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1.2.2函数的表示方法、分段函数及映射


1.2.2

函数的表示法

黄冈天有高中高一数学组 潘洪峰

探究点1 解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法

如 : S = 60t 2 , A = p r 2 , y = ax 2 + bx + c(a 0)
优点: ①函数关系清楚、精确;②容易从自变量的

值求出其对应的函数值;③便于研究函数的性质。 解析法是中学研究函数的主要表达方法。

探究点2 列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. 如:平方表,平方根表,汽车、火车站的里程价目 表、银行里的“利率表”等。 优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的 对应值,当自变量的值的个数较少时使用,列表法在实 际生产和生活中有广泛的应用.

探究点3 图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 如:一次函数y=kx+b (k<0、b>0)

y

的图象是一条直线;

O
优点:能形象直观地表示出函数的变化趋势, 是今后利用数形结合思想解题的基础.

x

例1

某种笔记本的单价是5元,买 x x ? ?1, 2,3, 4,5?

?

?

个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5} 用解析法表示为 列表法表示如下: x y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25
y ? 5x, x ? ?1, 2,3, 4,5?

用图象法可将函数表示为右图: 函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折 线、孤立的点等。

(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围?

函数的定义域是函数存在的前提,写函数解析式的时候, 一般要写出函数的定义域. (2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么? 列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线)

例2

下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六

次数学测试的成绩及班级平均分表.
成绩 姓名
测试序号

第1次 98 90 68 88.2

第2次 87 76 65 78.3

第3次 91 88 73 85.4

第4次 92 75 72 80.3

第5次 88 86 75 75.7

第6次 95 80 82 82.6

王伟 张城 赵磊 班级平 均分

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分

析.

解:从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩,但不

太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将“成绩”与
“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来,如下图, 那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.这对我们的分 析很有帮助.

提升总结

作函数图象时应注意的事项:
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作 图;

(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来
衬托整个图象; (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴 的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.

1. 画出下列函数的图象: (1) f (x) ? 2x, x ? R, 且 x ? 2; (2) f (x) ? x ? 2,(x ? N, 且 x ? 3);

解:(1)

y 4

?

(2)

2

?2

?1 O ?2

1

2

x

?

?4

画出函数 y ? x 的图象.

?x y?? ?? x
y

x ? 0, x ? 0.

在它的定义域中, 对于自变量的不同 取值范围,对应关 系不同.

5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x

探究点1 分段函数
有些函数在它的定义域中,对于自变量的不同取 值范围,对应关系不同,这种函数通常称为分段函数.

注意
(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各 段值域的并集.

变式练习:
以下叙述正确的有( C ) (1)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是 各段值域的并集. (2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系, 但它是一个函数.

(3)若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应关系的
值域,则D1∩D2 ≠φ 也能成立. (A)1个 (C)3个 (B)2个 (D)0个

1.求分段函数的函数值:
x+2, (x≤-1); 例1 已知函数f(x)= x2, (-1<x<2); 2x, (x≥2).

1 (1)求 f ? 3? ,f( ) ,f ? ?5 ? 的值; 2 (2)若f(x)=3,求x的值.
1 解:(1) f ? 3? ? 6,f( 1 ) ? ,f ? ?5 ? ? ?3 2 4

(2)x ? 3

3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:

(1)5公里以内(含5公里),票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里 的按5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意, 写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.

