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安徽省黄山市七校2013届高三上学期11月联考数学理试题


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安徽省黄山市七校 2013 届高三上学期 11 月 联考数学理试题
考生注意: 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2、答题前,请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚。请考生按规定用笔将所有 试题的答案涂、填在答题卡上,在试题卷上作答

无效; 3、请规范、工整书写,保持卷面清洁。

第Ⅰ卷(选择题

满分 50 分)

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知复数 z 满足 z ?

3i 1 ? 3i

,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的虚部是

A.

3 i 2

B.

3 i 4

C.

3 4

D.

3 2

2. 已知 tan? ? 2 ,则

2 cos? ? cos? ? sin ?

A. ? 2

B.

2

C. 0

D.
? ?

2 3
? ?

2 3. 设集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? ? x | log 1 x ? 0? ,则 A ? B ?
2

?

?

A.

?? 1,1?

B. ?1,3?
2

C. ?3,???

D. ?? ?,?1?

4.已知直线 l 是抛物线 y ? x 的一条切线,且 l 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 平行,则直线 l 的方程 是

A. 2 x ? y ? 3 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. 2 x ? y ? 1 ? 0

D. 2 x ? y ? 1 ? 0

5.已知双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,双曲线的一个焦点到渐近线的距离为 a2 b2

5 c ( c 是双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率是 3

A.

5 2

B.

3 2

C.

3 5 2

D.

2 3

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甲 5 3 6 4 7 3 8 9 1 1 2 3 4 第 6 题图 4 2 5 5 6 7 3 7 8 乙

6. 如图是某种商品前三个季度在甲、乙两 地的月销售数量的茎叶图,则在甲、乙两 地的月销售数量的中位数之和是 A.65 C.63 B.64 D.62
2

1 7.已知二项式 ( x ? ) n 的展开式的二项式 x 系数之和为 32 ,则展开式中含 x 项的系数是 A. 5 B. 20 C. 10 D. 40
2

8.由曲线 y ? x ? 2 x 与直线 y ? x 所围成的封闭图形面积是

1 2 D. 3 3 9.现有一种密码,它是由 3 个 a , 2 个 b ,1 个 c 和 1 个 d 组成的七位代码,则这种密码的个

A.

1 6

B.

5 6

C.

数是

A. 120

B. 240

C. 360

D. 420

10. 给出以下命题: (1) ?x ? R ,使得 sin x ? cos x ? 1 ; (2)函数 f ( x) ?

sin x ? ?? 在区间 ? 0, ? 上是单调减函数; x ? 2?

(3) x ? 1”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件; “ (4)在 ?ABC 中, A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的必要不充分条件。 “ 其中是真命题的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

第Ⅱ卷(非选择题

满分 100 分)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的 相应位置)
11.已知某几何体的三视图如图所示,这个几何体 的外接球的体积为 。 12. 已知实数 x , y 满足 ?
1
2 正视图 2 侧视图

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?y ? x

,则此 。

不等式组表示的平面区域的面积为 13. 在 极 坐 标 系 中 , 点 A( 2 ,

?
4

) 到直线
2

? 2 ? s i n (? ) ? ? 的距离是
4 2

。 俯视图 第 11 题图

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14.在执行右边的程序框图时,如果输入 N ? 4 ,则输出 S ? ___________。 15.如图,在等腰直角 ?ABC 中,点 D 是斜边 BC 的中点,过点 开始

D 的 直 线 分 别 交 AB, AC 于 点 M , N , 若
AM ? x AB, AN ? y AC ,其中 x ? 0, y ? 0 ,则 2 x ? 4 y 的最
小值是 。

输入N k=1,S=1 S=S+ 1 k(k+1) 是 k=k+1

B M

k<N?

