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整体法和隔离法受力分析


专题三

整体法和隔离法

选择研究对象是解决物理问题的首要环节.在很多物理问题中,研究对象的选择方 案是多样的,研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度。合理选择研究对象会使 问题简化,反之,会使问题复杂化,甚至使问题无法解决。隔离法与整体法都是物理解 题的基本方法。 隔离法就是将研究对象从其周围的环境中隔离出来单独进行研究,这个研究对

象可 以是一个物体,也可以是物体的一个部分,广义的隔离法还包括将一个物理过程从其全 过程中隔离出来。 整体法是将几个物体看作一个整体,或将看上去具有明显不同性质和特点的几个物 理过程作为一个整体过程来处理。隔离法和整体法看上去相互对立,但两者在本质上是 统一的,因为将几个物体看作一个整体之后,还是要将它们与周围的环境隔离开来的。 这两种方法广泛地应用在受力分析、动量定理、动量守恒、动能定理、机械能守恒 等问题中。 对于连结体问题,通常用隔离法,但有时也可采用整体法。如果能够运用整体法, 我们应该优先采用整体法,这样涉及的研究对象少,未知量少,方程少,求解简便;不 计物体间相互作用的内力,或物体系内的物体的运动状态相同,一般首先考虑整体法。 对于大多数动力学问题,单纯采用整体法并不一定能解决,通常采用整体法与隔离法相 结合的方法。 一、静力学中的整体与隔离 通常在分析外力对系统的作用时,用整体法;在分析系统内各物体(各部分)间相 互作用时,用隔离法.解题中应遵循“先整体、后隔离”的原则。 【例 1】 在粗糙水平面上有一个三角形木块 a,在它的两个粗糙斜面上分别放有质 量为 m1 和 m2 的两个木块 b 和 c,如图所示,已知 m1>m2,三木块均处于静止,则粗糙 地面对于三角形木块( ) m1 b a c m2 A.有摩擦力作用,摩擦力的方向水平向右 B.有摩擦力作用,摩擦力的方向水平向左 C.有摩擦力作用,但摩擦力的方向不能确定 D.没有摩擦力的作用 【解析】由于三物体均静止,故可将三物体视为一个物体,它静止于水平面上,必 无摩擦力作用,故选 D. 【点评】本题若以三角形木块 a 为研究对象,分析 b 和 c 对它的弹力和摩擦力,再 求其合力来求解, 则把问题复杂化了. 此题可扩展为 b、 两个物体均匀速下滑, c 想一想, 应选什么? 【例 2】有一个直角支架 AOB,AO 水平放置,表面粗糙,OB 竖直向下,表面光滑,AO 上套有小环 P,OB 上套有小环 Q,两环 质量均为 m,两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连, 并在某一位置平衡,如图。现将 P 环向左移一小段距离,两环再 Q B O P A

次达到平衡,那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较,AO 杆对 P 环的支持力 N 和细绳上的拉力 T 的变化情况是( A.N 不变,T 变大 C.N 变大,T 变大 mg+Tsinα =N 对 Q 有:Tsinα =mg 所以 N=2mg, T=mg/sinα 故 N 不变,T 变大.答案为 B 整体法: P、 整体为研究对象, 选 Q 在竖直方向上受到的合外力为零, 直接可得 N=2mg, 再选 P 或 Q 中任一为研究对象,受力分析可求出 T=mg/sinα 【点评】为使解答简便,选取研究对象时,一般优先考虑整体,若不能解答,再隔 离考虑. 【例 3】如图所示,设 A 重 10N,B 重 20N,A、B 间的 动摩擦因数为 0.1,B 与地面的摩擦因数为 0.2.问: (1) 至少对 B 向左施多大的力, 才能使 A、 发生相对滑动? B (2) 若 A、B 间 μ 1=0.4,B 与地间 μ 2=0.l,则 F 多大才能产生 相对滑动? 【解析】 (1)设 A、B 恰好滑动,则 B 对地也要恰好滑 动,选 A、B 为研究对象,受力如图,由平衡条件得: F=fB+2T 选 A 为研究对象,由平衡条件有 T=fA fA=0.1×10=1N (2)同理 F=11N。 【例 4】将长方形均匀木块锯成如图所示的三部分,其中 B、 C 两部分完全对称,现将三部分拼在一起放在粗糙水平面上,当 用与木块左侧垂直的水平向右力 F 作用时,木块恰能向右匀速运 动,且 A 与 B、A 与 C 均无相对滑动,图中的 θ 角及 F 为已知, 求 A 与 B 之间的压力为多少? 【解析】以整体为研究对象,木块平衡得 F=f 合 又因为 所以 mA=2mB=2mC fB=F/4 fB f1 即:F1=Fsinθ /4 且动摩擦因数相同, θ F1 F A C θ B fB=0.2×30=6N F=8N。 fA A T F A B T T fB A F B ) B.N 不变,T 变小 D.N 变大,T 变小

