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湖北省黄冈中学2014届高三5月适应性考试 数学理A卷试题 Word版含答案


湖北省黄冈中学 2014 届高三适应性考试 数学(理工类)试题
本试卷共 6 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题.满分 150 分.考试用时 120 分钟.

★祝考试顺利★
命题:张卫兵 审稿:尚厚家 张淑春 校对:郭旭 张智 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号 条形码

粘贴在答题卡上的指定位置. 用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂 黑.21cnjy.com 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无 效.2· 1· c· n· j· y 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内.答在试题卷、草稿纸上无效.【来源:21·世纪·教育·网】 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂 黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题区 域内,答在试题卷、草稿纸上无效.2-1-c-n-j-y 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 21*cnjy*com 1.复数 6i7 ? 8i2014 (其中 i 是虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 开始 a=2,i=1 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 i<2014? 是 1 a? 1? a
i ? i ?1



2. 已知条件 p : log 2 ( x ? 1) ? 1 ; 条件 q : | x ? 2 |? 1 , 则p 成立的( )

是 q

A.充分不必要条件 C.充分必要条件



3. a 为如图所示的程序框图中输出的结果,则化简
cos(a? ? ? ) 的结果是(

输出 a 结束

) C. sin ? D. ? sin ?

A. cos ?

B. ? cos ?

3 题图

CB ,C 4. 在长为 5cm 的线段 AB 上任取一点 C , 以A

为邻边作一矩形, 则矩形面积小于 4cm 2 的

概率为(



4 5 ???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 5.在△ ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 , BD ? BC ,则 AD ? BD ? ( 2
A. B. C. D. A. ?

1 5

2 5

3 5



5 2

B.

5 2

C. ?

5 4

D.

5 4

6.甲、乙两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各 人输赢局次不同视为不同情形)共有( A.10 种 B.15 种
1 x

)21 教育网 D.30 种

C.20 种

7.设函数 f ( x) ? (2 x ? 中常数项是( A. ? )

) n ,其中 n 是集合 {1, 2,3} 的非空真子集的个数,则 f ( x) 的展开式

5 2

B. ?160

C. 160

D. 20 部 y
?

8.如图是函数 y ? cos(2 x ? 分的面积是( A. )

5? ) 在一个周期内的图象,则阴影 6
?
12

3 4

B.

5 4

C.

3 2

D.

3 3 ? 2 4

O

? 6

x O 点

9.函数 y ? ex ? m (其中 e 是自然对数的底数)的图象上存在
?x ≤ 2 ? ( x, y ) 满足条件: ? y ≤ ex ,则实数 m 的取值范围是( ?y≥ x ?

8 题图

)【来源:21cnj*y.co*m】

A. [?1, 2e? e2 ]

B. [2 ? e2 , ?1]

C. [2 ? e2 , 2e ? e2 ]

D. [2 ? e2 ,0]

? 3 4 ? 8 x ? ,1 ≤ x ≤ 2, ? ? 2 10.定义函数 f ( x) ? ? ,则函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6 在区间 [1, 2n ](n 1 x ? f ( ), x ? 2. ? ?2 2
? N* ) 内的所有零点的和为(



A. n

B. 2 n

3 C. (2n ? 1) 4

3 D. (2n ? 1) 2

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在 答题卡对应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... (一)必考题(11—14 题)

1 11.函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x2 的定义域为 x
12.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是 2 4 3 2

4

13.已知 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 1) 2 ? 4 ,则 x ? 2 y ? 3z 的最大值是 14 . 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 中 , a 2 b2
B

y 虚轴 在不 A1 O A2 F x 构成 心率

A1 , A2 是左、右顶点, F 是右焦点, B 是

的上端点.若在线段 BF 上(不含端点)存 同的两点 Pi (i ? 1, 2) ,使得△ P iA 1 A2 (i ? 1, 2) 以 A1 A2 为斜边的直角三角形,则双曲线离

14 题图

e 的取值范围是

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(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的 题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) B 如图, PB 为△ ABC 外接圆 O 的切线, BD 平分 ?PBC , A O P 交圆 O 于 D ,C , D, P 共线. 若 AB ? BD , PC ? PB , PD ? 1, D 则圆 O 的半径是
【出处:21 教育名师】

C
15 题图

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程)
1 ? x?t? ? ? t 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程是 ? ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴 ?y ? t ? 1 ? t ?