D

否 输出S 结束

A
第 15 题图

C

N

第 14 题图

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内) 16. (本题 12 分)已知函数 x x f ( x) ? cos(? ) ? sin(? ? ), x ? R 。 2 2
(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间;

(Ⅱ) ?ABC 的内角 A ,B , 的对边分别为 a , , , f ( A) ? 若 C b c 若 求 ?ABC 的面积。

2 10 , ? 1, ? 2 , b c 5

17. (本题 12 分)已知从 A 地去 B 地有两条路可走,并且汽车走路①堵车的概率为

1 ; 4

汽车走路②堵车的概率为 p .若现在有两辆汽车走路①,有一辆汽车走路②,且这三辆车 是否堵车相互之间没有影响。 (Ⅰ)若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为

7 ,求走公路②堵车的概率; 16

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求这三辆汽车中被堵车辆的辆数 ? 的分布列和数学期望。

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18. (本题 12 分)已知在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAB ? 底面 ABCD , O 为 AB 中 点, AD// BC , AB ? BC , PA ? PB ? BC ? AB ? 2 , AD ? 3 。 (Ⅰ)求证: CD ? 平面 POC ; P (Ⅱ)求二面角 O ? PD ? C 的余弦值。

A
19.(本题 12 分)已知函数

D

1 f ( x) ? x 2 e x ?1 ? x 3 ? x 2 。 3
(I)讨论函数 f (x) 的单调性;

O

B
第 18 题图

C

2 3 2 (II)设函数 g ( x) ? x ? x ,试比较 f (x) 与 g (x) 3
的大小。

20. (本题 13 分)已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,首项 a1 ? 1 ,且对于任意 n ? N ? 都 有 nan ?1 ? 2S n 。 (Ⅰ)求 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

4a n ?1 an an?2
2 2

,且数列 ?bn ? 的前 n 项之和为 Tn ,求证: Tn ?

5 。 4

21. (本题 14 分)已知椭圆 G 的中心是原点 O ,对称轴是坐标轴,抛物线 y ? 4 3 x 的
2

焦点是 G 的一个焦点,且离心率 e ? (I)求椭圆 G 的方程;

3 。 2

(II)已知圆 M 的方程是 x ? y ? R ( 1 ? R ? 2 ) ,设直线 l 与圆 M 和椭圆 G 都相切,
2 2 2

且切点分别为 A , B 。求当 R 为何值时, AB 取得最大值?并求出最大值。

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黄山市 2013 届高三“七校联考” 理科数学参考答案
一、选择题: C A B D B 、 B C B D C 二、填空题:
11.

9? 2

12. 3

13.

2 2

14.

9 5

15. 3 ? 2 2

三、解答题:
16. 解: (Ⅰ)? f ( x) ? cos(? ) ? sin(? ? ) ? cos

?函数 f (x) 的最小正周期 T ? 4? , ? x ? ? 3? ? 又由 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? 4k? ? ? x ? 4k? ? (k ? Z ) 可得 2 2 4 2 2 2 3? ?? ? 函数 f (x) 的单调递增区间为 ?4k? ? ,4k? ? ? (k ? Z ) 。?????6 分 2 2? ? 2 10 A ? 2 5 (Ⅱ)解法一:由 f ( A) ? 及(Ⅰ)可得 sin( ? ) ? , 5 2 4 5 ? 3 ? A ? ? 2 A 所以 cos?2( ? )? ? 1 ? 2 sin ( ? ) ? ? , 2 4 5 ? 2 4 ? 3 即 sin A ? , 5 1 3 ? S ?ABC ? bc sin A ? 。?????12 分 2 5 2 10 A ? 2 5 解法二:由 f ( A) ? 及(Ⅰ)可得 sin( ? ) ? , 5 2 4 5 A A 2 10 A A 2 8 3 即 sin ? cos ? ,? (sin ? cos ) ? ,即 sin A ? 2 2 5 2 2 5 5 1 3 A ? S ?ABC ? bc s i n ? 。?????12 分 2 5
17. 解: (Ⅰ)由已知条件得 C2 ?
1

x 2

x 2

x x x ? ? sin ? 2 sin( ? ) 2 2 2 4

1 3 7 ?3? ? ? (1 ? p) ? ? ? ? p ? 4 4 16 ?4?
?????5 分

2

即 3 p ? 1 ,则 p ?

