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数模竞赛中部分几何物理问题解析


数模竞赛中部分几何物理问题解析
谭劲英

14/07/18

1. CUMCM-1995A: 一个飞行管理问题 2. CUMCM-2000D: 空洞探测

3. CUMCM-2010A: 储油罐的变位识别与罐容表标定

CUMCM-1995A:一个飞行管理问题
在约 10000

m 高空的某边长 160km 的正方形区域内,经常有 若干架飞机作水平飞行,区域内每架飞机的位置和速度向量均 由计算机记录其数据,以便进行飞行管理。当一架欲进入该区 域的飞机到达边界区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并 判断是否会与其区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞,则应计 算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞。 现假设条件如下: 1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km; 2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度; 3)所有飞机飞行速度均为每小时为800km; 4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距 离应在 60km以上; 5)最多考虑6架飞机; 6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计 算步骤,对以下数据进行计算 ( 方向角误差不超过 0.01度 ),要求 飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域4个顶点坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 记录数据为: 飞机编号 横坐标x 纵坐标y 方向角(度) 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52 注:方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。

两架飞机不碰撞的条件
初始位置:( x
0 i

, y ),?
0 i

0 i

? i ? ? i0 ? ?? i

t 0 ? x ? x ? i i ? vt cos? i , 时刻t飞机的位置:? t 0 y ? y ?i , ? i ? vt sin ? i

2 两架飞机的距离(平方):rij (t ) ? ( x ti ? x tj )2 ? ( y ti ? y tj )2

不碰撞条件: f ij (t ) ? rij2 (t ) ? 64 ? 0 (0 ≤ t ≤Tij) Ti为第i架飞机飞出区域的时刻:

飞机飞出区域的时刻
不必考虑在区域外的碰撞!
两架飞机都在区域中的时间:Tij ? min( Ti , Tj ) 具体来看,第i架飞机在区域内的时间:
? D ? x i0 D ? yi0 yi0 ? 3? , if 0 ? ? i ? , tan? i ? or ? ? i ? 2? ,? tan? i ? , ? 0 0 v cos ? 2 D ? x 2 D ? x i i i ? ? D ? y0 D ? yi0 D ? yi0 ? ? i , if 0 ? ? i ? , tan? i ? or ? ? i ? ? ,? tan? i ? , ? 0 0 v si n ? 2 D ? x 2 x ? i i i Ti ? ? 0 0 0 ? ? x i , if ? ? ? ? ? ,? tan? ? D ? yi or ? ? ? ? 3? , tan? ? yi , i i i i ? v cos? i 2 x i0 2 x i0 ? yi0 yi0 3? 3? ? ? yi0 ? v si n? , if ? ? ? i ? 2 , tan? i ? x 0 or 2 ? ? i ? 2? ,? tan? i ? D ? x 0 i i i ?

?i

0

整理: f ij (t ) ? zij ? bij zij ? cij . 其中:

2

fij(t)的最小值 (- bij2 / 4 + cij ) ;此时

t ? ? bij 4v si n
* ij

?i ? ? j
2

.

不碰撞条件的等价表述
* 若tij ?0

fij(t) 大于等于0肯定成立

* 若tij ? Tij fij(t) 大于等于0等价于 fij (Tij ) ? 0

若0 ? t ? Tij fij(t) 大于等于0等价于 f ij (t ij ) ? 0
* ij

*

2 bij ? 4cij ? 0,

最后,优化模型为

其他目标: 初始位置与方向角: ( xi0 , yi0 ),?i0 调整后的方向角:?i ? ?i0 ? ??i 总的调整量最小: Min? ?? i .
i ?1 6

| ?? i | 最大调整量最小: Min imax ?1,..., 6

CUMCM-2000D:空洞探测
山体隧道坝体等的某些内部结构可用弹性波测量 来确定。简化问题可叙述为,一块均匀介质构成的矩 形平板内有一些充满空气的空洞。 在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源,在 他们的对边对等地安放同样多的接收器,记录弹性波 由每个波源到达对边上每个接收器的时间。根据弹性 波在介质和在空气中不同的传播速度来确定板内空洞 的位置。