为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ? sin(? ? ) ? 1 , 则两曲线交点间的距离是 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)

?

已知函数 f ( x) ? 2sin x cos(? ? x) ? (Ⅰ)求 ? 的值;

1 ? ? ( 0 ? ? ? )的图像过点 ( ,1) . 2 2 3

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间.

18.(本小题满分 12 分) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三 次.某同学在 A 处的命中率 0.25 ,在 B 处的命中率为 0.8 ,该同学选择先在 A 处投一球,以 后都在 B 处投,用 X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分.21*cnjy*com (Ⅰ)求该同学投篮 3 次的概率; (Ⅱ)求随机变量 X 的数学期望 EX .

19.(本小题满分 12 分) 已知在等比数列 {an } 中, 2a2 ? a1 ? a3 ? 1, a1 ? 1 ,数列 {bn } 满足

b1 ?

b b2 b3 ? ? ??? ? n ? an (n ? N? ) . 2 3 n

(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,若 ?n ? N* , Sn ? ? an 恒成立,求 ? 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分) 如图 1, AD 是直角△ ABC 斜边上的高,沿 AD 把△ ABC 的两部分折成直二面角 (如图 2), DF ? AC 于 F .

(Ⅰ)证明: BF ? AC ; (Ⅱ)设 ?DCF ? ? , AB 与平面 BDF 所成的角为 ? ,二面角 B ? FA ? D 的大小为 ? ,求 证: tan ? ? tan ? cos ? ; (Ⅲ) 设 AB ? AC , 在线段 DC 上是否存在一点 P , 使得 DE ∥平面 PBF ? E 为 AB 的中点, 若存在,求

DP 的值;若不存在,请说明理由.21· cn· jy· com PC
B

B E D A D P C 图1 C F 图2 A

21.(本小题满分 13 分) 动圆 E 过点 F (1,0) ,且与直线 x ? ?1 相切,圆心 E 的轨迹是曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q(4, 2) 的任意一条不过点 P(4, 4) 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点,直线 AB 与直 线 y ? x ? 4 交于点 M ,记直线 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,问是否存在实数 ? ,使 得 k1 ? k2 ? ? k3 恒成立?若存在,求出 ? 的值,若不存在,说明理由.

22.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? (1 ? x)e x ? a (其中 e 是自然对数的底数). (Ⅰ)若 ?x ? R , f ( x) ≤ 0 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若数列 {xn } 满足 xn?1 ? ln(exn ? 1) ? ln xn ,且 x1 ? 1 ,证明: (ⅰ)数列 {xn } 的各项为正且单调递减; (ⅱ) xn ?

1 . 2n

湖北省黄冈中学 2014 届高三适应性考试 数学(理工类)

答案及评分标准
一、A 卷答案 BCABC CBBDD B 卷答案 BACBD CBDAD 以下是 A 卷答案 1. 6i7 ? 8i 2014 ? ?6i ? 8 ,共轭复数为 ?8 ? 6i ,对应的点位于第二象限,选 B. 2. log2 ( x ? 1) ? 1 ? 0 ? x ? 1 ? 2 ? 1 ? x ? 3 ; | x ? 2 |? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 .选 C.