(Ⅱ) ? 可能的取值为 0,1,2,3

1 3

3 3 2 3 7 ; P(? ? 1) ? P(? ? 0) ? ? ? ? 4 4 3 8 16 ; 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 P(? ? 2) ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ; P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 3 4 4 3 6 4 4 3 48 ? 的分布列为:
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?
P
0

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1 2 3

7 1 1 16 6 48 3 7 1 1 5 所以 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 。?????12 分 8 16 6 48 6
18. (Ⅰ)证明: ? PA ? PB ? AB , O 为 AB 中点 ? PO ? AB ? 侧面 PAB ? 底面 ABCD , PO ? 侧 面 P A B, 侧 面 PAB ? 底 面 ABCD ? AB ? PO ? 底 面 A B C D

3 8

? CD ? 底面 ABCD ? PO ? CD 在 Rt?OBC 中, OC 2 ? OB 2 ? BC 2 ? 5 2 2 2 在 Rt?OAD 中, OD ? OA ? AD ? 10 2 2 2 在直角梯形 ABCD 中, CD ? AB ? ( AD ? BC ) ? 5 ? OC 2 ? CD2 ? OD 2 即 ?ODC 是以 ?OCD 为直角的直角三角形,当然有 OC ? CD ? OC, OP 是平面 POC 内的两条相交直线 ? CD ? 平面 POC ?????6 分 (Ⅱ)解法一:如图建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 P (0,0, 3 ) , D(?1,3,0) , C (1,2,0)

? OP ? (0,0, 3 ), OD ? (?1,3,0), CP ? (?1,?2, 3 ), CD ? (?2,1,0)
假设平面 OPD 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 PCD 的法向量为 n ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 ,取 y1 ? 1 ,得 x1 ? 3 , z1 ? 0 ,即 m ? (3,1,0) , ?OD ? m ? 0 ?? x1 ? 3 y1 ? 0 ? ?CP ? n ? 0 ?? x ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 0 ? 由? 可得 ? 2 ,取 x 2 ? 3 ,得 y 2 ? 2 3 , z 2 ? 5 , ?CD ? n ? 0 ?? 2 x 2 ? y 2 ? 0 ? 由? 可得 ? 即 n ? ( 3 ,2 3 ,5)

?OP ? m ? 0 ?

? 3 z1 ? 0

? cos ? m, n ??

m?n mn

?

5 3 10 40

?

3 4

故二面角 O ? PD ? C 的余弦值为

3 。?????12 分 4

z
P

A
O

D

y
C
第 18 题图

解法二:过 点 C 作

B

P
N

于点 M , 过点 M 作 MN ? PD 于点 N , 连接 CN 。 则由于 PO ? 平面 OCD , PO ? 平面 POD ,所以

CM ? OD

x

A M
O

D

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B
第 18 题图

C

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平面 POD ? 平面 OCD , CM ? 平面 OCD , 平面 POD ? 平面 OCD ? OD , CM ? ∴ ? 平面 POD , ∴ CM ? PD ,? MN ? PD , MN ? CM ? M ,∴ PD ? 平面 MCN , ∴ PD ? NC ,即 ?MNC 是二面角 O ? PD ? C 的平面角。 在 Rt?OCD 中, CM ? 在 Rt?PCD 中, CN ? 所以 MN ?

OC ? CD OC 2 ? CD 2 PC ? CD PC ? CD
2 2

? ?

10 , 2


2 10 13

CN 2 ? CM 2 ?
MN 3 ? CN 4

15 ,所以 26

cos ?MNC ?

3 。?????12 分 4 19.解: (I)函数 f (x) 的定义域显然为 R f ?( x) ? (e x ?1 ? 1)( x 2 ? 2 x) ? x( x ? 2)(e x ?1 ? 1)
故二面角 O ? PD ? C 的余弦值为 令 f ?( x) ? 0 可得 e 列表如下:
x ?1

? 1 ? 0 或 x 2 ? 2 x ? 0 即 x1 ? ?2, x2 ? 0, x3 ? 1

x f ?(x)
f (x)

?? ?,?2?
— ↓

?? 2,0?
+ ↑

?0,1?
— ↓

?1,???
+ ↑

由上表可知函数 f (x) 在区间 ?? 2,0? 和 ?1,?? ? 上是单调递增函数;在区间 ?? ?,?2? 和 ?0,1? 上是单调递减函数。?????6 分