具体问题: 一块 240(米)×240(米) 的平板ABCD: 在AB 边等距地设置 7 个波源Pi (i=1,…,7),在 CD 边等距地设置7个接收器Qj (j=1,…,7),记录由 Pi 发出的弹性波到达 Qj 的时间 tij(秒) ; 在AD 边等距地设置 7 个波源Ri (i=1,…,7),在 BC 边等距地设置7个接收器Sj (j=1,…,7),记录由 Ri 发出的弹性波到达 Sj 的时间 τij(秒)。 已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为 2880(米 /秒 )和 320(米 /秒 ),且弹性波沿板边缘的传播 速度与在介质中的传播速度相同。

D

Q4

C

S6

R3

A

P2

B

TP=(tij)
tij P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 Q1 Q2 Q3 .0611 .0895 .1996 .0989 .0592 .4413 .3052 .4131 .0598 .3221 .4453 .4040 .3490 .4529 .2263 .3807 .3177 .2364 .4311 .3397 .3566 Q4 .2032 .4318 .4153 .0738 .1917 .3064 .1954 Q5 .4181 .4770 .4156 .1789 .0839 .2217 .0760 Q6 .4923 .5242 .3563 .0740 .1768 .0939 .0688 Q7 .5646 .3805 .1919 .2122 .1810 .1031 .1042

TR=(τij)
τij R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 S1 .0645 .0753 .3456 .3655 .3165 .2749 .4434 S2 .0602 .0700 .3205 .3289 .2509 .3891 .4919 S3 .0813 .2852 .0974 .4247 .3214 .5895 .3904 S4 .3516 .4341 .4093 .1007 .3256 .3016 .0786 S5 .3867 .3491 .4240 .3249 .0904 .2058 .0709 S6 .4314 .4800 .4540 .2134 .1874 .0841 .0914 S7 .5721 .4980 .3112 .1017 .2130 .0706 .0583

要求: (1) 确定该平面内空洞的位置。 (2) 只根据Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij 能确定 空洞的位置吗?讨论在同样能够确定空洞位置 的前提下,减少波源和接收器的方法。

分析:

弹性波沿平板边缘的理论传播时间:
t=240/2880=0.0833(秒) 弹性波沿平板边缘的实际传播时间: t11=.0611, t77=.1042, τ11=.0645, τ77=.0583

题目中已假设“弹性波沿板边缘的传播速度与 在介质中的传播速度相同”。观测数据的最大绝对 误差为d=0.025秒。可以认为,0.025*320 = 8 (米) 以下的空洞是探测不出的。

假设
1. 观测数据有测量误差。观测数据除测量误差外是可 靠的。 2. 波在传播过程中沿直线单向传播,且不考虑波的反 射、折射以及干涉等现象。 3. 空气密度和介质密度都均匀。 4. “弹性波”在传播过程中没有能量损失。其波速仅与 介质有关,且在同一均匀介质中波速不变。弹性波 沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。 5. 假设平板可划分化为网格,空洞定位于每个网格单 元内,空洞大小大致相同。

波线与网格交线长度的计算
记波源Pi与接收器Qj 决定的 波线与每个单元( k , l )的 交线长度为bijkl
6 5
4 3 2

(k,l)

i=j 时,

1 1 2 3 4 5 6

bijkl

?40, 如果k ? i ? j ? 1 或 k ? 1 ? i ? j ? 7; ?? ? 20, 如果k ? i ? j 或 k ? 1 ? i ? j,且2 ? k ? 5;

波线与网格交线长度的计算
i=j 以外的情况 PiQj 决定的直线方程:
(k,l)

(j - i)y = 6(x-40(i-1))
单元(k,l)左边缘直线方程 x = 40(k-1)