1 3. 由 程 序 框 图 知 , a ? 2, i ? 1; a ? ?1, i ? 2; a ? , i ? 3; a ? 2, i ? 4,? , 直 到 i ? 2014 , 故 2 a ? 2 , cos(a? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) ? cos? ,选 A. 4.设 AC ? x ,则 x(5 ? x ) ? 4 ,解得 x ? 1 或 x ? 4 ,又 0 ≤ x ≤ 5 ,所以 0 ≤ x ? 1 或 4 ? x ≤ 5 ,
于是所求的概率为

2 ,选 B. 5

??? ? 1 ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 5.由 BD ? BC 得, D 是 BC 的中点,所以 AD ? ( AB ? AC ) . 2 2 ???? ??? ? 1 ??? ? ???? 1 ??? ? 1 ??? ? ???? 1 ???? ??? ? 1 ????2 ??? ?2 5 AD ? BD ? ( AB ? AC ) ? BC ? ( AB ? AC ) ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB ) ? ? ,选 C. 2 2 2 2 4 4
6.两人比赛局数为 3 局、4 局或 5 局.当局数为 3 时,情况为甲或乙连赢 3 局,共 2 种;当局数
2 为 4 时,若甲胜,则甲第 4 局胜,且前 3 局胜 2 局,有 C3 ? 3 种情况,同理乙胜也有 3 种情况,

共 6 种;当局数为 5 时,前四局甲、乙各胜两局,最后一局赢的人获胜,有 2C2 4 ? 12 种情况. 故总共有 20 种情况,选 C.www.21-cn-jy.com 7. n ? 23 ? 2 ? 6 ,所以 f ( x ) ? (2 x ?
1 x
r ) 6 ,其展开式通项是 C6 (2 x )6 ? r ( ?

1 x

)r

3 r ? (?1)r ? 26?r C6 ( x )6?2r ,故 r ? 3 时,通项是常数项 (?1)3 C3 6 ? 2 ? ?160 ,选 B.

8.函数的周期 T ? ? ,

?
6

?

?
2

?

2? .阴影部分面积为: 3

??

2? 3

cos(2 x ?

6

? 5? 5? 1 5? 2? 1 5? ? 5 6 )dx ? ? 6 cos(2 x ? )dx ? sin(2 x ? ) |?3 ? sin(2 x ? ) |0 ? .选 B. 0 6 6 2 6 6 2 6 4

9.当 y ? ex ? m 的图象与 y ? ex 相切时,设切点为 ( x0 ,e x0 ) ,则 切线斜率为 e x0 . 由 e x0 ? e 得 x0 ? 1?[0, 2] . 所以当 y ? ex ? m 的 图象与 y ? ex 相切于 (1,e) 时, m 的值最大.此时 m ? 0 .【版权所有:
21 教育】

y

(2, 2)

当 y ? ex ? m 过原点时, m ? ?1 . 此时 y ? e x ? 1 的图象与直线

O 2

x

x ? 2 的交点为 (2,e2 ? 1) 在点 (2, 2) 的上方.故当 y ? ex ? m 图象过点 (2, 2) 时, m 的值最小,此

时 m ? 2 ? e2 .综上所述, m ?[2 ? e2 ,0] ,选 D. 10. g ( x) ? xf ( x) ? 6 ? 0 ? f ( x) ? 作 出 函 数 f ( x) 在 [1, 2] 上的图象, 它是 顺 次 连 接 点 3 (1,0),( , 4),(2,0) 的 2 两条线段; 再作函数 在 (2, 4] 上的图象, 它 是前一段 图象横 O y

6 . x

3 ( , 4) 2

(3, 2)

(6,1)

x

1 得到的,即为顺次连接点 (2,0),(3, 2),(4,0) 的两 2 条线段;再作函数在 (4,8] 上的图象,它是顺次连接点 (4,0),(6,1),(8,0) 的两条线段;……;如
坐标伸长为原来的两倍,纵坐标缩为原来的 此下去,可得函数 f ( x) 的图象.而反比例函数 y ? 所以函数的零点从小到大依次构成首项为

6 3 的图象正好过点 ( , 4),(3, 2),(6,1) ,…. 2 x

3 ,公式为 2 的等比数列 , 该数列记为 {ak } ,则 2

ak ?