【解析】隔离法:设 PQ 与 OA 的夹角为 α ,对 P 有:

再以 B 为研究对象,受力如图所示,因 B 平衡,所以 F1=fBsinθ

【点评】本题也可以分别对 A、B 进行隔离研究,其解答过程相当繁杂。 【例 5】如图所示,在两块相同的竖直木板间,有质量均 为 m 的四块相同的砖,用两个大小均为 F 的水平力压木板,使 砖静止不动,则左边木板对第一块砖,第二块砖对第三块砖的 摩擦力分别为

A.4mg、2mg

B.2mg、0

C.2mg、mg

D.4mg、mg

【解析】设左、右木板对砖摩擦力为 f1,第 3 块砖对第 2 块砖摩擦为 f2,则对四 块砖作整体有:2f1=4mg,∴ f1=2mg。 f2=0,故 B 正确。 对 1、2 块砖平衡有:f1+f2=2mg,∴

【例 6】如图所示,两个完全相同的重为 G 的球,两球与水平地面间的动摩擦因市 委都是 μ ,一根轻绳两端固接在两个球上,在绳的中点施加一个竖直向上的拉力,当绳 被拉直后,两段绳间的夹角为 θ 。问当 F 至少多大时,两球将发生滑动? 【解析】首先选用整体法,由平衡条件得 F+2N=2G Tsin(θ /2)=μ N ①②③联立解之 ① ② 2·Tcos(θ /2)=F ③ 再隔离任一球,由平衡条件得

。 【例 7】如图所示,重为 8N 的球静止在与水平面成 37 角的 光滑斜面上, 并通过定滑轮与重 4N 的物体 A 相连, 光滑挡板与水 平而垂直,不计滑轮的摩擦,绳子的质量,求斜面和挡板所受的 压力(sin37 =0.6) 。 【解析】分别隔离物体 A、球,并进行受力分析,如图所示: 由平衡条件可得:
0 0 0 0

T=4N
0 0

Tsin37 +N2cos37 =8 N2sin37 =N1+Tcos37 得 N1=1N N2=7N。

【例 8】如图所示,光滑的金属球 B 放在纵截面为等边三角 形的物体 A 与坚直墙之间,恰好匀速下滑,已知物体 A 的重力是 B 重力的 6 倍,不计球跟斜面和墙之间的摩擦,问:物体 A 与水 平面之间的动摩擦因数 μ 是多少? 【解析】首先以 B 为研究对象,进行受力分析如图 由平衡条件可得: N2=mBgcot30
0

① ②

再以 A、 为系统为研究对象. B 受力分析如图。 由平衡条件得:N2=f, f=μ (mA+mB)g 解得 μ =√3/7

【例 9】如图所示,两木块的质量分别为 m1 和 m2,两轻质弹簧的劲度 系数分别为 k1 和 k2,上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接) ,整个系统 处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧。在这 过程中下面木块移动的距离为

【分析】本题主要是胡克定律的应用,同时要求考生能形成正确的物理图景,合理 选择研究对象,并能进行正确的受力分析。求弹簧 2 原来的压缩量时,应把 m1、m2 看做 一个整体, 的压缩量 x1=(m1+m2)g/k2。 1 脱离弹簧后, m2 作为对象, 的压缩量 x2=m2g/k2。 2 m 把 2 d=x1-x2=m1g/k2。答案为 C。 【例 10】如图所示,有两本完全相同的书 A、B,书重均为 5N,若将两本书等分成 若干份后,交叉地叠放在一起置于光滑桌面上,并将书 A 固定不动,用水平向右的力 F 把书 B 匀速抽出。观测得一组数据如下:

根据以上数据,试求: (1)若将书分成 32 份,力 F 应为多大? (2)该书的页数。 (3)若两本书任意两张纸之间的动摩擦因数 μ 相等,则 μ 为多少? 【解析】 (l)从表中可看出,将书分成 2,4,8,16,?是 2 倍数份时,拉力 F 将 分别增加 6N, 12N, 24N, 增加恰为 2 的倍数, ?, 故将书分成 32 份时, 增加拉力应为 48N, 故力 F=46.5+48=94.5N; (2) 逐页交叉时, 需拉力 F=190. 恰好是把书分成 64 份时, 5N, 增加拉力 48×2=96N, 需拉力 F=94.5+96=190.5N 可见,逐页交叉刚好分为 64 份,即该书有 64 页; (3)两张纸之间动摩擦因数为 μ ,则 F=190.5=μ G/64+μ 2G/64+μ 3G/64+??+μ 128G/64=μ G/64·(1+2+3+??+128)= 129μ ×5 ∴ μ =190.5/(129×5)=0.3。 【点评】请注意,将书分成份数不同,有所不同。 二、牛顿运动定律中的整体与隔离 当系统内各物体具有相同的加速度时,应先把这个系统当作一个整体(即看成一个 质点) ,分析受到的外力及运动情况,利用牛顿第二定律求出加速度.如若要求系统内各 物体相互作用的内力,则把物体隔离,对某个物体单独进行受力分析,再利用牛顿第二 定律对该物体列式求解.隔离物体时应对受力少的物体进行隔离比较方便。 【例 11】如图所示的三个物体 A、B、C,其质量分别为 m1、 m2、m3,带有滑轮的物体 B 放在光滑平面上,滑轮和所有接触 面间的摩擦及绳子的质量均不计.为使三物体间无相对运动, 则水平推力的大小应为 F=__________。 【解析】以 F1 表示绕过滑轮的绳子的张力,为使三物体间 F B C A

无相对运动,则对于物体 C 有:F1=m3g,以 a 表示物体 A 在拉力 F1 作用下的加速度,则

a?


F1 m3 ? g m1 m1 ,由于三物体间无相对运动,则上述的 a 也就是三物体作为一个整物

m3 m 体运动的加速度,故得 F=(m1+m2+m3)a= 1 (m1+m2+m3)g
【例 12】如图,底座 A 上装有一根直立竖杆,其总质量为 M, 杆上套有质量为 m 的环 B,它与杆有摩擦。当环从底座以初速向上 飞起时(底座保持静止) ,环的加速度为 a,求环在升起的过程中, 底座对水平面的压力分别是多大? 【解析】采用隔离法:选环为研究对象,则 选底座为研究对象,有 F+f’-Mg=0 又 f=f’ (3) F A B 联立(1) (2) (3)解得:F=Mg-m(a-g) 采用整体法:选 A、B 整体为研究对象,其受力如图,A 的加速度 为 a,向下;B 的加速度为 0.选向下为正方向,有: (M+m)g-F=ma 解之:F=Mg-m(a-g) 【例 13】如图,质量 M=10kg 的木楔 ABC 静置于粗糙水平 地面上,与地面动摩擦因数 μ =0.02.在木楔的倾角 θ 为 30
0

v B

f+mg=ma

(1)

(2)

A

(M+m)g
A m B
2

的斜面上, 有一质量为 m=1.0kg 的物块由静止开始沿斜面下滑。 当滑行路程 s=1.4m 时,其速度 v=1.4m/s。在这个过程中木楔
2 2

θ

M

C

没有动。求地面对木楔的摩擦力的大小和方向。 (重力加速度 g=10m/s ) 【 解 析 】 由 匀 加 速 运 动 的 公 式 v =vo +2as , 得 物 块 沿 斜 面 下 滑 的 加 速 度 为

v2 1.4 2 a? ? ? 0.7 2 2s 2 ? 1.4 m/s

(1) m? θ

F1 ?