波线与单元 (k,l) 左边缘对应交点的 y 坐标为 y1ijkl = 240(k-i)/(j-i), 其中 l-1≤ 6(k-i)/(j-i)≤ l

波线与网格交线长度的计算
i=j 以外的情况 PiQj 决定的直线方程:

(j - i)y = 6(x-40(i-1))
单元(k,l)右边缘直线方程 x = 40k

(k,l)

波线与单元(k,l)右边缘对应交点的y坐标为 y2ijkl = 240(k+1-i)/(j-i), 其中 l-1≤ 6(k+1-i)/(j-i)≤ l

波线与网格交线长度的计算
i=j 以外的情况 PiQj 决定的直线方程:
(k,l)

(j - i)y = 6(x-40(i-1))
单元(k,l)下边缘直线方程 y = 40(l-1)

波线与单元(k,l)下边缘对应交点的y坐标为 y3ijkl = 40(l-1), 其中 0≤ 6(i-k)-(i-j)(l-1)≤ 6

波线与网格交线长度的计算
i=j 以外的情况 PiQj 决定的直线方程:
(k,l)

(j - i)y = 6(x-40(i-1))
单元(k,l)上边缘直线方程 y = 40l

波线与单元(k,l)上边缘对应交点的y坐标为 y4ijkl = 40l, 其中 0≤ 6(i-k)-(i-j)l≤ 6

波线与网格交线长度的计算
i=j 以外的情况 交线在y轴的投影长度 (交点条件最多只有2个成立) dyijkl= max(y1ijkl ,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl) - min(y1ijkl ,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl) 由相似三角形关系 bijkl = aij dyijkl / 240 i=j 也成立
Ri Sj A Pi Pj B
2

bijkl

D E F

Qj G

C dyijkl

(k,l)

a

ij

?

240 ? ? ? ?(i ? j ) ? 240 ? ? 6 ?
2

波线与网格交线长度的计算
由对称性,RiSj与单元(k,l)的交线长度 ci,j,k,l= bj,i,l,7-k

优化模型(拟合/回归)
参量、变量:

xkl:单元(k,l)是否为空洞(1:是;0:否)
aij:波源 Pi与接收器 Qj,或 Ri与Sj 之间的距离

Pij:经过介质的长度,

pij ? aij ? qij ? aij ? ? bijkl xkl
k,l ?1

7

qij经过空气的长度

qij ?

k,l ?1

?b

7

ijkl

xkl

tij (同样 ?ij): 传播时间观测值

优化模型(拟合/回归)
若没有误差: tij =pij /v1+qij/v2
同理:
7 7 ? ? ? t ij ? ? ? aij ? ? bijkl xkl ? / v1 ? ? bijkl xkl / v 2 k,l ?1 k,l ?1 ? ?

7 7 ? ? ? ? ij ? ? ? aij ? ? cijkl xkl ? / v1 ? ? cijkl xkl / v2 k,l ?1 k,l ?1 ? ?
2

? ? 模型: m in?t ? ? ? ? ij ? ? aij ? ? bijkl xkl ? / v1 ? ? bijkl xkl / v 2 ?
7 7

? ?

?

k,l ?1

?

k,l ?1

? ?

? ? ? ? ? ? ?? ij ? ? ? aij ? ? cijkl xkl ? / v1 ? ? cijkl xkl / v 2 ? k,l ?1 k,l ?1 ? ? ? ? ? ?
7 7

2

计算结果
空洞
X( P2, Q2) X( P2, Q3) X( P2, Q5) X( P3, Q2) X( P3, Q3) X( P3, Q4) X( P4, Q4)
X( P5, Q3)

1 1 1 1 1 1 1
1

CUMCM-2010A:储油罐的变位识别与罐容表标定

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐,并 且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”,采用流 量计和油位计来测量进 / 出油量与罐内油位高度等数据, 通过预先标定的罐容表(即罐内油位高度与储油量的对 应关系)进行实时计算,以得到罐内油位高度和储油量 的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原 因,使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化 (以下称为变位),从而导致罐容表发生改变。按照有 关规定,需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图,其 主体为圆柱体,两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图。

