2=0的一个充分条件是x=2;

(4) x2-3x+2≠0的一个充分条件是x≠2.

三、问题再现
3.p是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的 必要条件,那么q是p成立的(B ) A.充分条件; B.必要条件; C.充要条件; D.既非充分也非必要条件. 提示1:p ? r 提示2:r? s 提示3:s ? q p?q

四、问题探讨
例题1.下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1)p: b=0, q: f(x)=ax2+bx+c是偶函数;

(2)p: x>0,y>0, q: xy>0;
(3)p: a>b, q: a+c>b+c.

例2:已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线l 的距离为d.求证:d=r是直线l与⊙O相切的 充要条件. 分析:设p: d=r, q: l与⊙O相切. 先证明充分性: p ? q 再证明必要性: q ? p 点拨:此类问题应注意充分性和必要性的条件

五、充要条件的应用
例3、已知:p:x2-8x-20≤0,q: x2-2x+1 -m2≤0(m>0). ¬p是 ¬q的充分非必要条件, 求实数m的取值范围. 关键1.解出 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m; 关键2. ¬p ? ¬q,即q?p

关键3.设p、q的解集分别为A、B,则A、 B的关系是 B ?A
?


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