2 由于 a ? g s in? =5m/s ,可知物块受到摩擦力作用。分析物

f? ?

块受力,它受三个力,如图.对于沿斜面的方向和垂直于斜面的 方向,由牛顿定律,有 mg?

mg sin? ? f1 ? ma

(2) (3)
B f1 F1

A

mg cos? ? F1 ? 0

分析木楔受力,它受五个力作用,如图.对于水平方向,由 牛顿定律,有

θ
f2

F2

C Mg

f 2 ? f1 cos? ? F1 sin ? ? 0
由此可解的地面对木楔的摩擦力

(4)

f 2 ? F1 sin? ? f1 cos? ? mg cos? sin? ? (mg sin? ? ma) cos? ? ma cos? ? 0.61 N
此力方向与图中所设的一致(由 C 指向 B 的方向) . 上面是用隔离法解得,下面我们用整体法求解 (1)式同上。选 M、m 组成的系统为研究对象,系统受到的 外力如图.将加速度 a 分解为水平的 acosθ 和竖直的 asinθ , 对系统运用牛顿定律(M 加速度为 0) ,有 水平方向: f ? ?ma cos? ? ?0.61 N “-”表示方向与图示方向相反 竖直方向: (M ? m) g ? F ? ma sin? 可解出地面对 M 的支持力。 【点评】从上面两个例题中可看出,若系统内各物体加速度不相同而又不需要求系 统内物体间的相互作用力时,只对系统分析外力,不考虑物体间相互作用的内力,可以 大大简化数学运算.运用此方法时,要抓住两点(1)只分析系统受到的外力.(2)分析系 统内各物体的加速度的大小和方向。 三、连接体中的整体与隔离 【例 14】如图所示,木块 A、B 质量分别为 m、M,用一 轻绳连接,在水平力 F 的作用下沿光滑水平面加速运动,求 A、B 间轻绳的张力 T。 【分析】A、B 有相同的运动状态,可以以整体为研究对象。求 A、B 间作用力可以 A 为研究对象。对整体 F=(M+m)a 对木块 A T=ma 【点评】当处理两个或两个以上物体的情况时可以取整体为研究对象,也可以以个 体为研究对象,特别是在系统有相同运动状态时 【例 15】如图所示,五个木块并排放在 水平地面上,它们的质量相同,与地面的摩 擦不计。当用力 F 推第一块使它们共同加速 运动时,第 2 块对第 3 块的推力为__________。 【解析】五个木块具有相同的加速度,可以把它们当作一个整体。这个整体在水平 F 1 2 3 4 5 A B F acosθ? a? asinθ?
B m

F?

A

θ

M

f C

(M+m)g?

a?
方向受到的合外力为 F,则 F=5ma.所以

F 5m 。要求第 2 块对第 3 块的作用力 F23,要

在 2 于 3 之间隔离开。把 3、4、5 当成一个小整体,可得这一小整体在水平方向只受 2

对 3 的推力 F23,则

F23 ? (3m)a ?

3F 5 。

【点评】此题隔离后也可把 1 和 2 当成一小整体考虑,但稍繁些。

【例 16】如图所示,物体 M、m 紧靠着置于摩擦系数为 μ 的斜面上, 斜面的倾角为 θ , 现施加一水平力 F 作用于 M, M、m 共同向上作加速运动,求它们之间相互作用力的大小。 【解析】两个物体具有相同的沿斜面向上的加速度,可 以把它们当成一个整体(看作一个质点) ,其受力如图所示, 建立坐标系,则: F1 ? ( M ? m) g cos? ? F sin ? (1) (2)

F M

m

θ y? F? ? a? F? x?

F cos? ? f1 ? (M ? m) g sin? ? (M ? m)a
且: f1 ? ?F1 (3)

f? ? θ (M+m)g?

要求两物体间的相互作用力,应把两物体隔离开.对 m 受力如图所示,则 y? F2 ? f? ? θ (6) mg? a?

F2 ? mg cos? ? 0

(4) (5)

x?

F '? f 2 ? mg sin ? ? ma
且: f 2 ? ?F2

F’?