3 k ?1 3 n ]上 有 n 个 零 ? 2 . 又 ? 2k ?1 ≤ 2n ? 2n?k ? 2 ≥ 3 ? n ? k ? 2 ≥ 2 ? k ≤ n , 故 函 数 的 [1, 2 2 2

3 (1 ? 2n ) 3 2 ? (2n ? 1) ,选 D. 点,它们的和为 1? 2 2

二、填空题: 题号 答案 11
(0,1]

12 212? 3

13
2 14

14
2 ?e? 5 ?1 2

15

16
4 3

2

以下是解答: 1 1 11. 1 ? ? 0 ? ? ?1 ? x ? ?1 或 x ? 0 ; 1 ? x2 ≥ 0 ? ?1 ≤ x ≤ 1 .故所求定义域为 (0,1] . x x

12. 几何体是一个半球和一个圆台的组合体,体积为 1 4 1 212? . V ? ? ? ? 43 ? ? ? 3(22 ? 2 ? 4 ? 42 ) ? 2 3 3 3 13.由柯西不等式得,

x ? 2 y ? 3z ? ( x ? 1) ? 2( y ? 1) ? 3( z ? 1) ≤ (12 ? 22 ? 32 )[( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 1)2 ] ? 2 14 .
等 号 当 且 仅 当 x ?1 ?
2 (x ? 1 )? y ( ? 2 1 ? )z

y ?1 z ?1 ? ?0 , 且 2 3
1 ?)

? (2

y , 4
? 1 13


3 时成立, 3

x?

2

? 13

1 ,y?

?3 ,z ? 13

B

1

3

1

3

故所求的最大值为 2 14 . 14. 以 A1 A2 为直径的圆与线段 BF 有两个不同的交

A1

O

A2 F

x

点,所以圆的半径大于点 O 到 BF 的距离,且小于 OB 的长 . 故 a ?
2 ?e? 5 ?1 .21·世纪*教育网 2

bc b2 ? c2

, a ? b ,解得

15. 连接 AD ,则 AD 是圆的直径,于是 ?ACD ? 90? . PB 为 ?ABC 外接圆 O 的切线 ? ?PDB ? ?BAD ? ?BCD , BD 平分 ?PBC ? ?PBD ? ?DBC , 又 ?BCD ? ?CBD ? ?PBD ? 90? , ∴ ?BCD ? ?CBD ? ?PBD ? 30? .∴ ?BAD ? 30? ∴ BD ? 2PD ? 2 , AD ? 2BD ? 4 ,∴圆 O 的半径是 2 . 16. C1 的一般方程为 y ? x ? 4 . 曲线 C2 的直角坐标方程为
2 2

B A O C
15 题图

P D

2 2 ? ?y ? x ? 4 得交点坐标为 (0,2),(2 3, ?4) ,它们之间的距离为 4 3 . y ? 3x ? 2 ? 0 .由 ? ? ? y ? 3x ? 2 ? 0

三、17.(Ⅰ) 2sin ∵0 ?? ?

?
3

cos(? ?

?
3

)?

1 ? 3 ? 1 ? cos(? ? ) ? , ………………………………3 分 2 3 2

?
2

??

?
3

?? ?

?
3
6

?

?
6

,∴ ? ?

?
3

??

?
6

?? ?

?
6

.…………………………………6 分

(Ⅱ) f ( x) ? 2sin x cos(
?

?

? x) ?

1 3 1 1 ? 2sin x( cos x ? sin x) ? ? 3 sin x cos x ? sin 2 x …8 分 2 2 2 2

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) , ……………………………………10 分 2 2 2 6

∴当 2k? ? 增.

?
2

≤ 2x ?

?
6

≤ 2k? ?

?
2

, k? Z 时,即在区间 [k? ?

?
6

, k? ? ](k ? Z) 上 f ( x) 单调递 3

?