? x 3 ? x 2 (e x ?1 ? x) , x ?1 x ?1 又设函数 ? ( x) ? e ? x , x ? R 则 ? ?( x) ? e ? 1 , 所以当 x ? ?? ?,1? 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? (x) 为减函数; 当 x ? ?1,??? 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? (x) 为增函数, 因而 ? ( x) ? ? (1) ? 0 恒成立(等号仅当 x ? 1处取得) 综上,当 x ? 0 或 1 时, h( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, h( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) 。?????12 分 20. 解: (Ⅰ)解法一:由 nan ?1 ? 2S n ①可得当 n ? 2 时, (n ? 1)an ? 2S n ?1 ②,
(II)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x e
2

x ?1

由①-②可得, nan ?1 ? (n ? 1)a n ? 2( S n ? S n?1 ) ? 2a n ,所以 nan?1 ? (n ? 1)a n ,

a n ?1 n ? 1 ? , an n a a a 3 a 4 a 5 n n 所以 3 ? , 4 ? , 5 ? , ??, n ? , 将上面各式两边分别相乘得, n ? , a 2 2 a3 3 a 4 4 a n ?1 n ? 1 a2 2 n 即 a n ? ? a ( n ? 3 )又 a2 ? 2S1 ? 2a1 ? 2 , , 所以 a n ? n n ? 3 )此结果也满足 a1 , a 2 , ( , 2 2 故 a n ? n 对任意 n ? N ? 都成立。?????7 分
即当 n ? 2 时, 解法二:由 nan ?1 ? 2S n 及 a n ?1 ? S n ?1 ? S n 可得 nSn ?1 ? (n ? 2) S n ,即

S n ?1 n ? 2 ? , Sn n

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?当 n ? 2 时, S n ? S1 ?

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S S 2 S3 3 4 5 n ? 1 n(n ? 1) ? ? ?? ? n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? (此式 S1 S 2 S n ?1 1 2 3 n ?1 2 n(n ? 1) 也适合 S 1 ) ?对任意正整数 n 均有 S n ? , , 当 n ? 2 时,a n ? S n ? S n ?1 ? n(此 ? 2 式也适合 a1 ) ,故 a n ? n 。?????7 分
(Ⅱ)依题意可得 bn ?

4a n ?1
2 2

an an?2 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 ? 1 3 2 4 3 5 n ( n ? 2) 2 1 1 1 ? ?????13 分 ? ?1? ? 2 4 (n ? 1) ( n ? 2) 2

?

4n ? 4 1 1 ? 2 ? 2 n (n ? 2) n (n ? 2) 2
2

?

5 (n ? 1) 2 ? (n ? 2) 2 5 ? ? 4 (n ? 1) 2 (n ? 2) 2 4

21. 解: (I)依题意可设椭圆 G 的方程为 因为抛物线 y ? 4 3 x 的焦点坐标为
2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 a2 b2

?

3 ,0 , 所以 c ? 3 , 又因为 e ?

?

3 c 3 , 所以 ? , 2 a 2

x2 ? y 2 ? 1 。?????5 分 4 (II)由题意易知直线 l 的斜率存在,所以可设直线 l : y ? kx ? m ,即 kx ? y ? m ? 0 m ? R ,即 m 2 ? R 2 (k 2 ? 1) ① ∵直线 l 和圆 M 相切 ∴ 2 k ?1
2 2 所以 a ? 2, b ? a ? c ? 1 ,故椭圆 G 的方程为

联立方程组

?y ? kx? m ? 2 2 2 2 消去 y 整理可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 , ?x 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 2 2 2 2 ∵直线 l 和椭圆 G 相切 ∴ ? ? 64 k m ? 4(1 ? 4k )( 4m ? 4) ? 0 ,即 m ? 4k ? 1 ②
由①②可得 k ?
2

R2 ?1 2 3R 2 ,m ? 4 ? R2 4 ? R2
2

现在设点 B 的坐标为 ? x 0 , y 0 ? ,则有 x0 ?
2 2

4m 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? , 1 ? 4k 2 3R 2

x 4 ? R2 y0 ? 1 ? 0 ? , 4 3R 2 15 R 2 ? 12 4 2 2 2 ? 5? 2 , 所以 OB ? x0 ? y 0 ? 2 3R R 4 4 4 2 2 2 2 2 2 所以 AB ? OB ? OA ? 5 ? 2 ? R ? 5 ? ( R ? 2 ) ? 5 ? 2 R ? 2 ? 1 R R R 4 2 等号仅当 R ? 2 ,即 R ? 2 取得 R 故当 R ? 2 时, AB 取得最大值,最大值为 1 。?????14 分
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