F'?
联立以上方程组,解之:

(cos? ? ? s in? )mF ( M ? m) 。

【点评】此题也可分别隔离 M、m 进行受力分析,列方程组求解;或者先用整体法求 解加速度,再对 M 进行隔离,但这两种方法求解过程要繁杂一些。 四、动量、能量问题中的整体与隔离 【例 17】质量分别为 M、m 的铁块、木块在水中以速度 v 匀速下沉,某时刻细绳突 然断裂,当木块速度为 0 时,求铁块的速度。 【分析】以铁块、木块组成的系统为研究对象,在绳断前、断后所受合外力均为零, 所以系统动量守恒。根据题意有: (M+m)v=Mv’ 。 【变化】上题中如系统以加速度 a 加速下沉,当速度为 v 时细绳突然断裂,过时间 t 后木块速度为 0,求此时铁块的速度。 【分析】以系统为研究对象,在绳断前、断后系统所受合外力不变,为:(M+m)a 根据动量定理有: (M+m)at=Mv’-(m+M)v。 【例 18】质量为 m、带电量为+q 的甲乙两小球,静止于水平面上,相距 L。某时刻 由静止释放,且甲球始终受一恒力 F 作用,过 t 秒后两球距离最短。 (1)求此时两球的 速度(2)若甲球速度达到最大时,两球相距 L/2,求开始运动时甲乙两球的加速度之比。 【分析】 (1)以系统为研究对象,根据动量定理有:Ft=2mv (2)以甲球为研究对象,甲球速度最大时其所受合力为 0,所以,此时两球间库仑 力 F’=F,则开始时两球间库仑力为 F’/4。分别以甲、乙两球为研究对象,甲球所受合

外力为 F-F/4=3F/4, 乙球所受合外力为 F/4, 由此可得: 开始时两球加速度之比为: 3/1。 【例 19】 两根足够长的固定的平行金 属导轨位于同一水平面内,两导轨间的距 离为l.导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd,构成矩形回路,如图所示.两根 导体棒的质量皆为m,电阻皆为R,回路 中其余部分的电阻可不计.在整个导轨平 面内都有竖直向上的匀强磁场, 磁感强度为B. 设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行. 开 始时,棒cd静止,棒ab有指向棒cd的初速度v 0(见图) .若两导体棒在运动中始 终不接触,求在运动中产生的焦耳热最多是多少? 【分析】从初始至两棒达到速度相同的过程中,两棒总动量守恒,有 mv 0 =2mv, 根据能量守恒,整个过程中产生的总热量为 Q=(1/2)mv 0 -(1/2) (2m)v =(1/4)mv 0 。 五、物理过程的整体与隔离 对于某些由多个过程组合起来的总过程的问题,若不要求解题过程的全部细节,而 只是需求出过程的初末状态或者是过程的某一总的特征,则可以把多个过程总合为一个 整体过程来处理。 【例 20】 质量为 M 的汽车带着质量为 m 的拖车在平直公路上以加速度 a 匀加速前进, 当速度为 v0 时拖车突然 与汽车脱钩,到拖车停 下瞬间司机才发现。若 汽车的牵引力一直未 变,车与路面的动摩擦因数为μ ,那么拖车刚停下时,汽车的瞬时速度是多大? 【分析】以汽车和拖车系统为研究对象,全过程系统受的合外力始终为 ?M ? m?a , 该过程经历时间为 v0/μ g,末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得: m M v0 v/
2 2 2

?M

? m ?a ?

v0 ?M ? m ??a ? ?g ? v ? Mv ? ? ?M ? m ?v0 ,? v ? ? 0 ?g ?Mg

【点评】这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后,系统受的合外力中 少了拖车受到的摩擦力,因此合外力大小不再是 ?M ? m?a 。 【例 21】一个质量为 m,带有电荷为-q 的小物体 可在水平轨道 Ox 上运动, 端有一与轨道垂直的固定墙, O 场强大小为 E,方向沿 x 正方向,如图.今小物体以初 速度 v0 从 x0 点沿 Ox 轨道运动,运动中受到大小不变的 摩擦阻力 f 作用,且 f<Eq.设小物体与墙碰撞时不损 失机械能且其电量保持不变,求它在停止运动前所通过的总路程 s。 【解析】由于 Eq>f,故小物体在任何一个 x≠0 的位置,其受力均不可能平衡,则 小物体最后静止只可能是靠在墙上,即位于 x=0 处,比较小物体的初末两态,知其动能 O x0 E x