…………………………………………………………………12 分

18.(Ⅰ) P ? 1 ? 0.8 ? 0.25 ? 0.8 .……………………………………………………………4 分

(Ⅱ) P( X ? 0) ? 0.75 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.03 ;
P( X ? 2) ? 0.75 ? C1 2 (0.2 ? 0.8) ? 0.24 ;
P( X ? 3) ? 0.25 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.01 ; P( X ? 4) ? 0.75 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.48 ; P( X ? 5) ? 0.25 ? 0.8 ? 0.25 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.24 .…………………………………………………9 分

随机变量 X 的分布列为 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24

X
p

∴ EX ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 .……………………………12 分 19.(Ⅰ)设公比为 q ,则 2q ? q2 ? q ? 2 ? an ? 2n?1 .
b1 ? a1 ? 1 .……………………………………………………………………………………2 分
n ≥ 2 时,

bn ? an ? an?1 ? 2n?1 ? 2n?2 ? 2n?2 ? bn ? n ? 2n?2 . n

?1, n ? 1 ∴ bn ? ? ………………………………………………………………………5 分 n?2 ?n ? 2 , n ≥ 2

(Ⅱ) Sn ? 1 ? 2 ? 20 ? 3 ? 21 ? ? ? n ? 2n?2 , 2Sn ? 2 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 , 两式相减得: Sn ? ?1 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?2 ? n ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 1 . ∴ n ? 1 时, S1 ? 1 ;
n ≥ 2 时, Sn ? 1 ? 2 ? 20 ? 3 ? 21 ? ? ? n ? 2n?2 , 2Sn ? 2 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 ,

两式相减得: Sn ? ?1 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?2 ? n ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 1 . ∴ ?n ? N* ,有 Sn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 1 .……………………………………………………………7 分
Sn ? ? an ? ? ? Sn , an

记 cn ?

Sn (n ? 1) ? 2n?1 ? 1 1 ,则 cn ? ? n ? 1 ? n?1 , n ?1 an 2 2

∴ cn?1 ? cn ? n ?

1 1 1 ? (n ? 1) ? n?1 ? 1 ? n ? 0 , n 2 2 2

∴数列 {cn } 递增,其最小值为 c1 ? 1 . 故 ? ? 1 .…………………………………………………………………12 分 20.(Ⅰ)∵ AD ? DB, AD ? DC ,∴ ?BDC 是二面角
B ? DA ? C 的平面角 . 又∵二面角 B ? DA ? C 是直二

B

面角, ∴ BD ? DC ,∴ BD ? 平面 ADC , ∴ BD ?AC , 又 DF ? AC , ∴ AC ? 平 面 B D F , ∴ B F ? A C… … … … … … … … … … … … 4 分 .…
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E M A F
图2

(Ⅱ)由(Ⅰ)

AF DF , ?BFD ? ? ? cos ? ? . ?ABF ? ? ? tan ? ? BF BF AF 又 ?ADF ? ?DCF ? ? ? tan ? ? , DF AF ∴ tan ? cos ? ? ? tan ? .………………………8 分 BF
(Ⅲ)连接 CE 交 BF 于点 M ,连接 PM ,则 PM ∥ DE . ∵ AB ? AC ,∴ AD ? DC ,∴ F 为 AC 的中点, 而 E 为 AB 的中点,∴ M 为 ?ABC 的重心, EM 1 DP 1 ∴ ? ,∴ ? . MC 2 PC 2 C

D P

即在线段 DC 上是否存在一点 P ,使得 DE ∥ PBF , DP 1 此时 ? .………………………………………………………………12 分 PC 2

21. (Ⅰ)点 E 到 A 的距离与到直线 x ? ?1 的距离相等, 所以曲线 C 是以 A 为焦点的抛物线.设为 y 2 ? 2 px , 则

p ?1? p ? 2 2

, 故 曲 线

C

的 方 程 为
21 教

y 2 ? 4 x .…………………………………………4 分
育名师原创作品

( Ⅱ ) 设 直 线 AB 的 斜 率 为 k , 则 直 线 AB 的 方 程 为 y ? 2 ? k ( x ? 4) .
? y ? 2 ? k ( x ? 4) 4k ? 2 8k ? 2 由? 得 M( , ). y ? x ? 4 k ?1 k ?1 ?