解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量x 的取值范围是(0,20] 由“招手即停”公共汽车票价的制定规定,可得到以下 y 函数解析式: 5 ○ 2, 0<x ≤ 5 3, 5 < x ≤ 10 4 ○ y= 4, 10 < x ≤ 15 3 ○ 5, 15 < x≤20 2○ 根据这个函数解析式, 1 可画出函数图象, 如右图: O

5

10 15 20

x

?x ? 3 1.已知 f ( x) ? ? ? f [ f ( x ? 4)]

( x ? 9) ( x ? 9)

求 f ?15 ? , f ? 7 ? 的值. 解: f ?15 ? ? 12,f ? 7 ? ? 6

v/cm·s-1 2.某质点在30s内运动速度vcm/s 30 25 是时间t的函数,它的图象如右图, 20 15 用解析式表示出这个函数. 10 t+10, (0 ≤ t<5) 30 t/s

解:v(t)=

3t,(5 ≤ t<10) 30,(10 ≤t <20)

O 5 10

20

-3t+90,(20 ≤ t≤30)

探究点2 映射
填写下图中的对应关系

(1)相应国家的首都 B A
中 国 韩 国 北 京 首 尔 X的首都

(2)求平方
A
1 - 1 2 -2 3 - 3

(3)乘以2
A
1 2 3

B
1 4 9

B
1 2 3 4 5 6

x

x
多对一

一对一

x2

x

2x 一对一

(1),(2),(3)的共同特征:集合A中的任何一个元素,在集 合B中都有唯一的元素和它对应.

映射的概念
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确 定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B

为从集合A到集合B的一个映射.
注意

若对应是映射,必须满足两个条件:

①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应. ②A在B中所对应的元素是唯一的.

因此还可以用映射的概念来定义函数:

如果A、B是非空数集,那么A到B的映射f:A→B,
就叫做A到B的函数, 记作:y=f(x) 函数是一种特殊的映射

函数

映射

对应

例4

以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?

(1)集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对应; 是 (2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B= {(x,y) | x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系 中的点与它的坐标对应;是 (3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆},对应

关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;是
(4)集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是新 华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的

学生. 不是

1.(2012·西安高一检测)设A=[0,2], B=[1,2], 在下 列各图中,能表示f:A→B的函数是( D y y 2 2 ).

(A) 1
0 y 2 (C) 1 0 1 2

1 (B)
x

1

2

0 y 1 2 (D)1 x 0

2

x

1

2

x

2.判断下列对应是否为映射?

a b c

e
f

a b

e

a
b c

e f

f
g

c
d 不是

g
d

g





3.判断下列对应是不是从A到B的映射:
(1)A=N,B=N*,f:x→|x-2|;
1 (2)A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},f:x→y= x; 2 (3)A={x|x≥3,x∈N},B={a|a≥0,a∈Z},

f:x→a= x 2 ? 2x ? 4 ; 解:(1)集合A中的元素2在对应关系下,B中没有元素 与之对应,故不是映射. (2)A中元素6在对应关系下,B中没有元素与之对应, 故不是映射. (3)是映射.

4.(2011·泰安模拟)某市居民自来水收费标准如下: 每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元,当用水超过4 吨,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户居民共缴 水费y元,已知甲、乙两户的用水量分别为5x、3x(吨). (1)求y关于x的函数; (2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元,分别求出甲、 乙两户该月的用水量和水费. 4 14.4x,0≤x≤ , 【解析】(1)依题意得y=
5 4 4 20.4x-4.8, <x≤ , 5 3 24x-9.6,x> 4 . 3

(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增,
4 当x∈(0, 4 )时,y≤f( )<26.4; 5 5 4 当x∈( , 4 )时,y≤f( 4 )<26.4; 5 3 3 4 当x∈( ,+∞)时,令24x-9.6=26.4,得x=1.5. 3

所以甲用户的用水量为5x=7.5(吨), 缴水费4×1.8+3.5×3=17.7 (元),

乙用户用水量为3x=4.5(吨),
缴水费4×1.8+0.5×3=8.7(元).

你能说出函数与映射之间的异同吗?

(1)函数是特殊的映射,映射不一定是函数,映射是函数 的推广; (2)函数是非空数集A到非空数集B的映射,而对于映射,

A和B不一定是数集。

回顾本节课你有什么收获
图象 解析式

分段函数的概念
映射的 概念 核心概念 分段函数 的函数值


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