和电势能都减少了,从能量的转化和守恒关系看,其损失的动能和电势能都是由于小物

1 2 mv 0 ? qEx0 ? fs 体在运动中克服摩擦阻力做功而转化成了内能,这一关系为: 2 ,
2 2qEx0 ? mv 0 s? 2f 。

【点评】小物体在电场力 qE 和摩擦力 f 两力作用下的运动是匀变速运动,其沿+x

方向运动时为匀减速运动,加速度 速度

a? ?

qE ? f m ,沿-x 方向运动时为匀加速运动.加

a? ?

qE ? f m 。若根据匀变速运动的规律,可求得小物体将无限多次的与墙壁相碰,

且每次碰墙后反弹离开墙的最远距离将成等比数列减小。将这些往返的路程按无穷递减 等比数列求和公式求和,可得出本题的答案。 显然可见,这种详细讨论全过程的每一子过程的解法要比上述的整体法的解法复杂 得多。 【例 22】充电后平行板电容器水平放置,如图所示。两班间距 离 5cm,在距下板 2cm 处有一质量 2kg 的不带电小球由静止开始下 落,小球与下板碰撞时获得 2×10 C 的负电荷,并能反跳到距下板 4cm 高处,设小球与下板的碰撞无机械能损失,已知上板带电量为 +1×10 C,试求板间场强 E 的大小及电容器的电容 C。 【解析】此题看似一道属于二个过程的过程隔离问题,但是由于小球与下板的碰撞 无机械能损失,所以可用运动整体法研究小球运动的全过程。 设小球下落高度 h1,上升高度 h2,则根据机械能守恒定律,在全过程中
-6 -8

+ m

-

E?
qEh2-mg(h2-h1)=0

mg (h2 ? h1 ) ? 500 qh2 (V/m)

E?
根据

U d

C?
U=Ed=25(V)

Q ? 4 ? 10 8 U (F)

【点评】看似较复杂的多过程问题,使用整体研究运动过程,而使问题得到了简化。 【例 23】有一电源,其内电阻甚大,但不知其具体数值.有两只电压表 VA 和 VB,已 知此两表的量程均大于上述电源的电动势,但不知此两电压表的内电阻的大小。要求只 用这两只电压表和若干导线、开关组成电路,测出此电源的电动势,试说明你的办法。 【解析】测量办法如下:设两电压表的内电阻分别为 RA 和 RB 电源内电阻为 r,电动势为 ε ,将两电压表串联以后接于电源两 极之间组成如图所示的电路,记下此时两表的读数 UA 和 UB,则 ε =UA+UB+Ir ① VA VB

f

I?
由于此时电路中的电流大小为:

UA UB ? RA RB

? ? U A ?UB ?
故有

r UA RA



再将电压表 VA 单独接于电源两极之间,如图。记下此时电压表的示数,令其为 UA', 则有 ε =UA'+I'r ③ VA

r ? ? U A '? U A ' RA 同上有



r R 联立②④两式,将 A 视为一个未知数消去,即可解得

??

' U AU B ' U A ? U A ,将实验中测得的 U 、U 、U '代入上式,便可解得此电源电动势之值。 A B A

【点评】在解题时,有时根据物理规律列出方程后,出现方程个数少于未知量个数 的情况,这便成了不定方程而无法得到确定的解,在这种情况中,如果方程中的几个不 是所要求的未知量,在各个方程中以相同的形式出现时,便可把这几个未知量组合当作 一个整体量来看待, 从而使方程中的未知量减少而把不定方程转化为有确定解的方程. 例 如本题以上的解答中,如仅能列出方程①和③,则此两方程中有 ε 、I、I'、r 四个未知

I?
量,可以说此时还是在“山穷水尽疑无路”的境界,而如果能利用

UA R A 这一转化关

系将方程①和③变形为②和④,则到达“柳岸花明又一村”之处已是确定无疑的了。


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