8k ? 2 k ? 1 ? 2k ? 1 .………………………6 分 ∴ k3 ? 4k ? 2 3 4? k ?1 4?

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .
? y ? 2 ? k ( x ? 4) 由? 2 得, k 2 x2 ? (8k 2 ? 4k ? 4) x ? 16k 2 ? 16k ? 4 ? 0 . y ? 4 x ?

8k 2 ? 4k ? 4 16k 2 ? 16k ? 4 .………………………………………………8 分 , x x ? 1 2 k2 k2 y ? 4 y2 ? 4 k ( x1 ? 4) ? 2 k ( x2 ? 4) ? 2 ? ? ? ∴ k1 ? k2 ? 1 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4
∴ x1 ? x2 ?
? 2k ? 2( 2( x1 ? x2 ? 8) 1 1 ? ) ? 2k ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16

8k 2 ? 4 k ? 4 ? 8) k2 ? 2k ? 16k 2 ? 16k ? 4 8k 2 ? 4 k ? 4 ? 4? ? 16 2 k k2 2(

?

4k ? 2 ……………………………………………………………………………11 分 3

∴ k1 ? k2 ? 2k3 ,即 ? ? 2 .………………………………………………………………………13 分

22.(Ⅰ) f ?( x) ? (1 ? x)e x ? e x ? ? xe x . 在 (??,0) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 在 (0, ??) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴ f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ≤ 0 .∴ a ≥ 1 .………………………………………………………4 分 (Ⅱ)(ⅰ)用数学归纳法证明 xn ? 0 . 当 n ? 1 时, x1 ? 1 ? 0 ,结论成立;若 n ? k 时结论成立,即 xk ? 0 . 令 g ( x) ? e x ? 1 ? x ,则 g ?( x) ? e x ? 1 ,在 (0, ??) 上 g ?( x) ? 0 , g ( x) 递增. 而 g (0) ? 0 ,∴在 (0, ??) 上 g ( x) ? 0 ,∴ e x ? 1 ? x . 于是,由 exk ? 1 ? xk ? 0 ? ln(e xk ? 1) ? ln xk ? 0 ,即 xk ?1 ? 0 , n ? k ? 1 时结论成立. 由数学归纳原理, ?n ? N* , xn ? 0 . 又由(Ⅰ)知 x ? 0 时, (1 ? x)ex ? 1 ? 0 ? ∴ xn ?1 ? ln(e xn ? 1) ? ln xn ? ln

ex ? 1 x ?e . x

e xn ? 1 ? ln e xn ? xn ,数列 {xn } 单调递减.……………………9 分 xn

(ⅱ)我们先证明 xn ?1 ?
xn ?1 ?

1 xn .① 2
x x x

n n x n 1 1 xn ? ln(e xn ? 1) ? ln xn ? xn ? e xn ? 1 ? xn e 2 ? (e 2 ) 2 ? 2 ? n e 2 ? 1 ? 0 .② 2 2 2

令 h( x) ? e2 x ? 1 ? 2 xe x ,则
h?( x) ? 2e2 x ? 2xe x ? 2e x ? 2e x (e x ? x ? 1) ,

在 (0, ??) 上, h?( x) ? 0 , h( x) 递增. 而 h(0) ? 0 ,∴在 (0, ??) 上, h( x) ? 0 . 故②成立,从而①成立. 1 由于 x1 ? ,所以 2

xn ?

1 1 1 1 xn?1 ? 2 xn?2 ? ? ? n?1 x1 ? n .………………………………14 分 2 2 2 2


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