图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位 识别与罐容表标定的问题。

(1)为了掌握罐体变位后对罐容表的影响,利用如图4 的小椭圆型储油罐(两端平头的椭圆柱体),分别对罐 体无变位和倾斜角为 ? ? 4.1? 的纵向变位两种情况做了实 验,实验数据如附件 1所示。请建立数学模型研究罐体 变位后对罐容表的影响,并给出罐体变位后油位高度间 隔为1cm的罐容表标定值。

(2)对于图1所示的实际储油罐,试建立罐体变位后 标定罐容表的数学模型,即罐内储油量与油位高度及 变位参数(纵向倾斜角度 ? 和横向偏转角度 ? )之间 的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实 际检测数据(附件 2 ),根据你们所建立的数学模型 确定变位参数,并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm的罐容表标定值。进一步利用附件 2 中的实际检 测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1:小椭圆储油罐的实验数据(略) 附件2:实际储油罐的检测数据(略)

问题分析
该问题是来自于加油站设备研究生产企业的一 个实际课题,问题由两大部分组成: 第一部分:为了了解罐体变位对罐容表的影响, 对于小椭圆形储油罐(实验罐),在已知变位参数 的情况下,检测出油位高度与油量的对应数值,要 求建模分析罐容表的变化规律,并给出修正的罐容 表。 这一部分属于“正问题”。

具体而言,第一部分有以下几个问题要完成。

(1)对于小椭圆形实验罐,要给出它在无变位情 形下油位高度与储油量的计算公式(模型)。

(2)对于小椭圆形实验罐,要给出它在纵向倾斜 变位情形下油位高度与储油量计算的修正模型。

这里需要考虑罐体两端有油/无油的不同情况。

(3)对于(2)得到的实验罐在纵向倾斜变位情形 下油位高度与储油量的模型,将变位参数 ? ? 4.1? 代入 计算,得出修正后的油位高度间隔为1cm的罐容表标定 值。并与原标定值比较,分析罐体变位的影响。 第二部分:根据实际检测数据,识别实际储油罐罐 体是如何变位的,估计出变位参数,给出实际罐罐容表 的修正标定方法和结果。并分析检验模型的正确性和方 法的可靠性。 这一部分属于“反问题”。

具体而言,第二部分有以下几个问题要完成。 (4)对于实际储油罐,建立罐体变位后罐内储油 量V与油位高度h及纵向倾斜角度 ? 和横向偏转角度 ? 之间的关系模型,即 V ? F (? , ? , h) 的关系模型。

这一问要根据油位高度分别考虑两端有油或一端有 油的情况,同时考虑偏转情况,所以,具体的解析表达 式可能会比较复杂。

(5)根据附件2的检测数据,估计实际储油罐的纵 ? 。 向倾斜角度 ? ? 和横向偏转角度 ?
由于实际罐内油量初值未知,所以,罐内对应于某 一油位高度的储油量准确值未知。因此,不能由(4) ? 。 求出的表达式解出 ? ? 和? 所以,这一问要给出估计参数 后再进行估计。

? ?

? 的准则,然 和 ?

(6)根据(4)得到模型 V ? F (? , ? , h) 和参数估 ? ,给出罐体变位后油位高度h间隔为10cm ? 和 ? 计值 ? 的罐容表标定值。

(7)利用附件2的实际检测数据,分析检验模型的 正确性和方法的可靠性。

解题思路
(1)对于小椭圆形实验罐,给出它在无变位情形 下油位高度与储油量的计算公式(模型)。

y
b

O

a
h

x

利用积分可以计算出油位高度为h时实验罐的截面 面积,于是得到油位高度与储油量的计算公式:
?? a ? h ? b ?? 2 V ( h) ? ? ab ? ( h ? b) 2bh ? h ? ab arcsin ? L ? ? b ? b ?? ?2

