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电场与电势答案


半径为 R 的均匀带电球面,电荷的面密度为σ ,试求球心处的电场强度。 【答案】E = kπ σ

1.如图,Q、R、r、L 已知,导线联通,求 q.

+ = + 所以:
1

=

1

? ?
1

1





2。图中实线代表三根首尾相接的等长绝缘细棒,棒上的电荷分布情况与绝缘棒 都换成等长的细导体棒时的电荷分布完全相同.点 A 是△abc 的中心,B 点和 A

点相对 bc 边对称. 已测得 A、 B 两点的电势分别为 UA 和 UB. 现将绝缘棒 ab 取走, 设这不影响 bc、ac 棒的电荷分布.试求此时 A、B 两点的电势各是多少?

解: 如图,根据对称性以及电势是标量可知三根棒在 A 点所产生的电势均为 UA/3,bc 棒在 B 点 产生的电势跟 bc 棒在 A 点产生的电势相等,都为 UA.所以 ac、ab 棒在 B 点所产生的电势 为

1 1 (U B ? U A ) 2 3
绝缘棒 ab 取走后,A 点的电势

1 2 ' UA ?UA ? UA ? UA 3 3
B 点的电势

UB ' ? UB ?

1 1 (U B ? U A ) 2 3

1 1 ? UB ? UA 2 6

3.如图,q、l、R 已知,求接地导体球上的电量。

U0 ? k

Q q ?k 感 l R

Q感 ? ?

4。在一个半径为 R 的导体球外,有一个半径为 r 的细圆环,圆环的圆心与导体 球心的连线长为 d(d>R),且与环面垂直,如图所示.已知环上均匀带电,总电

R ?q l

量为 q,试问: (1) .当导体球接地时,球上感应电荷总电量是多少? (2) .当导体球不接地而所带总电量为零时,它的电势如何? (3) .当导体球的电势为 V0 时,球上总电荷又是多少? (4) .情况 3 与情况 1 相比,圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何?

(1) (2)

q感 ? ? Rq / r 2 ? a 2
V球 ? Kq面 / r 2 ? a 2

2 2 (3) q总 ? q面 ? RV0 / K ? Rq / r ? a

(4)对比⑧式和③式可知,情况 3 比情况 1 只是在导体球上多了电荷 RV0/K,而导体球的
电势相应地由零变为 V0.可以设想从情况 1 出发,把导体球与地断开而维持原来的 q 感大小 及分布不变,再把电荷 RV0/K 均匀地加到球面上,正是它使球的电势变为 V0,即成为情况 3.对于球外的圆环来说, 这些加上的电荷对它的作用力相当于集中在球心处的等量点电荷对 它的作用力,这也就是圆环多受到的作用力

F?K

( RV0 / K )q RaqV0 a ? ? 2 2 2 2 3/ 2 r ?a r 2 ? a 2 (r ? a )

(因原来静电平衡内部 E=0,RV0/K 再加上去应均匀分)

5.如图 1-2-2 所示,两个同心导体球,内球半径为 R1 ,外球是个球壳,内半径 为 R2 ,外半径 R3 。在下列各种情况下求内外球壳的电势,以及壳内空腔和壳外 空间的电势分布规律。 (1)内球带 ? q ,外球壳带 ? Q 。 (2)内球带 ? q ,外球壳不带电。 (3)内球带 ? q ,外球壳不带电且接地。 (4)内球通过外壳小孔接地,外球壳带 ? Q 。
R3
R2

R1

图 1-2-2

解: 如图 1-2-2 所示,根据叠原理: (1) R1 处有均匀的 ? q , R2 必有均匀的 ? q , R3 处当然有 ? ?Q ? q ?电荷, 因此:
U1 ? k

内球

?Q ? q ? q q ?k ?k R1 R2 R3 ?Q ? q ? ? k ?Q ? q ? q q ?k ?k R2 R2 R3 R3
q q ?k R1 R2

外球

U2 ? k

电势差

U12 ? U1 ? U 2 ? k

腔内

U内 ? k

?Q ? q ? q q ?k ?k r R2 R3 ( R1 <r< R2 )
?Q ? q ? ? k ?Q ? q ? q q ?k ?k r r R3 R3 (r> R3 )

壳外

U外 ? k

(2) R1 处有 ? q , R2 处有 ? q , R3 处有 ? q ,因此:
U1 ? k q q q ?k ?k R1 R2 R3 q q q q ?k ?k ?k R2 R2 R3 R3 q q ?k R1 R2

内球

外球

U2 ? k

电势差

U12 ? U1 ? U 2 ? k

腔内

U内 ? k

q q q ?k ?k r R2 R3 ( R1 <r< R2 )
q q q q ?k ?k ? k r r r r (r> R3 )

壳外

U外 ? k

(3)R1 处有 ? q ,R2 处有 ? q , 外球壳接地, 外球壳 U 2 ? 0 ,R3 处无电荷。
U1 ? k q q ?k R1 R2

内球

电势差

U12 ? U1 ? U 2 ? k

q q ?k R1 R2

腔内

U内 ? k

q q ?k r R2 ( R1 <r< R2 )
q q ?k ?0 r r (r> R3 )

壳外

U外 ? k

(4)内球接地电势为零,内球带 ? q? , R2 处有 ? q? , R3 处有 ? ?Q ? q ? , 先求 q? ,因为
?k

?Q ? q?? ? 0 q? q? ?k ?k R1 R2 R3

解得 q? ? QR1R2 /?R1R2 ? R2 R3 ? R1R3 ? 内球 U1 ? 0
U 2 ? ?k

外球

?Q ? q?? q? q? ?k ?k R2 R2 R3

? kQ?R2 ? R1 ? /?R1R2 ? R2 R3 ? R1R3 ? ? U 21
U 内 ? ?k q? q ? ?Q ? q ?? ?k k r R2 R3

腔内

?

kQR2 ? R1 ? ?1 ? ? ?R1R2 ? R2 R3 ? R1R3 ? ? r ? ( R1 <r< R2 )

壳外

U 外 ? ?k

?Q ? q?? ? kQR3 ?R2 ? R1 ? q? q? ?k ?k ?R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ?r r r R3

6、两个电量均为 q=3.0×10-8C 的小球,分别固定在两根不导电杆的一端,用不 导电的线系住这两端。将两杆的另一端固定在公共转轴 O 上,使两杆可以绕 O 轴在图面上做无摩擦地转动,线和两杆长度均为 l=5.0cm。给这系统加上一匀强 电场,场强 E=100kV/m,场强方向平行图面且垂于线。某一时刻将线烧断,求当 两个小球和转轴 O 在同一条直线上时,杆受到的压力(杆的重力不计) 。
q l q l l O E

7、半径为 R 的半球形薄壳,其表面均匀分布面电荷密度为σ 的电荷,求该球开 口处圆面上任一点的电势。(这道题可以作一个引申:若是一个整球,在球上取 一点Δ q,求其所受电场力)
Q ? ? 2?R 2 U P ? U0 ? k ? ? k ? ? 2?k?R R R
E下 O E上

8、如图所示,半径为 r 的金属球远离其他物体,通过 R 的电阻器接地。电子束 从远处以速度 v 落到球上, 每秒钟有 n 个电子落到球上。试求金属球每秒钟释放 的热量,及球上电量。

r

R

10、质子加速器使每个质子得到的动能为 Ek,很细的质子束从加速器射向一个 远离加速器、 半径为 r 的金属球,球的中心并不处在加速器发射出的质子的运动 方向的直线上,而距这个直线的距离为 d,d<r。问在加速器工作足够长时间后 能充到多高的电势?带电荷多少?


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