其中a,b,L分别是实验罐截面椭圆的长半轴、短半轴 和罐体长度,h为油位高度。 这个计算公式也可以从相关文献中查到。 将实验罐的实际参数代入计算,容易得到实验罐无 变位情形的正常罐容表。

(2)对于小椭圆形实验罐,给出它在纵向倾斜变 位情形下油位高度与储油量计算的修正模型。

2b

油面下降到Ⅰ区时,油浮显示油位高度总是0,不随实际油 量的变化而变化,无需要考虑油面在I区内油量的计算公式。 同理,当油位高度上升到Ⅴ区时,由于油浮显示油位高度总 是2b,也无需考虑油面在Ⅴ区内的油量计算公式。

因而,只需讨论油面分别处于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三个区域 内时,储油量与油位高度、油罐纵向倾角的关系表达式。
当油面分别处于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三个区域内,计算储油 量的截面面积沿x轴积分,可分别得到当h处于不同高度 时储油量的计算公式:

? b h ? a ? l tan ? ? z ? a2 ? 2 2 2 0 ? h ? ? L ? l ? tan ? ? ? z a ? z ? a arcsin ? ? dz , ? ? a a 2 ? ? ? a tan ? ? b h ? a ? l tan ? ? z ? a2 ? ? 2 2 2 V (? , h) ? ? ? z a ? z ? a arcsin ? ? dz , ( L ? l ) tan ? ? h ? 2a ? l tan ? ? h ? a ? L ? l tan ? ? ? a 2 ? ? ? a tan ? ? 2 a ? h ? ? L ? l ? tan ? ? ? z ? a 2 2 2 ? L? ab ? z a ? z ? a arcsin ? ? ? dz , 0 ? h ? ? L ? l ? tan ? ? ? a a 2 ? ? ? ?

其中,l为探针到左侧面的距离。

(3)将变位参数 ? ? 4.1? 代入上述公式计算,得出 修正后的油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
罐体变位后高度间隔为10cm的罐容表标定值
油面高度 10 20 30 40 油的容量 70.13 281.86 595.25 965.66 油面高度 50 60 70 80 油的容量 1371.88 1798.52 2232.50 2661.42 油面高度 90 100 110 120 油的容量 3072.43 3450.72 3776.64 4012.75

进一步,与正常的标定值比较分析可知,实验罐在纵向倾 斜变位情形,实际油量与原标定值的最大误差在257L以上,平 均误差达190L以上,平均相对误差达到30%以上。

(4)对于实际储油罐,建立罐体变位后罐内储油 量V与油位高度h及纵向倾斜角度 ? 和横向偏转角度 ? 之间的关系模型,即 V ? F (? , ? , h) 。 由于本问较复杂,需要分情况建立模型,可以先考 虑只发生纵向变位的情况。

球冠Ⅰ的体积表达式为:

其中

球冠III的体积表达式为:

其中

圆柱体II的体积表达式为:

其中

在不考虑罐体横向变位的情况下(即? ? 0 ),储油 罐的体积与辅助变量H1 的关系表达式为:

在不考虑横向变位的情况下(即? ? 0 ),储油罐的 油位高 h纵与辅助变量H1 的关系表达式为:
0 ? H1 ? m tan ? , ?0, ? h纵 ? ? H1 ? m tan ? , m tan ? ? H1 ? 2r ? m tan ? ?2b, 2r ? m tan ? ? H1 ? 2r ? ( m ? n) tan ? ?

根据以上 h纵 与 H1 的转换关系,就可以得到罐体内 油量与油位高 h纵及纵向倾斜角 ? 的关系表达式 V (? , h纵 )

进一步,考虑罐体在产生纵向变位的基础上,又产 生了横向变位,此时罐体的位置如下图:

未产生横向变位时油位高 h纵与产生横向变位后油位 高h之间满足如下关系:
?0, 0 ? h纵 ? r (1 ? cos ? ), ? ? r ? h纵 h ? ?r ? , r (1 ? cos ? ) ? h纵 ? r (1 ? cos ? ), cos ? ? ? r (1 ? cos ? ) ? h纵 ? 2r ? 2r ,

由于罐体只产生纵向变位时油位高度 h纵 与储油量 V (? , h纵 ) 的对应关系已得到,再根据上面推导出的 h纵与 同时发生纵向和横向变位时油位高h,就可以求出一般 情况下,即罐体同时产生纵向和横向变位的油位高h与 储油量V之间的关系模型 V ? F (? , ? , h) 。

(5)根据附件2的检测数据,估计实际储油罐的纵 ? 。 向倾斜角度 ? ? 和横向偏转角度 ?
根据附件2数据可以得到不同时刻的出油量 ?Vi ? , 同时可以计算对应的油位改变量 ?hi ? hi ? hi ?1 。

根据前一问的模型表达式 V ? F (? , ? , h) ,可以得 到理论上储油量的改变量 ?Vi ? F (? , ? , hi ) ? F (? , ? , hi ?1 ) 。
这一问就可以归结为求解非线性最小二乘问题:
min S (? , ? ) ? ? (?Vi ? ?Vi ? )2
i ?1
n

n



? ?Vi ?Vi ? min S (? , ? ) ? ? ? ? ? ?hi ? i ?1 ? ?hi
?

2

利用附件2的部分数据(例如前半部分),借助软 件和各种数值方法可以估计出实际储油罐的纵向倾斜角 度和横向偏转角度。
具体的估计值依所用的计算方法不同而有差别,一 般地,
? ? 4.3 ? ? 2.1 , ? ?

事实上,储油量对横向偏转变位角不敏感。如果经 分析说明了这一点,这一问也可以直接考虑纵向变位的 单参数估计问题。

(6)根据模型 V ? F (? , ? , h) 和前一问得到的参数 ? ,就可以给出罐体变位后的罐容表标定 估计值 ? ? 和? 值。
罐体变位后的修正罐容表(? ? 2.11 , ? ? 4.31)
h L h L h L 10 354.76 110 19265.60 210 46767.21 20 1065.80 120 21941.18 220 49322.44 30 2223.04 130 24674.88 230 51776.40 40 3702.65 140 27450.77 240 54109.93 50 5432.63 150 30253.25 250 56302.12 60 7371.38 160 33066.99 260 58329.27 70 9487.87 170 35876.76 270 60163.39 80 11756.61 180 38667.27 280 61768.90 90 14155.51 190 41423.11 290 63093.63 100 16664.62 200 44128.48 3400 64026.17

(7)检验与分析
利用附件2的实际检测数据(例如后半部分),与 ? , h) 的计算数值进行对比分析,就可以 模型 V ? F (? ?, ? 检验模型的正确性和方法的可靠性。

综合评述
(1)本题来源于一个实际问题,解答结果可以有 差别,但是差别不能太大。
(2)本题的难点是
①实验罐在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量的修 正模型的建立。
②实际罐在纵向倾斜和横向偏转情形下储油量与油位高

度的关系模型的建立与分析。
③实际罐变位参数辨识准则的建立与求解。

(3)对于实验罐,在纵向倾斜变位情形下油位高 度与储油量的修正模型,用不同方法可能有不同的表达 式,但都需要考虑罐体两端有油/无油的情况。将变位 参数代入计算,结果不应有太大的差别。

(4)对于实际罐,罐体变位后储油量与油位高度 及纵向倾斜角度和横向偏转角度之间的模型解析表达式 的形式比较复杂,主要是在分析过程,也需要考虑两端 含油的情况。
本小问可以通过不同方法来实现,但应注意引入变 位参数的方法和表示形式的合理性。

(5)对于实际罐变位参数的估计,应有明确的辨 识准则。

特别要注意,不能直接使用附件2显示的储油量 Vi ' 和对应的 hi 作参数估计,也就是不能求
min S (? , ? ) ? ? (Vi ? Vi ' ) 2
i ?1 n

的解,因为 Vi ' 是无变位时的显示储油量。

作业
对前述模型进行程序实现。


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